Математика. Практикум. Учебное пособие для студентов 1-го курса направления 08.03.01 - «Строительство»

d =

Ax0 + By0 + Cz0 + D

− расстояние от плоскости до точки;

A2 + B2 + C 2

d =

2 3 + (−2) 3 + 115 + 10

=

25

= 8

1

.

22 + (−2)2 + 12

3

3

Решение

x − x1

y − y1

z − z1

Воспользуемся

формулой:

x2 − x1

y2 − y1

z2 − z1

= 0 − это

x3 − x1

y3 − y1

z 3 −z1

уравнение плоскости, проходящей через 3 точки.

x −1

y − 2 z +1

x −1 y − 2 z +1

2 −1

3 − 2

1+ 1

=

1

1

2

= x −1+ 4 y − 8 − 2z − 2 − y + 2 =

3 −1 2 − 2

0 +1

2

0

1

можно

найти

по формуле

α = arccos

A1 A2 + B1 B2 + C1C2

;

A2

+ B2

+ C 2

A2 + B2

+ C 2

1

1

1

2

2

2

нормальные векторы плоскостей: n1 = {1; −2; 2}, n2 = {1; −2; 0} , тогда

α = arccos

11 + (−2) (−2) + 2 0

= arccos

5

− искомый

12 + (−2)2 + 22 12 + (−2)2

3 5

угол.

Пример 6.5. Даны четыре точки A (2; 4; 3)

, A

(1;1; 5) , A

(4; 9; 3) ,

1

2

3

A4 (3; 6; 7) .

Составить

уравнения:

а)

плоскости

( A1 A2 A3 ) ;

б)

прямой A A

;

в)

прямой

A M ( A A A ) ;

г)

прямой A N A A

; д)

1

2

4

1

2

3

3

1

2

плоскости,

проходящей

через

A

A A ;

найти

е)

4

1

2

sin A A ( A A A ) ; ж)

cos (Oxy ) ( A A A

) .

1

4

1

2

3

1

2

3

x − 2

y − 4 z − 3

x − 2 y − 4 z − 3

1 − 2

1 − 4

5 − 3

= 0;

−1

−3

2

= ( x−2) 0 + ( z−3) (−5) +

4 − 2

9 − 4

3 − 3

2

5

0

б)

x − 2

=

y − 4

=

z − 3

уравнение прямой

A A .

−1

−3

2

1

2

в)

x − 3

=

y − 6

=

z − 7

уравнение прямой A M ( A A A ) .

10

−4

−1

4

1

2

3

г)

x − 4

=

y − 9

=

z − 3

уравнение прямой

A N A A .

−1

−3

2

3

1

2

− (x − 3) − 3 ( y − 6) + 2( z − 7) = 0 ;

− x − 3 y + 2z + 7 = 0 ;

x + 3 y − 2z − 7 = 0 .

е) Составим уравнение прямой A A :

1

4

x − 2

y − 4

z − 3

x − 2

y − 4

z − 3

=

=

;

=

=

; g = {1;2;4} , тогда

3 − 2 6 − 4 7 − 3

1

2

4

sin ϕ =

n g

=

10 +

8 −

4

= 0, 3 .

n

g

117

21

ж) n1 = {0;0;1}

n2 = {−10;4;1}

n1 n2

1

85

cos β =

=

= 0, 09; β

n1

n2

110,8

через середину ребра

BC

и две вершины пирамиды

A и D , если:

A (5; 3; 6) , B (−3; −4; 4) , C (5; −6; 8) , D (4, 0, −3)

Решение

а) Найдём координаты векторов

BC = {5 + 3; −6 − (−4) ; 8 − 4} = {8; −2; 4} ; BD = {7; 4; −7}

и найдём векторное произведение:

i

j

k

BC × BD =

8 −2 4

= −2i + 84 j + 46k .

7

4

−7

(−2)2 + 842 + 462 =

Модуль:

BC × BD

=

9176 .

1

1

Площадь грани BCD:

S

=

BC × BD

=

2 9176

≈ 47, 8 .

2

2

BCD

б) Найдём координаты середины ребра BC:

5 − 3 −6 − 4 4 + 8

S

;

;

; S (1;−5;6) .

2

2

2

Найдём координаты векторов:

AS = {1 − 5; −5 − 3; 6 − 6} = {−4; −8; 0} ,

AD = {4 − 5; 0 − 3; −3 − 6} = {−1; −3; −9},

i

j

k

AS × AD =

−4 −8 0

= 72i − 36 j + 4k ,

−1 −3 −9

722 + (−36)2 + 42

AS × AD

=

= 5184 + 1296 + 16 =

6496 ,

1

1

S =

6496

=

2

1624 =

1624 ≈ 40, 3.

2

2

Задачи для самостоятельного решения

1.

Даны

четыре

точки

A1 ( x1 y1 z1 ) , A2 ( x2 , y2 , z2 ) , A3 ( x3 , y3 , z3 ) ,

Пусть M0 (x0 , y0 , z0 )

–

точка, лежащая на прямой; q = {m, n, p} –

направляющий

вектор,

(параллельный данной прямой), тогда

x − x0

=

y − y0

=

z − z0

– канонические уравнения прямой.

m

n

p

i

j

k

=

B

C

A

C

A

B

q = n × n =

A B C

1

1

i −

1

1

j +

1

1

k .

1

2

1

1

1

B2

C2

A2

C2

A2

B2

A2

B2

C2

Уравнение

прямой,

проходящей

через

2

данные

точки

M

(x ; y ; z ) и

M

(x , y , z ) :

x − x1

=

y − y1

=

z − z1

.

2

1

1

1

1

2

2

2

x2 − x1

y2 − y1

z2 − z

Угол между прямыми

Пусть 2 прямые заданы в канонической форме, т.е. известны

направляющие

векторы

каждой

прямой:

q1

= {m1 ; n1 ; p1} ,

q2 = {m2 ; n2 ; p2 } .

Угол

ϕ

между прямыми

равен

углу

между направляющими

векторами: cos( ϕ ) =

q

q

m

1

m

2

+ n

n

2

+ p

1

p

2

.

1

2

=

1

q1

q 2

m

2 + n

2 + p

2

m 2

+ n

2

+ p 2

1

1

1

2

2

2

Если прямые параллельны, то q

q

и

m1

=

n1

=

p1

.

1

2

m2

n2

p2