Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Практикум. Учебное пособие для студентов 1-го курса направления 08.03.01 - «Строительство»

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

849 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 93 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Рассмотрим однородную систему:

а11 х1 + а12 x2 + ... + а1n xn						= 0,
		+ а22 x2 + ... + а2n xn				= 0,
а21 х1

............................................

а	х + а		m 2	x + ... + а	x	= 0
m1	1			2	mn n
Очевидно, что всякая		однородная			система имеет нулевое

(тривиальное) решение: x1 = x2 = ... = xn = 0 .

Для того чтобы система однородных линейных уравнений имела не тривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был меньше числа неизвестных.

Совокупность всех решений однородной системы образует линейное пространство, имеющее размерность, равную n − r . Любая

совокупность из (n − r ) линейно независимых решений образует базис

и называется фундаментальной совокупностью решений. Иначе, фундаментальной совокупностью решений для системы однородных линейных уравнений называется система линейно – независимых решений, через которую линейно выражаются любые решения этой системы.

Особо выделяют фундаментальную совокупность решений,

отвечающему		простейшему					базису
e1 = {1, 0, 0,..., 0} ; e2 = {0,1, 0,..., 0} ;...;			en − r = {0, 0, 0,...,1} .				Чтобы
построить	фундаментальную	систему		решений,	выбирается
					1	0	.	0
определитель	единичной матрицы		порядка	(n − r )	0	1	.	0	.
					.	.	.	.

					0	0	.	1

Свободным неизвестным придают поочередно значения, равные элементам первого, второго и т.д. столбцов, каждый раз вычисляя соответствующие значения главных неизвестных. Полученные (n – r) частных решений будут линейно независимые и образуют фундаментальную совокупность решений.

Общее решение неоднородной системы можно получить, если к любому частному решению этой системы прибавить общее решение соответствующей однородной системы.

Примеры решения типовых задач

4x1 + x2 + 4x3 = 19,

Пример 2.1. Дана система уравнений 2x1 − x2 + 2x3 = 11,

x1 + x2 + 2x3 = 8.

Решить систему:

а) по формулам Крамера, б) методом Гаусса,

в) с помощью обратной матрицы. Решение

4 1 4

= 2

−1

2 = −8 + 8 + 2 + 4 − 8 − 4 = −6 , ∆

≠ 0,

значит,

система

имеет единственное решение.

а) Решим систему по формулам Крамера:

x =

;

x =

;

x =

Вычислим

определители

i системы,

для

этого

вместо

соответствующего столбца неизвестных подставим столбец свободных членов:

		19		1		4
x1	=	11			−1	2	= −38 + 44 + 16 + 32 − 38 − 22 = −6;
		8		1		2
				19		4
			4	19		4
x2	=		2	11		2	= 88 + 64 + 38 − 44 − 64 − 76 = 6;
			1	8		2
				1		19
			4	1		19
x3	=		2	−1		11	= −32 + 38 +11 +19 − 44 −16 = −24.
			1	1		8
x =			x1	=	−6	= 1; x			=	x2	=	6	= −1; x =	x3	=	−24	= 4.
x =			x1	=		= 1; x		2	=	x2	=		= −1; x =		=		= 4.
1					−6			2				−6	3			−6
					−6							−6				−6

4 −1 + 16 = 19

Проверка: 2 + 1 + 8 = 11 .1 −1 + 8 = 8

x1 + x2 + 2x3 = 8,

б) 2x1 − x2 + 2x3 = 11,4x1 + x2 + 4x3 = 19.

Решим систему методом Гаусса, для этого накопим нули ниже главной диагонали:

1) Исключим x1 из второго и третьего уравнений, прибавив ко

второму уравнению первое, умноженное на –2, а к третьему – первое, умноженное на –4. Получим систему:

x1 + x2 + 2x3 = 8,

− 3x2 − 2x3 = −5,

− 3x2 − 4x3 = −13.

