Математика. Практикум. Учебное пособие для студентов 1-го курса направления 08.03.01 - «Строительство»

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

б) AB × AC =

= −2i + 6 j + 2k − 6k − 2i + 2 j = −4i + 8 j − 4k .

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

849 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 94 5 6 7 8 9 > Следующая >>>



			i	j	k
4.	a × b =		x1	y1	z1	– это выражение векторного произведения
			x2	y2	z2
через координаты векторов.
			Смешанное произведение трех векторов
Пусть		даны		три		вектора:	a = {x1 , y1 , z1} ,		b = {x2 , y2 , z2 } ,
c = {x3 , y3 , z3 } .				Тогда		смешанное	(или	векторно-скалярное)
произведение –			(a × b) c – скалярная величина, т.к. первые два вектора

умножаются векторно, а результат – скалярно на третий вектор. Геометрический смысл смешанного произведения – объем

параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c , которые образуют правую тройку. Если тройка левая, то V =| a b c | .

Свойства:

1.(a × b) c = (b × c) a = (c × a) b – при циклической перестановке множителей смешанное произведение не меняется.

2.(c × b) a = − (a × b) c – знак меняется при перестановке двух сомножителей.

3. (a × b) c = 0 , когда векторы a, b, c компланарны.

x1 y1 z1

4.(а × b ) с = x2 y2 z2 . Это выражение смешанного произведения

x3 y3 z3

через координаты векторов, тогда векторы a, b, c компланарны, если

	x1 y1 z1
	x2 y2 z2	= 0 .
	x3 y3 z3
	Обычно смешанное произведение обозначают		a b c .
		Примеры решения типовых задач
	Пример 3.1. Даны координаты A1(1;2;3),		A2(9;6;4), A3(3;0;4),
A4(5;2;6) вершин пирамиды. Требуется:

а) записать разложение векторов A1 A2 , A1 A3 , A1 A4 по ортам					i, j, k	и
найти модули этих векторов;
б) найти угол между векторами A1 A2 , A1 A3 .
	Решение
Произвольный вектор может быть разложен по формуле:
a = ax i + ay j + az k ,	где ax , ay ,	az –	проекции	вектора	a	на
координатные оси Ox ,	Оy , Оz .
Если даны координаты начала		M1 (x1; y1; z1 ) и конца M 2 (x2 ; y2 ; z2 )
вектора M1M 2 , то координаты		вектора	a = M1M2	находятся		по

формуле: a = M1M 2 = (x2 − x1 )i + ( y2 − y1 ) j + (z2 − z1 )k .

Подставив координаты точек A1 и A2 , получаем:

A1 A2 = (9 −1)i + (6 − 2) j + (4 − 3)k = 8i + 4 j + k

Аналогично находим, что A1 A3 = 2i − 2 j + k и A1 A4 = 4i + 3k .

Модуль вектора вычисляется по формуле: a = ax2 + a2y + az2 .

Получим модули найденных векторов:

= 82

+ 42 +12

= 9;

= 22

+ (−2)2 +12

= 3;

= 42

+ 32

= 5.

A A

б) Косинус угла между двумя векторами равен скалярному

произведению этих векторов, деленному на произведение их модулей:

cosϕ = a b . a b

Находим скалярное произведение векторов

A A

A A A A = 8 2 + 4 (−2) +1 1 = 9.

Модули этих векторов известны:

= 9;

= 3 .

A1 A2

A1 A3

Следовательно, cosϕ =

≈ 0, 3333.

9 3

По таблице определим, что ϕ ≈ 70о32.

Пример

3.2. Даны два

вектора a = {3; −2; 6}

b = {−2;1; 0} .

Определить координаты следующих векторов: 1) a + b ; 2) a − b ; 3) 2 a . Решение

1) с1 = a + b = {3 − 2; −2 +1; 6 + 0} = {1; −1; 6} ;

2)c2 = a − b = {3 − (−2); −2 −1; 6 − 0} = {5; −3; 6} ;

3)c3 = 2a = {2 3; 2 (−2); 2 6} = {6; −4;12} .

Пример

3.3. Определить, при каких

значениях

α , β

векторы

a = −2i + 3 j + β k

и b = α i − 6 j + 2k коллинеарны.

Решение

Если

векторы

коллинеарны,

то

выполняется

равенство

. Запишем в координатах:

−2

; α = 4; β = −1.

−6

x2 y2

Пример 3.4. Даны векторы

a = {4; −2; −4} , b = {6; −3; 2} , c = {1; 2; 3} .

