Математика. Практикум. Учебное пособие для студентов 1-го курса направления 08.03.01 - «Строительство»

Решение

Используем формулу:

x − x1

=

y − y1

, тогда

x2 − x1

y2 − y1

x − 1

y − 2

x−1

y−2

=

;

=

. Используя свойство пропорций,

−3

1

−2 − 1

3 − 2

получаем: ( x − 1) = −3( y − 2); x + 3 y − 7 = 0 .

Пример 4.4. Даны две прямые

y = 2 x + 3, y = −3x + 2 . Найти угол

между этими прямыми.

Решение

Из уравнений определяем, что

k1 = 2, k2 = −3 . Воспользовавшись

формулой:

tgϕ =

k2 − k1

, получаем: tgϕ =

−3 − 2

=

−5

= 1, ϕ = π / 4.

1 + k1k2

1 − 3 2

−5

3. Дана прямая L1

и точка M 0 (x1 ; y1 ) . Составить уравнения

прямых,

проходящих

через точку M 0 (x1 ; y1 ) параллельно и

перпендикулярно прямой L1.

а) L1 : 2x − 3 y + 12 = 0, M 0 (−4; 3).

б) L1 : x + 2 y + 17 = 0, M 0 (−2; −3).

в) L1 :

3x − y + 5 = 0, M 0 (1; −4).

г) L1 :

4x − 2 y + 9 = 0, M 0 (2; −5).

отстоит от

центра (О) на одинаковом расстоянии r.

(x − a)2 + ( y − b)2

= r 2 – уравнение окружности радиуса r с центром в

точке О (a;b).

У

M

r

b

O

a

x

Эллипс – это геометрическое место точек, для которых сумма

расстояний от двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть

величина постоянная (большая расстояния между фокусами).

Координаты фокусов: F1 (−c; 0) ; F2 (c; 0) . Расстояние между

фокусами 2с, b2 = a2 − c2 .

x2

+

y2

= 1– каноническое уравнение эллипса.

a2

b2

о

А

А*

X

F2

F1

фокусами.

F

и F2 – фокусы, F1F2 = 2c ,

b2 = c2 − a 2 ;

1

x2

−

y2

= 1 – каноническое уравнение гиперболы;

a2

b2

Y

M

F1 (-c,0)

0

F2 (c,0)

X

Прямые y = ±

b

x – асимптоты.

a

Эксцентриситет – отношение расстояния между фокусами

гиперболы к расстоянию между

ее

вершинами,

ε =

с

> 1 ,

а

характеризует форму гиперболы.

Гипербола может иметь уравнение

−

x2

+

y2

= 1 , тогда ее график

a2

b2

директрисы равно p – параметр параболы.

y2 = 2 px – каноническое

уравнение параболы.

Y

M

d

Q

r

44

p\2

F (p\2,0)

Примеры решения типовых задач

Пример

5.1. Определить,

какая

линия задана уравнением

3

y =

16 − x2 , и построить ее график.

4

Решение

y 2

=

9

(16 − x2 ) ; y 2

= 9 −

9

x2 ; 16 y2

= 144 − 9x2 ; 16 y2 + 9x2 = 144 ;

16

16

16

9

y2

x2

y2 +

x2 = 1 ;

+

= 1 ; 16 − x2 ≥ 0 ; y ≥ 0 .

144

144

9

16

3

-4

4

X

Пример

5.3.

Найти координаты центра и

радиус

окружности

x2 + 4x + y2 −16 y − 32 = 0 .

Решение

Выделим полные квадраты:

x2 + 4x + 4 − 4 + y2 −16 у + 64 − 64 − 32 = 0 ;

(x + 2)2 + ( y − 8)2 = 100 .

Центр окружности в точке O '(−2;8) , радиус 10.

Пример

5.4.

Написать

уравнение

гиперболы с

асимптотами

y = ±

3

x , проходящей через точку A(6;

3

) .

Найти расстояние между

4

2

вершинами.

Решение

Уравнение гиперболы :

x2

−

y2

= 1, тогда:

36

−

9

= 1 (точка A

a2

b2

a2

4b2

лежит на гиперболе).

Асимптоты гиперболы : y = ±

b

x , тогда

b

=

3

.

a

a

4

36

−

9

= 1

36

−

4

= 1

32

= 1

4b

a

a

2

2

a

2

2

a

2

Получим систему:

;

;

;

b

=

3

=

3a

=

3a

b

b

4

4

4

a

2

2

a = 4

2

x

y

−

= 1 .