2) Исключим x2 из третьего уравнения, прибавив к нему второе,

умноженное на –1. Получим систему:

x + x		+ 2x = 8,
	1 2	3
−3x2 − 2x3 = −5,
	−2x3 = −8.

Отсюда получаем:
x3	= 4 ;	подставим x3 = 4 во второе уравнение:

−3x2 − 8 = −5; −3x2 = 3; x2 = −1.

Подставим x3 = 4 и x2 = −1 в первое уравнение:

x1 + (−1) + 2 4 = 8; x1 = 1 .

Удобнее решение системы методом Гаусса записать так:

1 1				2		8 (−2)					1 1				2		8 (−4)					1			1		2		8
1 1				2		8 (−2)					1 1				2		8 (−4)					1			1		2		8

	2	−1		2	11			←				0 −3			−2		−5						0		−3 −2				−5		(−1)
	4 1			4	19							4 1			4		−13			←			0		−3 −4				−13
	4 1			4	19							4 1			4		−13			←			0		−3 −4				−13

	1 1				2				8				1		1			2	8			1			1 2			8
	1 1				2				8				1		1			2	8			1			1 2			8

		0	−3		−2				−5					0	−3 −2				−5		←			0	−3 0			3		: (−3)
		0	0		−2				−8	: (−2)				0	0			1	4		2			0	0 1			4
		0	0		−2				−8	: (−2)				0	0			1	4		2			0	0 1			4

	1 1			2			8 ← 1 1								0	0					1 0				0	1
	1 1			2			8 ← 1 1								0	0					1 0				0	1

		0	1	0			−1						0 1		0	−1 (−1)						0 1			0	−1
		0	0										0 0		1	4						0 0			1	4
		0	0	1			4 (−2)						0 0		1	4						0 0			1	4
				1			4 (−2)
Отсюда получаем:											x1 = 1; x2 = −1; x3							= 4.

в) Решим систему матричным способом. Положим
4 1			4		x		19
					1
А =	2	−1	2	;	X = x2	;	B =	11	.
	1	1	2					8
	1	1	2		x3			8

Система уравнений эквивалентна матричному равенству A X = B .
Так как определитель матрицы А:																	det A =										= −6 ≠ 0, то матрица А
невырожденная и имеет обратную матрицу. Умножив обе части
уравнения		A X = B на матрицу А-1 слева, получим решение в матричной
форме: X = A−1 B
							.Вычислим алгебраические дополнения:
		1+1			−1 2				= −4; А = (−1)						2+1					1 4						= 2;
		1+1			−1 2										2+1					1 4
А = (−1)
11				1				2		21										1		2
				1				2												1		2
А = (−1)3+1								4	= 6; А = (−1)1+ 2									2 2
А = (−1)3+1					1			4	= 6; А = (−1)1+ 2									2 2						= −2;
31						−1		2		12								1				2
						−1		2										1				2

А = (−1)2+ 2							4 4		= 4; А = (−1)3+ 2										4 4					= 0;
22							1	2		32									2			2
							1	2											2			2
А = (−1)1+3									= 3; А = (−1)2+3										4 1
А = (−1)1+3					2 −1				= 3; А = (−1)2+3										4 1				= −3;
13					1			1		23									1			1
					1			1											1			1
А = (−1)3+ 3								1
А = (−1)3+ 3						4		1	= −6.
33						2		−1
						2		−1
																							−4					2	6
														−1							1
Запишем			обратную матрицу									A				= −										−2		4	0		и найдем
Запишем			обратную матрицу									A				= −					6					−2		4	0		и найдем
																					6				3		−3
																									3		−3		−6
матрицу X:
		−4 2							6 19								−76 + 22 + 48														−6		1
	1												1																	1
X = −			−2 4						0	11	= −							−38 + 44 + 0											= −		6	=	−1
X = −			−2 4						0	11	= −							−38 + 44 + 0											= −		6	=	−1
	6		3				−3		−6	8			6					57 − 33 −									48			6	−24		4
			3				−3		−6	8								57 − 33 −									48				−24		4

Ответ: X = −1 .4

Пример 2.2. Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности решить её.