Вычислить: а)

a b ; б)

a × b ; в)

a b c .

Решение

а) a b = 4 6 + (−2) (−3) + (−4) 2 = 22 .

j k

б) a × b = 4 − 2 − 4 = −4i − 24 j −12k +12k −12i − 8 j = −16i − 32 j .

6 − 3 2

4 − 2 − 4

в) abc = 6 − 3		2 = −36 − 4 − 48 − 12 −16 + 36 = −80 .
1	2	3
Пример 3.5.		Даны точки A(1; 3; 2); B(3;5; 4); C(4; 4; 3) . Найти: а)

AB AC ; б) AB × AC .

Решение Найдем координаты векторов AB и AC :

AB = {3 −1; 5 − 3; 4 − 2} = {2; 2; 2} ; AC = {4 −1; 4 − 3;3 − 4} = {3;1; −1} .

а) AB AC = 2 3 + 2 1 + 2 (−1) = 6 .

Пример 3.6. Даны четыре вектора:

a = { 2; 3;5} ;b = {7;14; 25} ; c = {13;12;16} ;	d = { 0;18; 39} в некотором
базисе. Показать, что векторы a , b и c	образуют базис и найти

координаты вектора d в этом базисе. Решение

Три некомпланарных вектора в пространстве линейно независимы, следовательно, образуют в нем базис. Если смешанное произведение трех векторов отлично от нуля, то векторы некомпланарные.

2 3 5

Находим, a b c = 7 14 25 = −3 ≠ 0.

13 12 16

Следовательно, векторы a , b , c линейно независимы и образуют базис в пространстве.

Если вектор d имеет координаты {α1 ;α2 ;α3} в этом базисе, то

имеет место разложение d = α1 a + α2 b + α3 c.

Векторное равенство в координатной форме можно записать в виде:

{0;18;39} = α1 {2;3;5} + α {7;14; 25} + α3 {13;12;16} ,

что равносильно системе трех уравнений:

2α1 + 7α 2 + 13α3 = 0,3α1 + 14α 2 + 12α3 = 18,

5α1 + 25α2 + 16α3 = 39,

Так как

2		7	13
				= −3 ≠ 0,
=	3	14	12	= −3 ≠ 0,
	5	25	16
	5	25	16

то, вычислив определители

0		7	13
					= 12;
a =	18	14	12		= 12;
	39	25	16
	39	25	16
2		0	13
				= −9;
b =	3	18	12	= −9;
	5	39	16
	5	39	16

2		7	0
				= 3;
с =	3	14	18	= 3;
	5	25	39
	5	25	39

можно найти решение системы по формулам Крамера:

α1

= −4;α

2 =

−9

= 3;α3 =

= −1

−3

Вектор d в базисе a , b , c имеет вид d = −4a + 3b − c

Его координаты в этом базисе: d = {−4; 3; −1}.

Пример 3.7. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках

A1 (−1; 2; −3), A2 (4; −1; 2), A3 (2;1; −2), A4 (3; 4;5)

его

высоту,

опущенную из вершины A4 на грань А1А2А3.

Решение

Найдем координаты векторов:

{

}

1 2

{

}

1 3

{

}

1 4

A A

−3;5

; A A

3; −1;1 ; A A

4; 2;8 .

Найдем смешанное произведение этих векторов:

−3

A1 A2

A1 A3

A1 A4 =

−1

= −40 −12 + 30 + 20 −10 + 72 = 60.

Зная формулу:

A A A A A A , найдем объем тетраэдра:

тетр

60 = 10 .

тетр

Объем пирамиды: V

H ,

тогда H =

3Vпир

осн

пир

Sосн

Площадь грани А1А2А3 определим как половину модуля векторного произведения:


								i		j		k
A A × A A =								5	−3			5	= 2i +10 j + 4k ,
1	2		1		3
								3	−1			1

			1											1			120		2 30
					22		+102 + 42 =									=

S	=														4+100+16			=		= 30,
S	=														4+100+16		2	=	2	= 30,
осн			2											2			2		2
осн
H =		3V		=		3	10		=		30
		3V				3	10				30		=	30.
													=	30.
		Sосн					30		30

Пример 3.8. Вычислить площадь параллелограмма, построенного

на векторах a = 2 p − 3q и b = 3 p + q , если

= 4;

= 1 , угол между p

и q равен

Решение

a × b = (2 p − 3q) × (3 p + q) = 6 p × p + 2 p × q − 9q × p − 3q × q =

= 2 p × q − 9q × p = 11p × q ,так как p × p = q × q = 0 , тогда

S =

a × b

= 11 | p × q |= 11

sin

= 11 4 1

= 22

Пример 3.9. Даны вершины треугольника АВС: А(1;–1;2), В(5;–6;2), С(–1;3;–1). Найти его площадь и высоту, опущенную из вершины В на сторону АС.

