Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Практикум. Учебное пособие для студентов 1-го курса направления 08.03.01 - «Строительство»

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

849 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 92 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

	3	2	0
	1	−1	−2	= 3 (−1) 1 + 1 2 0 + 5 2 (−2) − 0 (−1) 5 − (−2) 2 3 − 1 2 1 = −13;
	5	2	1
3		2	0
1		−1	−2
	в)
		−1	1
	2	−1	1
	3	1	4	= 2 1 0 + 3 (−2) 1 + 2 (−1) 4 − 1 1 2 − 4 (−2) 2 − 0 (−1) 3 = 0.
	2	−2	0

2−1 1

31 4

Пример 1.4. Вычислить определитель четвертого порядка:

6 0 −1 1

2 −2 0 1

1 1 −3 3

4 1 −1 2

Решение Для вычисления определителя накопим нули в первой строчке

определителя, для этого умножим третий столбец на 6 и сложим с

	0	0	−1	1
первым:	2	−2	0	1	.
первым:	−17	1	−3	3	.
	−17	1	−3	3
	−2	1	−1	2
							0	0	1
						0	0	0	1
Теперь сложим четвертый столбец с третьим:						2	−2	1	1	= .
						−17	1	0	3
						−2	1	1	2

Разложим определитель по первой строке, как произведение элементов этой строки на их алгебраические дополнения:

											2		−2		1
		= 0 A + 0 A + 0 A + 1 A = (−1)1+ 4									−17		1		0	= −(2 1 1 −17 1 1 −
11						12		13	14
											−2		1		1
−2 (−2) 0 −1 1 (−2) − 0 1 2 −1 (−2) (−17)) = 47.
									1	2		−1
Пример 1.5.						Дана		матрица	A = 3	−1		0		. Найти обратную

									−2	4		−3
матрицу A−1 . Вычислить A−1 A; A A−1 .
									Решение
					2	−1
				1	2	−1
	A		=	3	−1 0		= 1 (−1) (−3) + 3 4 (−1) − 2 2 0 + 1 (−1) (−2) −
	A		=	3	−1 0		= 1 (−1) (−3) + 3 4 (−1) − 2 2 0 + 1 (−1) (−2) −
				−2	4	−3

−0 4 1 + 3 2 3 = 11 ≠ 0.

Вычислим алгебраические дополнения.

Для вычисления A11 вычеркнем 1-ю строку и 1-й столбец; для вычисления A21 вычеркнем 2-ю строку и 1-й столбец и т.д.

A = (−1)1+1

−1 0

= 3; A = (−1)2+1

2 −1

= 2;

−3

A = (−1)3+1

−1

= −1; A = (−1)1+ 2

= 9;

−1

−2

−3

A = (−1)2+ 2

−1

= −5; A = (−1)3+ 2

1 −1

= −3;

−2

−3

A = (−1)1+ 3

−1

A = (−1)2+3

= 10;

= −8;

−2

−1

3+ 3

−1

A33 = (−1)

−1

= −7.

9 −5 −3

−8

−7

		1		2	−1		3		2 −1
	−1					1
A A		=	3	−1 0				9	−5	−3	=

			−2	4		11			−8	−7
					−3		10

1 3 + 2 2 −1 (−1)

1 2 + 2 (−5) −1 (−8)

1 (−1) + 2 (−3) −1 (−7)

3 3

−1 9

+ 0 10

3 2 −1 (−5) + 0 (−8)

3 (−1) −1 (−3) + 0 (−7)

−2 3 + 4 9 − 3 10

−2 2 + 4 (−5) − 3 (−8)

−2 (−1) + 4 (−3) − 3 (−7)

11 0

1 0 0

=0 11 0 = 0 1 0 = E 11 0 0 11 0 0 1

						3	2 −1	1 2				−1				11 0 0			1 0 0
		−1			1										1
A A				=		9	−5 −3		3		−1	0		=			0 11 0		=	0 1 0		= E Пр
A A				=		9	−5 −3		3		−1	0		=			0 11 0		=	0 1 0		= E Пр
					11		−8 −7		−2 4						11
						10	−8 −7		−2 4			−3					0 0 11			0 0 1
									3		1	0
										4	3	2											A	−1
имер 1.6. Дана матрица A =										4	3	2	. Найти обратную матрицу										A
										2	2	−7
										2	2	−7
с помощью элементарных преобразований.
											Решение
а) Находим определитель матрицы A :
					3	1	0
	А		= 4			3	2 = −43 ,	−43 ≠ 0 ,				следовательно,						обратная			матрица
	А		= 4			3	2 = −43 ,	−43 ≠ 0 ,				следовательно,						обратная			матрица

2 2 −7

существует.