3x1 + 4x2 + x3 = 2,

x1 + 5x2 − 3x3 = 4,2x1 − x2 + 4x3 = 5.

Решение Решим систему методом Гаусса:

1		5	−3	4
	3	4	1	2

	2	−1	4	5

Умножим первое уравнение на –3 и сложим со вторым, одновременно умножим его на –2 и сложим с третьим:

1		5	−3	4
	0	−11	10	−10

	0	−11	10	−3

Умножим второе уравнение на –1 и сложим с третьим:

1		5	−3	4
	0	−11	10	−10

	0	0	0	−7

0 ≠ −7 , значит, система несовместна. Ответ: решений нет.

Пример 2.3. Решить однородные системы линейных алгебраических уравнений:

3x1 + 2x2 − x3		= 0,	x1 + 2x2 − x3 = 0,
	+ 3x3
а) 2x1 − x2	+ 3x3	= 0,	б) 2x1 + 3x2 − x3 = 0,
4x1 + 3x2 + 4x3 = 0.			3x1 + 5x2 − 2x3 = 0.
			Решение
3	2 −1
а) = 2	−1 3 = −12 − 6 + 24 − 4 − 27 −16 = −41 .

4 3 4

≠ 0 , значит, система имеет единственное тривиальное (нулевое) решение: x1 = x2 = x3 = 0 .

Ответ: x1 = x2 = x3 = 0 .

б) Запишем матрицу системы и определим ее ранг:

1 2			−1	1 2			−1	1 2			−1	1	2 −1
												1	2 −1
	2	3	−1		0	−1	1		0	−1	1		.
	3	5	−2		0	−1	1		0	0	0	0	−1 1
	3	5	−2		0	−1	1		0	0	0

Ранг системы равен 2, выберем в качестве главных неизвестных

x1 ,	x2 , а x3 = C – свободным неизвестным. Тогда получаем систему:
x1	+ 2x2 − C = 0,		x2 = C , подставляем
		. Из второго уравнения находим:
	− x2 + C = 0
		x1 = −C,
в первое и получаем общее решение системы: x2			= C,
		x3 = C.
	x1 = −C,
Ответ: x2		= C,
	x3	= C.

Пример 2.4. Найти общее решение для каждой из заданных систем алгебраических уравнений:

x1 + 2x2 − x3 + x4 − x5 = 10,

2x1 + 3x2 − x3 − 2x4 + 2x5 = −1,3x1 + 5x2 − 2x3 − x4 + x5 = 9.

Решение Найдем ранг расширенной матрицы, для этого накопим нули ниже

главной диагонали:

1) Умножим первое уравнение на –3 и сложим с третьим, одновременно умножим его на –2 и сложим со вторым:

1 2 −1				1	−1	10	1 2 −1 1					−1	10

	2	3	−1	−2	2	−1		0	−1	1	−4	4	−21
	3	5	−2 −1		1	9		0	−1	1	−4	4
	3	5	−2 −1		1	9		0	−1	1	−4	4	−21
													−21

2) Третья строка равна второй, значит, её можно вычеркнуть. Ранг

матрицы системы равен двум.x1 + 2x2 − x3 + x4 − x5 = 10,− x2 + x3 − 4x4 + 4x5 = −21.

3) Пусть x1 и x2 – главные	неизвестные; x3 , x4 , x5 – свободные
неизвестные. Считаем, что x3 = C1 ; x4 = C2 ;		x5	= C3 , тогда:
x1 + 2x2 − C1 + C2 − C3			= 10,
	+ 4C2 − 4C3
x2 − C1		= 21.

x2 = 21+ C1 − 4C2 + 4C3 ;

x1 = 10 − 2 (21+ C1 − 4C2 + 4C3 ) + C1 − C2 + C3 = −32 − C1 + 7C2 − 7C3 .

x1 = −32 − C1 + 7C2 − 7C3 ,
x2 = 21 + C1 − 4C2 + 4C3 ,
	x3 = C1 ,
Ответ:		.

x = C ,

4 2

x = C .

