Математика. Практикум. Учебное пособие для студентов 1-го курса направления 08.03.01 - «Строительство»

Пример:

y = x4 ; y′ = 4x3 ; y′′ = (4x3 )′ = 12x2 ; y′′′ = 24x; y(4)

= 24; y(5) = 0 ;

y = ekx ; y′ = kekx ; y′′ = k 2ekx ; y′′′ = k 3ekx ;...; y(n)

= k nekx .

Для дифференцируемых функций u и v:

(u +v)(n) =u(n) +v(n) ;

(u v)( n) = u(n) v +nu( n−1) v′+

n(n −1)

u( n−2) v′′+... +u v( n)

–

2!

x2 > x1 следует неравенство f (x2 ) < f (x1 ) .

Экстремумы функции

Функция f (x) имеет в точке x0 максимум, если f (x0 ) > f (x0 +

x) ,

где x – достаточно малая величина. Функция f (x) имеет в т.

x0

минимум, если f (x0 ) < f (x0 +

x) .

Если в точке x0 функция

f (x) имеет максимум или минимум, то в

этой точке имеется экстремум.

Тогда возможно:

1.

f ′(x) > 0

при x < x0 и

f ′(x) < 0 при

x > x0 , то

есть производная при переходе через точку x0

меняет знак с «+» на «–

». Тогда при

x < x0 f (x)

возрастает, а

при x > x0

(в данном

x0 f (x) имеет максимум.

2.

f ′(x) < 0 при x < x0 ,

f ′(x) > 0

при x > x0 , то есть

производная при переходе через точку

x0

меняет знак с «–» на «+», в

точке x0 будет минимум.

3.

f (x) не меняет знак при переходе через точку x0 .

Тогда f (x) либо возрастает, либо убывает, экстремума нет.

Второй достаточный признак экстремума

Пусть x0

– критическая точка и

f '(x0 ) = 0 ,

f (x) имеет вторую

производную в интервале и в самой точке x0 . Тогда,

если f ′′(x0 ) < 0

то в точке x0

максимум, если f ′′(x0 ) > 0 , то в точке x0

минимум.

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Если f (x)

непрерывна на отрезке [a;b], то на этом отрезке всегда

Наклонные

асимптоты

ищем

в

виде

y = kx + b ,

где

k = lim

f (x)

, b = lim( f ( x) − kx) .

Если

хотя

бы

один

из

пределов

не

x →∞

x

x →∞

существует,

то

асимптот нет.

Иногда существует

две

асимптоты:

k = lim

f (x)

и

k = lim

f (x)

и два значения b

иb

.

1

1

x →+∞

x

1

x →−∞

x

2

Пример 9.1. Найти производную функции y =

x3 + 1

.

x3 − x

Решение

u

′

u′v − uv′

Используем формулу:

=

.

v

v2

y′ =

(x3 +1)′ (x3 −x ) − (x3 −x )′ (x3 +1)

3x2 (x3 −x)−(3x2 −1) (x3 +1)

=

=

(x3 −x)2

(x3 −x)2

=

3x5 −3x3 −3x5 −3x2 + x3 +1

=

−2x3 −3x2 +1

.

(x3 −x )2

(x3 −x)2

Пример 9.2. Найти производную функции y = x3ctgx .

Решение

′

′

+ uv

′

.

Используем формулу: (u v)

= u v

3

′

3

2

1

3

2

x3

y′ = (x

)

ctgx

+ (ctgx)′ x

= 3x

ctgx + −

x

= 3x

ctgx −

.

sin

2

sin

2

x

x

Пример 9.3. Найти производную функции y = sin

2

x

.

2

Решение

Используем

формулы

производной

сложной

функции:

(u n )′ = n u n −1 u′ и (sin u )′

= u′ cos u .

y′ = 2 sin

x

x

′

x

x

x

'

x

x 1

x

x

sin

= 2 sin

cos

= 2 sin

cos

= sin

cos

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Пример 9.4. Найти производную функции y = x arcsin ln x .

Решение

Используем

′

′

′

и

формулу

производной

формулу (u v)

= u v + uv

сложной функции: (arcsin u ) ' =

u '

.

1−u 2

1

y′ = ( x) ' arcsin ln x + x (arcsin ln x) ' = arcsin ln x + x

(ln x) ' =

1 − ln 2

x

1

1

1

= arcsin ln x + x

= arcsin ln x +

.

x

1 − ln 2

x

1 − ln 2 x

Решение

Используем формулу

′

′

+ uv

′

и формулы производной

(u v)

= u v

сложной функции:

(eu ) ' = eu u ',

(ctg u) ' = −

u '

cos2 u

y′ = (ecos x ) ' (ctg35x) + ecos x (ctg35x) ' = ecos x (− sin x) ctg 3 5x +

cos x

2

5

cos x

3

+e

3 ctg

5x

−

= −e

sin x ctg

5x −

sin

2

5x

cos x

2

15

−e

ctg

5x

.

2

5x

sin

Решение

a) Найдём несколько производных:

y′ = 3 e3 x ; y′′ = 3 3 e3 x = 32 e3 x ; y ''' = 32 3 e3 x = 33 e3 x .

Очевидно, что

y(n) = 3n e3 x .

б) Найдём несколько производных:

y′ =

1

; y′′ = −

1

= − x−2 ;

y′′′ = −(−2) x−3 = 1 2 x−3 = 2! x−3 ;

x

x2

y(4) = −2! 3 x−4 = −3! x−4

. Получаем, что

y(n) = (−1)n+1 (n − 1) ! x− n .

Пусть v = x2 + 1 , тогда v′ = 2 x, v′′ = 2, v ''' = v( 4)

= 0,

1

1

2

, u (4)

6

u = ln x ;

u′

=

, u′′ = −

, u′′′

=

= −

;

x

x2

x3

x4

( 4)

( 4)

4 3

6

(x

2

+ 1) + 4

2

1

y

= u

v

+ 4 u′′′ v′ +

u′′ v′′

= −

2x + 6 −

2

=

1 2

x

4

3

x

2

x

−6 (x2 + 1)

16 12

6 (x2 + 1)

4

= −

+

−

= −

+

.

x

4

x

2

x

2

x

4

x

2

Пример 9.8. Найти производную функций

y =

( x + 1)3

и

( x − 1)

2

( x + 4)

4

y = sin xtgx .

Решение

а) Логарифмируем:

ln y = 3 ln( x + 1) − 2 ln( x − 1) − 4 ln( x + 4) .

y′

3

2

4

Дифференцируем:

=

−

−

,

y

x+1

x−1

x+4

тогда:

y′ =

( x + 1)3

3( x−1)( x+4)−2( x+1)( x+4)−4( x+1)( x−1)

=

( x −

1)

2

( x + 4)

4

( x+1)( x−1)( x+4)

( x + 1)2 [3( x2 + 4x − x − 4) − 2( x2 + 4x + x + 4) − 4( x2 − 1)]

=

=

( x − 1)3 ( x + 4)5

=

( x+1)2 (3x2 +12 x−3x−12−2 x2 −8x−2 x−8−4 x2 +4)

( x+1)2 (−3x2 − x−16)

.

=

( x−1)3 ( x+4)5