Математика. Практикум. Учебное пособие для студентов 1-го курса направления 08.03.01 - «Строительство»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Белгородский государственный технологический университет им В.Г. Шухова

Ю. А. Феоктистов

МАТЕМАТИКА

ПРАКТИКУМ

Утверждено ученым советом университета в качестве учебного пособия для студентов направления 08.03.01 – Строительство

Белгород

2017

УДК 51(07) ББК 22.1я7 Ф 42

Р е ц е н з е н т ы:

Кандидат технических наук, доцент Белгородского государственного технологического университета им. В. Г. Шухова А. С. Горлов

Кандидат физико-математических наук, доцент Белгородского государственного национального исследовательского университета (НИУ «БелГУ»)

В. В. Флоринский

Феоктистов, Ю. А.

Ф 42 Математика: практикум: учебное пособие для студентов 1-го курса направления 08.03.01 – Строительство /Ю. А. Феоктистов. – Белгород: Изд-во БГТУ, 2017. – 86 с.

Учебное пособие подготовлено на основе рабочей программы кафедры высшей математики БГТУ им. В. Г. Шухова и соответствует федеральному государственному образовательному стандарту высшего образования по дисциплине «Математика» и написано с учетом современных требований к преподаванию математики.

Книга содержит краткое изложение основных теоретических сведений и примеры решения типовых задач по линейной и векторной алгебре, аналитической геометрии, пределам и производной функции.

Издание предназначено для студентов всех форм обучения направления 08.03.01 – Строительство и может быть использовано студентами других технических специальностей.

Учебное издание публикуется в авторской редакции.

УДК 51(07) ББК 22.1я7

© Белгородский государственный технологический университет (БГТУ) им В. Г. Шухова, 2017

ВВЕДЕНИЕ Числовые расчеты применяются во всех областях деятельности

инженеров всевозможных специальностей, физиков, химиков и работников многих других профессий. В связи с развитием науки и техники приходится решать все более сложные задачи, проводить все более и более сложные подсчеты. Все эти расчеты основаны на математике, которая представляет собой значительный отдел в общей сумме человеческих знаний и приспособлена к обслуживанию самых разнообразных областей науки и практической деятельности.

Цель курса математики в системе подготовки бакалавров (инженеров) – освоение необходимого математического аппарата, помогающего анализировать, моделировать и решать прикладные технические задачи, используя в случае надобности компьютеры.

Задачи изучения математики как фундаментальной дисциплины состоят в развитии логического и алгоритмического мышления, в выработке умения моделировать реальные технические процессы, в освоении приемов исследования и решения математически формализованных задач, в овладении основными методами математики.

В данном практикуме рассматриваются темы первого семестра – линейная и векторная алгебра, элементы аналитической геометрии, пределы, производные. По всем темам приведен краткий теоретический материал и подробные решения типовых примеров и задач, что должно способствовать лучшему пониманию и усвоению предмета. В конце каждой главы приводятся задачи для самостоятельного решения для повторения и закрепления материала.

Практикум рассчитан на студентов технических направлений дневной и заочной формы обучения, желающих лучше изучить математику.

3

Глава 1. Матрицы и определители

Прямоугольная таблица, состоящая из чисел, расположенных в m строках и n столбцах, называется матрицей. Матрицы обозначаются

m и n называются порядками матрицы. Если m = n, то матрица называется квадратной порядка n , иначе – прямоугольной. Числа aij ,

входящие в состав матрицы, называются ее элементами, причем i – номер строки, j – номер столбца.

Матрица AT , полученная из матрицы А заменой в ней строк на столбцы с сохранением порядка их следования, называется транспонированной.

Главная диагональ квадратной матрицы – воображаемая прямая, проходящая через элементы с одинаковыми индексами из левого верхнего в правый нижний ее угол. Эти элементы – диагональные. Побочная диагональ – прямая, идущая из правого верхнего в нижний левый угол матрицы.

Квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны 0 , называется диагональной. Единичной матрицей

порядка.

Две матрицы называются равными, если эти матрицы имеют одинаковые порядки и все соответствующие их элементы совпадают.

Произведением матрицы А размером m× n на действительное число α называется матрица С размером m× n , элементы cij которой

равны cij = α aij , i = 1, m; j =1, n .

Суммой двух матриц А и В размером m× n называется матрица С,

4

элементов i строки матрицы А на соответствующие элементы j столбца

k матрицы В: сij = ai1 b1 j + ai 2 b2 j + ... + aik bkj = ∑ ail blj .

l =1

Произведение матриц A B имеет смысл в том случае, если число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В. В общем случае A B ≠ B A , т. е. произведение некоммутативно.