Пример 2.5. Решить уравнение

1 2

2 − 1

4 0

Решение

Пусть

1 2

, B =

2 −1

B, X =

−1

. Вычислим

A =

, тогда X A =

3 5

4 0

A−1 :

1 2

= −1, A = 5, A = −2; A = −3; A = 1 ;

3 5

имеем:

X = 2 −1 (−1) 5

−2

= − 10 + 3

−4 −1 = −13

5 = X .

4 0

−3 1

20 + 0

−8 + 0

−20

Пример 2.6. Решить уравнение

3 −1

X =

−4

Решение

Пусть A =

3 −1

1 2

= B, X =

−1

B Вычислим

, B =

, тогда A X

−4 2

3 4

A−1 :

3 −1

= 2, A = 2, A = 1; A = 4; A = 3 ;

−4 2

−1

1 2

имеем: A

, тогда:

2 4

2 1

1 2

2 + 3

4 + 4

0, 5

0, 8

X =

= X

10 4 3

3 4

10 4 + 3

8 +12

10 7

0, 7

Задачи для самостоятельного решения

1. Решить систему по формулам Крамера:

x − 2x + x = 4 x + 2x − x = −4

2x − x + 3x = −4

2x1 + 2x2 − x3 = 2 ; 2x1 + x2 + 3x3 = 3

; x1 + 2x2 + 3x3 = 4 ;

−x1 − 3x2 + x3 = 2 −x1 + x2 − 2x3 = −5

3x1 − 2x2 − 2x3 = −1

х1 − 2х2 + 3х3 = 14,

2х1 + 3х2 − 4х3

= −16,

3х1 − 2х2 − 5х3 = −8.

x + 2x + 4x = −4

2. Решить систему методом Гаусса: 3x1 + 3x2 − x3 = −3 ;

2x1 − x2 + 2x3 = 7

−x1 + 2x2 + 3x3

= 4

x1 + 2x2 − 3x3 = −9 2х1 − х2 − 3х3 = −9,

2x1 − x2 − x3

+ 5х2

+ х3 = 20,

2x1 − 2x2 + x3

= 1 ;

= 2

;

х1

x1 − 3x2 − 2x3 = −4

−2x1 + x2 − 2x3

= −11

3х1 + 4х2 + 2х3 = 15.

3. Решить систему с помощью обратной матрицы:

x1 − 2x2 + x3 = 10

2x1 − 3x2 − x3 = −4

−x1 + 2x2 − 2x3 = 1

+ x2 − 3x3

−2x1 + 2x2 + 3x3 = −9 ;

= 8

; 2x1 − x2 + x3 = 1 ;

2x1

− x2 − x3

= 8

−x1 + 2x2 + x3

= 3

− 3x2

+ 2x3 = −4

− 3х1 + 5х2 + 6х3 = −8,

4х1 − х2 = −6,

+ 5х3 = −14,

3х1 + х2 + х3 = −4,

3х1 + 2х2

х1 − 4х2

− 2х3

= −9.

х1 − 3х2 + 4х3

= −19.

4. Найти общее решение для каждой из заданных систем

алгебраических уравнений:

x1 + 2x2 + 3x3 − 2x4

+ x5

= 0 12x1 − x2 + 7x3 + 11x4 − x5 = 0

+ 2x2 + 7 x3 − 4x4

+ x5

0 ; 24x1 − 2x2 + 14x3 + 22x4 − 2x5 = 0 ;