; т.е.

b = 3

2

32

18

Y

3

2

−4 2

4

2

X

−3 2

Пример 5.5. Составить каноническое

уравнение эллипса, если

эксцентриситет ε =

3

, эллипс проходит через точку A(0;8) .

5

Решение

Каноническое уравнение

эллипса:

x2

+

y2

= 1,

эксцентриситет:

a2

b2

c

ε =

, где

c =

a2 − b2 ,

a, b − полуоси эллипса.

Поскольку точка A

a

c

3

лежит на оси OY , то b = 8 , ε =

=

,

c =

a2 − 82

=

a2 − 64 , отсюда:

a

5

a2 − 64

a2 − 64

=

3

;

=

9

;

25a

2

−1600 = 9a

2

;

a

2

= 100 ; a = 10 .

a

5

a2

25

Тогда:

x2

+

y2

= 1 .

100

64

Пример 5.6. Составить каноническое уравнение гиперболы, если

она проходит через точки A(

6; 0) и B(−2

2;1) .

Решение

Каноническое уравнение гиперболы

x2

−

y2

= 1 . Точка A(

6; 0)

a2

b2

лежит на оси OX, тогда a =

6 . Подставим координаты точки B в

уравнение гиперболы:

(−2

2)2

−

12

= 1 ;

8

−

1

= 1;

1

=

4

− 1 =

1

;

( 6)2

b2

6 b2

b2

3

3

x2

y2

b = 3 , тогда:

−

= 1 .

6

3

Пример 5.7. Составить каноническое уравнение параболы, если

уравнение директрисы y = 6 .

Решение

Каноническое уравнение параболы: x2

= 2 py , уравнение

директрисы : y = −

p

, тогда −

p

= 6 ; p = −12 . Уравнение : x2

= −12 y .

2

2

20

; 2) , где A,B – точки, лежащие на кривой;

а) A( 8; 0), B(

3

б) b = 4, F (−11; 0) , где b – малая полуось, F – фокус;

в) a = 13, ε =

14

, где a – большая полуось, ε – эксцентриситет.

13

(действительная) полуось,

b

– малая (мнимая) полуось,

ε

–

эксцентриситет, y = ±kx

– уравнение асимптот гиперболы,

D

–

директриса кривой,

2c – фокусное расстояние).

1. a) b = 15, ε =

10 / 25 ; б)

k = 3 / 4, 2a = 16 ; в) ось симметрии Ox

вектор

n P ,

n = {A; B; C} . А(x − x0 ) + В( y − y0 ) + +С(z − z0 ) = 0 –

уравнение

плоскости,

проходящей

через

( )М0 n .

Ах+ Ву + Сz + D = 0 – общее уравнение плоскости.

Рассмотрим некоторые частные случаи полученного уравнения:

A = 0 By + Cz + D = 0 – параллельна оси OX ;

B = 0

Ax + Cz + D = 0

– параллельна оси ОY;

C = 0

Ax + By + D = 0

– параллельна оси ОZ;

x

+

y

+

z

= 1 – уравнение плоскости в отрезках,

а, b, c – это

a

b c

d =

Ax0

+ By0

+ Cz0

+ D

.

Чтобы найти расстояние от точки до

A2 + B2 + C 2

плоскости и полученную величину поделить на модуль вектора

n .

Пусть

точки

M1 (x1 ; y1 ; z1 ), M 2 (x2 ; y2 ; z2 ),

M3 (x3 ; y3 ; z3 ) лежат

в

плоскости Р. Тогда

x − x1

y − y1

z − z1

x2 − x1

y2 − y1

z2 − z1

= 0 —уравнение

плоскости, проходящей

x3 − x1

y3 − y1

z 3 −z1

через эти три точки.

Пусть

плоскости

Р1

и

Р2

заданы

общими

уравнениями

P : A x + B y + C z + D = 0 ,

P : A x + B y + C z + D = 0 .

Соответственно

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

нормальные

векторы

n

и

n

2

этих

плоскостей!

n

= { A ; B ; C

} ,

n

1

1

1

1

1

= { A ; B ;C

} .

Угол

между

плоскостями

равен

углу

между

2

2

2

2

нормалями,

который

можно