Математические методы исследования. Учебно-методический комплекс дисциплины по направлению подготовки 51.03.06 (071900) «Библиотечно-информационная де

ni/hi

ni/hi

n2/h2 n1/h1 nk/hk

Рисунок 5 – Построение гистограммы частот

Кумулятивная кривая (или кумулята) – линия, изображающая распре-

деление накопленных частот (или относительных частот).

При построении кумулятивной кривой дискретного вариационного ряда на ось абсцисс наносят значения варианты, ординатами служат нарастающие итоги частот, т. е. накопленные частоты (или относительные частоты). Ломаная линия, соединяющая вершины ординат, образует кумулятивную кривую (рис. 6). При интервальной группировке ординаты откладываются на перпендикулярах к точкам, изображающим верхние границы (или середины) интервалов

niнак nkнак

. . .

n3на n2на n1нак

Рисунок 6 – Построение кумулятивной кривой частот

21

П. 3. Эмпирическая функция распределения

Пусть известно распределение частот количественного признака (случайной величины) X.

Эмпирической функцией распределения (или функцией распределения выборки) называется функция F*(x) , определяющая для каждого значения x относительную частоту события X < x:

F * (x) nnx , (5)

где nx – число вариант, меньших x; n – объем выборки. Эмпирическая функция F * (x) обладает следующими свойствами:

1)значения функции F * (x) принадлежат интервалу [0,1];

2)F * (x) – неубывающая функция;

3) если а – наименьшая, а b – наибольшая варианта, то F * (x) 0 при x a и F * (x) 1 при x b .

График эмпирической функции F * (x) представляет собой ломаную

растая на величину 1/n, а при совпадении l наблюдений – на l / n.

Тема 1.3. Меры центральной тенденции

План:

1.Структурные меры центральной тенденции.

2.Суммарные меры центральной тенденции.

3.Выбор и использование мер центральной тенденции при анализе документальных и читательских потоков.

Список рекомендуемой литературы:

1.Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика [Электронный ресурс]: учеб. пособие / В. Е. Гмурман. – Москва: ЮРАЙТ, 2012. – С. 200–201 // Университетская библиотека online. –

Электрон. дан. – Режим доступа: http://www.biblioclub.ru/book/57705/

22

2.Гусак, А. А. Высшая математика [Текст]: в 2 т. / А. А. Гусак. – Минск:

ТетраСистемс, 2009. – Т. 2. – С. 402–408.

3.Салин, В. Н. Статистика [Электронный ресурс]: электрон. учеб. / В. Н. Салин, Э. Ю. Чурилова, Е. П. Шпаковская. – Москва: КНОРУС, 2008. – Электрон. опт. диск (DVD-ROM).

П. 1. Структурные меры центральной тенденции

К структурным мерам центральной тенденции относятся: мода и медиана.

Медианой Ме называется вариант, стоящий в центре ранжированного ряда, так что число вариант совокупности с большим и меньшим, чем медиана, значением признака одинаково.

Пусть имеется дискретный вариационный ряд. Если всем вариантам ряда придать порядковые номера, то номер медианы в ряду с нечётным

числом членов n определится как n 2 1 . Если же вариантов чётное число,

то медиану приходится определить как среднюю из двух центральных вариантов, порядковые номера которых n2 и n2 1.

Если объем выборки достаточно большой и различия между вариантами небольшие, то можно считать медианой (с достаточной степенью точно-

сти) одну из центральных вариант с порядковым номером n2 .

Для интервального распределения сначала находят медианный интервал xl xl 1 (l 1,n 1). Номер его будет соответствовать интервалу, кумулятивная частота которого равна или превышает половину суммы частот:

В случае выполнения равенства, стоящего в левой части формулы (11), номер медианного интервала равен l, в противном случае – l+1. Медиану вычисляют по формуле:

nMe

23

где l – порядковый номер интервала, где находится медиана, h – величина

l 1

медианного интервала, ni – накопленная частота домедианного интерва-

i 1

ла, nMe – частота медианного интервала.

Модой Мо называется наиболее часто встречающаяся в совокупности величина варианты.

Для дискретного ряда мода определяется как значение признака с наибольшей частотой. В случае непрерывной вариации определяют модальный интервал xl xl 1 , т. е. интервал, которому соответствует

наибольшая частота nMe . Мода вычисляется по формуле:

где nl-1 и nl+1 – частоты, которые находят в соответствии с предмодальным и послемодальным интервалами.