б) Находим обратную матрицу.

Запишем матрицу А, дописав к ней справа единичную матрицу:

3		1	0	1	0	0
	4	3	2	0	1	0

2		2	−7	0	0	1

Чтобы найти обратную матрицу, используем элементарные преобразования над строками матрицы, преобразуем левую часть полученной матрицы в единичную.

1-ю строку делим на 3:

	1	1	0		1	0	0

		3			3
		3			3
4		3	2		0	1	0
	2	2	−7	0		0	1
	2	2	−7	0		0	1

от 2-й строки вычитаем 1-ю строку, умноженную на 4; от 3-й строки

		1				1
	1		0					0	0
	1	3	0			3		0	0
		3				3
		5					4
отнимаем 1-ю строку, умноженную на 2:	0	5		2		−	4	1	0
		3				3
		4				2
	0				−7	−		0	1
	0				−7	−		0	1
		3				3

				1			1
			1		0			0	0
				3			3
	5
2-ю строку делим на		:	0	1		1.2	−0.8	0.6	0

	3
				4			2

			0			−7	−	0	1

				3			3

от 1-й строки отнимаем 2-ю строку, умноженную на 1 ; от 3-й строки

							3
			1		0	−0.4			−0.2	0
								0.6
отнимаем 2-ю строку, умноженную на	4	:		0	1	1.2		−0.8	0.6	0
	3
						−8.6			−0.8
			0		0			0.4		1


		1	0	−0.4	0.6	−0.2	0
3-ю строку делим на –8.6:		0	1	1.2	−0.8	0.6	0
3-ю строку делим на –8.6:		0	1	1.2	−0.8	0.6	0
	0		0	1	2	4	5
					−		−
					−		−
					43	43	43
					43	43	43

к 1-й строке добавляем 3-ю строку, умноженную на 0,4; от 2-й строки отнимаем 3-ю строку, умноженную на 1,2:

						25						−		7				−		2

						43								43						43
1		0	0			43								43						43
	0	1	0			−		32					21							6
	0	1	0			−
	0	0	1				43						43				43
	0	0	1				2							4						5
						−												−
						−												−
							43						43							43
													25					−		7	−	2

													43							43		43
													43							43		43
							−1							32			21					6
	Ответ:					A				=		−											.
	Ответ:					A				=		−		43			43				43		.
														43			43				43
														2						4		5
												−		2						4	−	5
												−		43			43				−	43
														43			43					43
											Задачи для самостоятельного решения
																																	3			1	2
	1.	Вычислить												определители										второго порядка:								8	3	;		1	2	;
	1.	Вычислить												определители										второго порядка:								−1	4	;		4	2	;
																																−1	4			4	2
−5		2		;		3			6		;			1			4			.
−5		2				3			6					1			4
7		−1				3			−3					−2			6
7		−1				3			−3					−2			6
																																			−2		3
																																	4		−2		3
	2.		Вычислить													определители										третьего порядка:							−2		0			;
																																	4		1		2
5 1 −2							3 4 −3												6 9 4								3 5 −6
5 1 −2							3 4 −3												6 9 4								3 5 −6
1 3 −1					;		1 2 3											;	−1 −1 1					;			2 4 3	.
8 4 −3							5 0 −1												10 1 7								−3 −1 1
																																	0		−1		1
																															1		0		−1		1
	3.	Вычислить определители четвертого порядка:																													−2		−2		0		1	;
	3.	Вычислить определители четвертого порядка:																													−1		1		3		3	;
																															−1		1		3		3
																															4		−1		−1		2
		2 3 4													5 −3 7 −1										6 0 −1 1					2 7 2 1
1		2 3 4													5 −3 7 −1										6 0 −1 1					2 7 2 1
−2 1 −4 3												;			3 2 0 2										2 −2 0 1				;	1 1 −1 0							.
3 −4 −1 2												;			2 1 4 −6								;		1 1 −3 3				;	3 4 0 2							.
3 −4 −1 2															2 1 4 −6										1 1 −3 3					3 4 0 2
4 3 −2 −1															3 −2 9 4										4 1 −1 2					3 5 −1 −3

4. Даны две матрицы A и В. Найти: а) АВ; б) ВА; в) A−1 ; г) A A−1 ;
д) A−1 A .
1 1			−1	1		0	−4
	2 −4
A =	2 −4		1	, B =	2 5		−3
	4 −3		1		4 −3		2
	4 −3		1		4 −3		2
5		−8	−4	1		3	5
			−5
A =	7	0	−5	, B =	1	2	1
	4	1	0		2	−1	−3
	4	1	0		2	−1	−3