+ 2x2 + 11x3 − 6x4

+ x5 =

x1 + x2 + x3 − x4 + 2x5 = 0

2x1 − 2x2 − 3x3 − 7 x4 + 2x5 = 0		x1 + x2 − 3x3 + x4 = 5
	x1 + 11x2 + 34x4 − 5x5 = 0
	x1 + 11x2 + 34x4 − 5x5 = 0	; 2x1 − 2x2 + 4x3 = 7 ;
	− 5x2 − 2x3 − 16x4 + 3x5 = 0
x1	− 5x2 − 2x3 − 16x4 + 3x5 = 0	x1 − 3x2 − 7x3 − x4 = 2

x − x

− x

+ 2x

= 6

x + 2x

− x

+ 2x

= 2

3x1 + 2x2 − 2x3 + x4 = 7 ; 2x1 − x2 + 3x3 − x4

= 5 .

2x1 + 3x2 − x3 − x4 = 2

− 3x2

+ 4x3

− 3x4 = 3

Глава 3. Векторы

Вектором

называется

направленный

отрезок AB с начальной

точкой А и конечной точкой В. Вектор может обозначаться одной буквой: а . Координатами вектора а будем называть его проекции на

оси координат: a = {ax ; ay ; az } . Модуль (длина) вектора а :

| a |= a2 x + ay 2 + az 2 .

Линейными операциями называют сложение (вычитание) векторов и умножение вектора на скаляр. Сложение векторов производят по

правилу: а + b = c ,	c = {ax + bx ; ay + by ; az + bz }. Разность векторов:
c = a − b = {ax − bx ; ay	− by ; az − bz }. Умножение вектора а на (скаляр)

число λ : с = λ а , с = {λax ; λay ; λaz } .

Данные векторы называются линейно-зависимыми, если какойлибо из этих векторов линейно выражается через остальные, в противном случае эти векторы – линейно независимые.

Совокупность линейно независимых векторов, по которым производится разложение остальных векторов, называется базисом. В плоскости базисом могут служить два неколлинеарных (непараллельных) вектора, в пространстве – три некомпланарных (не лежащих в одной или в параллельных плоскостях) вектора.

Пусть a1 , a2 , a3 – базис, d – произвольный вектор, тогда d = λ1 a1 + λ2 a2 + λ3 a3 , где λ1 , λ2 , λ3 – координаты вектора d в базисе

векторов a1 , a2 , a3 .

Обычно выбирают ортонормированный базис, в котором векторы ортогональны (перпендикулярны) и каждый вектор имеет единичную длину. В этом случае базисные векторы называют ортами и

обозначают i, j, k .

λ = bx / ax = by / ay = bz / az – условие коллинеарности векторов.

Если

a b ,

то a b = 0

или

ax bx

+ ay by + az bz

= 0 –

условие

ортогональности векторов.

Скалярное произведение векторов

Скалярное произведение векторов a и b равно произведению

модулей

этих

векторов

на

косинус

угла

между

ними:

cosϕ .

b =

Скалярное произведение можно выразить через координаты

векторов:

ab = ax bx

+ ay by

+ az bz .

Угол между векторами вычисляют по формуле:

cosϕ =

Проекция вектора

на ось вектора

Пр b =

| a |

Векторное произведение векторов

Пусть дана тройка некомпланарных векторов a, b, c с общим

началом. Такая тройка называется правой, если поворот от a к b осуществляется против часовой стрелки, если смотреть с конца

вектора c . Иначе тройка называется левой.

Векторным произведением векторов a = {x1 , y1 , z1} и b = {x2 , y2 , z2 }

называется вектор a × b , определяемый следующими условиями:


1.	a × b = a b sin ϕ ,	ϕ	– угол между векторами

(геометрически – это площадь параллелограмма, построенного на этих векторах).

2.a × b a и b ;

3.упорядоченная тройка векторов a , b , a × b – правая.

Свойства:

1.если a b , то a × b = 0 ;

2.b × a = −a × b ; (λ a) × b = λ (a × b) ;

3. (a + b) × c = a × c + b × c и c × (a + b) = c × a + c × b .

<<< < Предыдущая 1 23 / 93 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]