П. 2. Суммарные меры центральной тенденции

Среди суммарных мер центральной тенденции выделяют: среднюю арифметическую, среднюю гармоническую и среднюю геометрическую.

Пусть x1, x2, …, xn – выборка из генеральной совокупности объёма n.

Выборочной средней (или средним значением выборки) называется среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности.

Если все значения x1, x2, …, xn признака выборки объема n различны,

то

24

При описании рядов, в которых изучаемое свойство находится в обратно пропорциональной зависимости от значений влияющего на него фактора, используется средняя гармоническая.

Средней гармонической выборки называется величина, обратная средней арифметической из обратных значений вариантов:

В некоторых исследованиях требуется определить среднюю величину так, чтобы при замене ею каждого варианта, произведение вариантов оставалось бы неизменным. Для этих целей используется средняя геометрическая.

Средней геометрической называется корень степени, равный числу вариантов, из их произведения:

xгеом n x1 x2 ... xn . (7)

Средняя геометрическая применяется для характеристики средних темпов изменения какого-либо явления за определённый период.

П. 3. Выбор и использование мер центральной тенденции при анализе документальных и читательских потоков

При выборе и использовании мер центральной тенденции при анализе документальных и читательских потоков следует учитывать особенности исследуемой выборочной совокупности. В частности:

в малых группах мода может быть нестабильной;

на медиану не влияют величины «больших» и «малых» значений;

на величину выборочной средней влияет каждое значение. Если одно какое-нибудь значение меняется на с единиц, x изменится в том же направлении на с/п единиц;

выборки, имеющие более чем одну моду, не имеют центральной тенденции;

центральная тенденция для выборок, содержащих крайние значения, наилучшим образом измеряется медианой, когда гистограмма

25

унимодальна; в этом случае крайнее значение может сместить среднее группы гораздо дальше того места, которое стоит рассматривать как центральную область;

в унимодальных выборках, которые симметричны (т. е. половина гистограммы, расположенная ниже моды, есть зеркальное отражение другой половины), среднее, медиана и мода совпадают.

Во многих случаях данные, с которыми работает исследователь, не являются нормально или даже симметрично распределенными, а количество имеющихся значений ограничено. В таких условиях выборочное среднее не может рассматриваться в качестве надежной меры центральной тенденции в силу отсутствия устойчивости к смещенности распределения и наличию выбросов.

Для анализа локализации распределения эмпирических данных рекомендуется использовать подход, основанный на предварительном усечении тех значений, которые расположены в хвостах распределений, и последующем усреднении оставшихся значений. Существует множество алгоритмов идентификации значений, подлежащих удалению. В простейшем случае устойчивая мера центральной тенденции может быть получена уже путем простого усечения фиксированного одинакового процента значений из каждого хвоста распределения данных. Вопрос о количестве значений, подлежащих усечению, должен решаться с учетом особенностей конкретного исследования, но в большинстве случаев усечение порядка 20 % данных из каждого хвоста распределения можно считать оптимальным.

В качестве альтернативы усечению данных может рассматриваться подход, основанный на взвешивании. В рамках этого подхода в расчете меры центральной тенденции участвуют все полученные значения, однако их относительный вес зависит от их удаленности от основного массива данных. Из двух взвешенных оценок центральной тенденции, предложенных в данной работе, по крайней мере, одна оценка оказывается предпочтительной по сравнению с большинством других мер и вполне сопоставимой с 20 % усеченным средним. При этом преимущество подхода, основанного на взвешивании, состоит в отсутствии необходимости удаления части имеющихся значений, что особенно актуально для реальных эмпирических данных, когда практически невозможно с уверенностью отнести то или иное значение к категории выбросов.

26

Тема 1.4. Показатели вариации

План:

1.Показатели, характеризующие количественную вариацию признака.

2.Основные свойства показателей вариации.

Список рекомендуемой литературы:

1.Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика [Электронный ресурс]: учеб. пособие / В. Е. Гмурман. – Москва: ЮРАЙТ, 2012. – С. 206–207 // Университетская библиотека online. –

Электрон. дан. – Режим доступа: http://www.biblioclub.ru/book/57705/

2.Гусак, А. А. Высшая математика [Текст]: в 2 т. / А. А. Гусак. – Минск:

ТетраСистемс, 2009. – Т. 2. – С. 402–408.