Определители

Каждой квадратной матрице поставим в соответствие определенное число, называемое определителем этой квадратной матрицы. Если

= a11 a22 − a12 a21 .

Определитель второго порядка равен разности произведений элементов главной диагонали и произведения элементов, стоящих на побочной диагонали.

Определителем квадратной матрицы третьего порядка

= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a13 a22 a31 − a12 a21 a33 − a11 a23 a32 .

Для удобства вычислений допишем две строчки снизу определителя. Определитель будет равен произведению элементов главной диагонали и элементов, расположенных на двух прямых, параллельных главной диагонали, взятых с их знаком, и произведению элементов побочной диагонали и элементов, расположенных на двух прямых, параллельных побочной диагонали, взятых с противоположным знаком.

5

−a23 a32 a11 − a33 a12 a21 ;

Основные свойства определителей

1.При транспонировании определителя величина

определителя не меняется, т.е. | A |=| AT | . Напомним, что

транспонирование – замена его строк столбцами. Значит, строки и столбцы в определителе равноправны и если выполняются некоторые свойства для столбцов, то такие же свойства существуют и для строк.

2.Если в определителе поменять местами какие-нибудь две строки, то определитель сохраняет свою абсолютную величину, но изменит знак на противоположный.

3.Если определитель имеет две одинаковые строки, то он

равен нулю.

4.Общий множитель, содержащийся во всех элементах строки, можно вынести за знак определителя.

5.Определитель, имеющий нулевую строку (все элементы которой равны нулю), равен нулю.

6.Если все элементы какой-либо строки состоят из двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, в одном из которых элементами этой строки являются первые слагаемые, во втором – вторые, а остальные элементы такие же, как и в данном определителе.

7.Определитель не изменится, если к элементам какойлибо строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на любое число.

Следствие: определитель равен нулю, если элементы каких-либо двух его строк пропорциональны.

Свойство 7 можно обобщить: если элементы какого-либо столбца определителя является линейной комбинацией других его столбцов, то определитель равен нулю. Если столбцы определителя линейно зависимы, то определитель равен нулю.

Минором любого элемента aij матрицы n-го порядка будем

называть определитель порядка n–1, соответствующий матрице, которая получена из данной вычеркиванием строчки с номером i

6

и столбца с номером j, на пересечении которых находится данный

i

элемент. Минор элемента aij будем обозначать M j .

Алгебраическим дополнением Aij элемента aij назовем число,

равное Aij = (−1)i + j M ij .

Сформулируем свойства 8 и 9 определителей:

8.Определитель равен сумме произведений элементов какойнибудь строки (или столбца) на алгебраические дополнения этих элементов.

9.Сумма произведений элементов какой-либо строки на соответствующие алгебраические дополнения элементов другой строки равна нулю.

то мы получим квадратную матрицу порядка k. Определитель этой матрицы называется минором k – го порядка матрицы А. Среди этих миноров найдется хотя бы один, отличный от нуля, минор старшего порядка. Порядок наибольшего минора, отличного от нуля, называется рангом матрицы r(A). Тот минор r - го порядка, который отличен от нуля, назовем базисным минором (у матрицы А может быть несколько миноров r-го порядка, которые отличены от нуля). Строки и столбцы, на пересечении которых стоит базисный минор, назовем соответственно базисными строками и базисными столбцами.

Свойства ранга:

1.Ранг матрицы не меняется при ее транспонировании, т.к. строки и столбцы равноправны в отношении ранга.

2.Ранг матрицы не меняется при перестановке ее строк.

3.Ранг матрицы не меняется при умножении всех элементов какой-либо строки на отличное от нуля число.

4.Ранг матрицы не меняется, если к одной из ее строк прибавить другую строку, умноженную на некоторое число.

5.Ранг матрицы не меняется, если удалить нулевую строку.

6.Ранг матрицы не меняется, если удалить строку, являющейся линейной комбинацией другой строки.

7

причем алгебраические дополнения образуют транспонированную матрицу.

Полученная формула является достаточно громоздкой, поэтому рассмотрим другой способ определения обратной матрицы.

Две матрицы называется эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований. Если матрицы А и В – эквивалентные, то это обозначают так: A В .

Для отыскания обратной матрицы запишем матрицу:

правой – единичная матрица. С помощью элементарных преобразований на месте матрицы А нужно получить единичную матрицу, тогда на месте единичной матрицы получится обратная матрица.

Примеры решения типовых задач Пример 1.1. Даны матрицы