2		−1 −3					2		−1 −2
		−7 −6			, B =				−5 4
A =	8	−7 −6			, B =			3	−5 4
	−3	4 2						1	2 1
	−3	4 2						1	2 1
3		5 −6				2			8 −5
							−3		−1 0
A =	2	4 3		, B =			−3		−1 0
	−3	1 1					4		5 −3
	−3	1 1					4		5 −3
2 6		1			4 −3				1
						−4 0
A =	1 3	2	, B	=		−4 0			5
	0 1	1				3 2			−3
	0 1	1				3 2			−3

Глава 2. Решение систем линейных уравнений

В общем случае система n линейных уравнений с n неизвестными

имеет вид:
a		x + a			x	+ ... + a		x	= b ,
11		1	12		2	1n		n	1
a21 x1			+ a22 x2 + ... + a2n xn						= b2 ,	(2.1)
............................................

a	n1	x + a			x	+ ... + a		x	= b .
	n1	1		n 2 2			nn n		n

Через x1 , x2 ,..., xn обозначены неизвестные, подлежащие определению; величины a11 , a12 ,..., ann , называемые коэффициентами системы, и величины b1 , b2 ,..., bn , называемые свободными членами,

предполагаются известными. Каждый коэффициент системы имеет два индекса, первый из которых указывает номер уравнения, а второй – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент. Решением

системы называется всякая совокупность чисел c1 , c2 ,..., cn , которая,

будучи подставлена в систему вместо неизвестных, превращает все

уравнения системы в тождества. Система уравнений называется совместной, если она имеет хоты бы одно решение и несовместной, если она не имеет решений. Будем говорить, что совместная система – определенная, если она имеет единственное решение и неопределенная, если она имеет более одного решения.

Условие совместимости системы линейных уравнений.

Рассмотрим систему (2.1). Матрицей этой системы будем называть матрицу, составленную из ее коэффициентов:

a11a12 ...a1n

A = a21a22	...a2n .
...............


an1an 2	...ann

Если к этой матрице добавить столбец свободных членов, получим расширенную матрицу:

	a11a12 ...a1nb1
		...a2nb2
	a21a22	...a2nb2
A =	...............		.

		...annbn
	an1an2	...annbn

Теорема Кронекера–Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы системы.

Правило Крамера решения систем линейных уравнений.

Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными (2.1).

Введем матрицу неизвестных Х: X

членов В: B = b2 ...bn

x1

= x2		, и матрицу свободных
...


xn

Считаем, что определитель матрицы системы (2.1) ≠ 0 . Систему (2.1) можно заменить матричным уравнением: A X = B . Умножим

матричное уравнение слева на обратную матрицу А–1: A−1 ( A X ) = A−1 B; поскольку A−1 A = E , тогда X = A−1 B .

Используя формулу для обратной матрицы и введя обозначения:

i = b1 A1i + b2 A2i	+	... + bn Ani ,	получаем	формулы
Крамера: xi = i /	,	i = 1, 2,..., n .
Определитель	i	получается из определителя системы		заменой

его i-го столбца столбцом свободных членов.

Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными имеет

единственное					решение,				если	определитель	системы
≠ 0 : х =	1	; х		=		2	; х =	3	.
≠ 0 : х =		; х	2	=			; х =		.
1			2		3

Метод Гаусса

Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными (2.1). Метод Гаусса представляет собой систематизированную схему последовательного исключения неизвестных. Пусть а11 ≠ 0 (иначе

переставим местами уравнения). С помощью первого уравнения исключим переменную х1 из второго и последующих уравнений. Для

этого от второго уравнения отнимем первое, умноженное на а21 , от

а11

третьего – первое, умноженное на а31 и т.д. Получим систему

а11

уравнений с новыми коэффициентами. Пусть а22' ≠ 0 , тогда исключим

х2 из третьего и последующих уравнений. Для этого умножим второе

уравнение на	а32	и вычтем полученный результат из третьего, из
уравнение на	а'	и вычтем полученный результат из третьего, из
	а'
22
четвертого уравнения вычтем второе, умноженное на			а42	и т.д.
четвертого уравнения вычтем второе, умноженное на			а'	и т.д.
			а'
		22

Продолжив дальнейшее исключение неизвестных, получим систему с так называемой треугольной матрицей:

а11 х1 + а12 x2 + ... + а1n xn = b1 ,
	'	'	'	,
	a22 x2	+ ... + а2n xn	= b2	,
............................................