3.Карманов, Ф. И. Статистические методы обработки экспериментальных данных [Электронный ресурс]: учеб. пособие / Ф. И. Карманов, В. А. Острейковский. – Москва: Абрис, 2012. – С. 110–123 // Университетская библиотека online. – Электрон. дан. – Режим доступа: http://www.biblioclub.ru/book/117636/

П.1. Показатели, характеризующие количественную вариацию признака

Среди показателей, характеризующих количественную вариацию признака, выделяют: размах вариации, среднее линейное отклонение, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение, коэффициент асимметрии, эксцесс, коэффициент вариации.

Простейшей мерой рассеяния случайной величины является размах выборки.

Размах вариации выборки R – это разность между наибольшим и наименьшим значениями выборки:

R xmax xmin . (1)

Отклонение каждого варианта от выборочного среднего x характеризуется абсолютной величиной разности xi x , а весь ряд отклонений характеризует вариацию признака в совокупности.

27

Средним линейным отклонением называется средняя арифметическая абсолютных величин отклонений вариантов от их выборочной средней:

Выборочной дисперсией называется среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений выборки от их среднего значения x .

Если все значения x1, x2, …, xn признака выборки объема n различны,

то

Для вычисления выборочной дисперсии также можно пользоваться формулой:

DB x2 x2 . (5)

Выборочная дисперсия имеет систематическую ошибку, приводящую к уменьшению дисперсии. Чтобы это устранить, вводят поправку, умножая

DB на n n 1 . В результате получают исправленную (или модифицирован-

ную) дисперсию:

Кроме дисперсии для характеристики рассеяния значений признака выборочной совокупности вокруг своего среднего значения пользуются сводной характеристикой – средним квадратичным отклонением.

Выборочным средним квадратическим отклонением (стандартом)

называют квадратный корень из выборочной дисперсии:

B DB . (7)

28

Для сравнения меры рассеяния значений признаков около выборочной средней в разных выборках служит коэффициент вариации.

Коэффициентом вариации v называется отношение выборочного среднего квадратичного отклонения к выборочной средней, выраженное в процентах:

v xB 100% . (8)

Критериальным значением коэффициента вариации v служит 33,3 %, то есть если v меньше или равен 33,3 % – вариация считает слабой, а если больше 33,3 % – сильной. В случае сильной вариации изучаемая статистическая совокупность считается неоднородной.

Совместно с коэффициентом вариации v используют коэффициент равномерности:

Кравномерности = 100 – v. (9)

Чем больше коэффициент равномерности Кравномерности , тем равномернее распределены элементы в выборке.

Мерой, описывающей форму распределения (направление скошенности, асимметричности) элементов в совокупности, является коэффициент асимметрии.

Коэффициентом асимметрии выборки называется число, вычисляе-

мое по формуле:

На практике асимметрия считается значительной, если коэффициент асимметрии превышает по модулю 0,25.

Форма кривой, отображающей распределение элементов в совокупности, может иметь разную крутизну. Степень островершинности кривой описывается с помощью коэффициента, который называется эксцессом.

Эксцессом выборки называется число, вычисляемое по формуле:

П. 2. Основные свойства показателей вариации

Среди основных свойств показателей вариации, рассмотренных в первом пункте, можно выделить следующие:

сумма отклонений отдельных значений xi от их среднего x равна нулю:

n

(xi x) 0 ;

i 1

если из всех значений вариант отнять какое-то постоянное число, то средний квадрат отклонений от этого не изменится;

если все значения вариант разделить на какое-то постоянное число С, то средний квадрат отклонений уменьшится от этого в С2 раз,

а среднее квадратическое отклонение – в С раз;

если исчислить средний квадрат отклонений от любой величины С, которая в той или иной степени отличается от выборочного среднего x , то он всегда будет больше среднего квадрата отклонений, исчисленного от средней арифметической.

Кроме того, так как коэффициент асимметрии As характеризует пре-

имущественное расположение варианты xi относительно среднего значения, следовательно, если As = 0, то данные расположены симметрично

по отношению к x . Если As < 0, то в данных преобладают значения xi < x ,

т. е. преобладают небольшие значения, в этом случае говорят, что ряд смещен влево. Если же As > 0, то говорят, что ряд «смещен» вправо отно-

сительно выборочного среднего, т. е. в данных преобладают большие́ значения.

Эксцесс Ek характеризует расстояние данных относительно среднего. Если Ek < 0, то в данных наблюдается большая дисперсия, которая не

уменьшается по мере удаления от выборочного среднего значения. Если Ek > 0, то данные сгруппированы возле выборочного среднего очень плот-

но.

Тема 2.1. Элементы булевой алгебры

План:

1.Понятие высказывания.

2.Булевы функции n переменных.

30