		''		''
		ann xn	= bn

Эта процедура называется прямым ходом метода Гаусса. Далее начинаем обратный ход метода Гаусса, т.е. нахождение неизвестных.

Находим xn	из последнего уравнения,					затем найденное значение xn
подставляем	в	предпоследнее			уравнение		и определяем	xn −1 .
Найденные значения			xn и	xn −1 подставляем в (n–2)-е уравнение и
находим xn −2 .		Продолжая		этот	процесс,		определяем остальные
неизвестные системы.
Мы полагали, что			а' ≠ 0 . Однако,			при данных преобразованиях
			22
мы можем	получить		уравнения		вида	0 x1 + 0 x2 + ... + 0 xn		= a , в

котором все коэффициенты при неизвестных равны 0. При этом возможны два случая.

Если а = 0 , то система имеет бесконечное количество решений. Если а ≠ 0 , то система не имеет решений.

Как отыскивать решения системы в первом случае, будет указано в следующем пункте. При решении систем линейных уравнений методом Гаусса удобно приводить к треугольному (или ступенчатому) виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу этой системы, выполняя все преобразования над ее строками. Последовательно получающиеся в ходе преобразования матрицы обычно соединяют знаком эквивалентности.

Решение произвольных систем линейных уравнений

Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными:

а11 х1 + а12 x2 + ... + а1n xn							= b1 ,
								= b2 ,
а21 х1 + а22 x2 + ... + а2 n xn								= b2 ,

............................................

а	m1	х + а	x	+ ... + а	mn	x		= b
	m1	1	m 2 2		mn	n		m

Для решения произвольной системы алгебраических уравнений необходимо вычислить ранг матрицы системы r(А). Если он совпадает с рангом расширенной матрицы, то система имеет решение. Считаем, что базисный минор расположен в первых r строках и столбцах системы. Уравнения, соответствующие базисным строкам, назовем базисными уравнениями. Неизвестные, соответствующие базисным столбцам, назовем главными, а остальные – свободными. Система линейных уравнений эквивалентна системе своих базисных уравнений.

Если r = n, то система имеет единственное решение по теореме Кронекера–Капелли. Если r < n, то перенесем в правую часть все члены, кроме r главных неизвестных. Свободным неизвестным

xr +1 , xr + 2 ,..., xn придадим числовые значения cr +1 , cr + 2 ,..., cn . Тогда получившуюся систему r уравнений с r неизвестными решаем по формулам Крамера или методом Гаусса и находим выражение r неизвестных через константы.

Если ранг системы r меньше числа неизвестных n, то система имеет бесконечно много решений, при этом r неизвестных (главных) линейно выражаются через (n − r ) свободных неизвестных.

Сформулируем правило решения произвольной системы. 1.Вычисляя ранги основной и расширенной матриц системы,

выясняем вопрос о ее совместности. Если система совместна, то находят какой-либо базисный минор порядка r.

2.Берется r уравнений, из коэффициентов которых составлен базисный минор, остальные уравнения отбрасывают. Неизвестные, коэффициенты которых входят в базисный минор, считаются главными и оставляются слева, а остальные (n − r ) – свободными и

переносят в правую часть уравнений.

3.По формулам Крамера или методом Гаусса находим выражения главных неизвестных через свободные. Полученные равенства представляют собой общее решение системы.

4.Придавая свободным неизвестным любые числовые значения, определяют значения главных неизвестных и находят частные решения системы.

Если положить, что свободные неизвестные равны нулю, то мы получим базисное решение. Базисных решений обычно несколько.

Матричные уравнения

Встречаются уравнения вида А X = B , где А и В – квадратные матрицы одного порядка. Если соответствующие элементы матриц А и В пропорциональны, то Х – некоторое число. Если это не так, то Х – квадратная матрица. Для ее вычисления можно составить систему линейных уравнений, однако проще использовать обратную матрицу.


Если	в уравнении А X = B все				три	матрицы	являются
				тогда A−1 А X = A−1 B, E X = A−1 B и
квадратными, причем		А	≠ 0 ,	тогда A−1 А X = A−1 B, E X = A−1 B и
решение X = A−1 B .
Рассмотрим матричное				уравнение	вида	X A = B .	Имеем:
X A A−1	= B A−1 ; и его решение X = B A−1 .

Системы однородных уравнений

Если все свободные члены системы равны нулю, то такие системы называется однородными.

<<< < Предыдущая 12 / 92 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]