Решение

AB = {4; −5; 0} ; AC = {0; 4; −3} .

AC × AB =

−5 0

= 15i + 16k + 0 − 0 − 0 + 12 j = 15i + +12 j + 16k .

−3

−5

152 + 122 + 162 =

= 25 .

AB × AC

225 + 144 + 256

625

S ABC

25 = 12, 5; S ABC

;

= 16+9 = 25 = 5

BH =

2S ABC

= 5

Пример 3.10. Установить, компланарны ли векторы a, b, c , если:

a = {2; 3; −1} , b = {1; −1; 3}

, c = {1; 9; −11} .

Решение

−1

a b c =

1 −1 3

= 22 − 9 + 9 −1 − 54 + 33 = 0 .

−11

Векторы компланарны.

Пример 3.11. Коллинеарны ли векторы с1 и

с2 , построенные по

a = {−1;4;2} ,

b = {3;−2;6} , c1 = 2

векторам

b ,

если

− b ,

c2 = 3b − 6a .

Решение

с1 = (−2;8;4) − (3;−2;6) = {−5;10;−2}

= (9;−6;18) − (−6;24;12) = {15;−30;6}

−5

−2

векторы коллинеарны.

−30

Задачи для самостоятельного решения

1. Доказать, что векторы

p, q, r образуют базис, и найти

координаты вектора x

в этом базисе:

а)

p = {0; 2; −3}, q = {4; −3; 2}, r = {−5; −4; 0} , x = {−19; −5; −4} ;

{1,1, −1} .

б)

x = {−1, 7, −4}

, p {1, 2,1} , q

{2, 0, 3} , r

{6, 5, −14}

{2,1, −1} .

в)

x =

, p {1,1, 4} , q

{0, −3, 2} , r

{6, −1, 7}

г)

x =

, p {1, −2, 0} , q {−1,1, 3} , r {1, 0, 4} .

{0, −1,1} .

д)

x = {5,15, 0}

, p {1, 0, 5}

, q {

−1, 3, 2} , r

А1 А2 А3 .

2. Даны векторы a, b, c . Необходимо: а) вычислить смешанное


произведение трех векторов		,	; б) найти модуль векторного
произведения	, ; в) вычислить скалярное произведение двух


векторов 3	; г) проверить,		будут ли коллинеарны или
векторов 3	; г) проверить,		будут ли коллинеарны или

ортогональны два вектора ; д) проверить, будут ли компланарны

три вектора . , .

а) a = {−4; −6; 2}, b = {2; 3; −1}, c = {−1; 3; −3}

б) a = −9i + 4k , b = 2i − 4 j + 6k , c = 3i − 6 j + 9k ;

в) a = 5i + 6 j − 4k , b = 4i + 8 j − 7k , c = 3 j − 4k ;

г) a = −2i + 4 j − 3k , b = 5i + j − 2k , c = 7i + 4 j − k ;

д) a = −9i + 4 j − 5k , b = i − 2 j + 4k , c = −5i + 10 j − 20k .

3. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках А1 , A2 , A3 , A4 и

его высоту, опущенную из вершины А4 на грань а) А1 (−3; −5; 6), А2 (2;1; 4), А3 (0; −3;1), А4 (−5; 3; −8)

б) A1 (1, 2, 0) , A2 (3, 0, −3) , A3 (5, 2, 6) , A4 (8, 4, −9)

в) A1 (2, −1, 2) , A2 (1, 2, −1) , A3 (3, 2,1) , A4 (−4, 2, 5)

г) A1 (1,1, 2) , A2 (4,1, −2) , A3 (6, 3, 7) , A4 (7, 5, −3)

д) A1 (2, 3,1) , A2 (4,1, −2) , A3 (6, 3, 7) , A4 (7, 5, −3)

4. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах

a,b.

2π

а) a = p + 3q, b = 3 p − q;

= 3,

= 5,

б) a = p + 4q, b = 2 p − q;

= 7,

= 2,

в) a = 3 p + q, b = p − 3q;

= 7,

= 2,

г) a = 3 p + 2q, b = p − q;

= 10,

= 1,

д) a = 3 p + q, b = p − 2q;

= 4,

= 1,

5. Компланарны ли векторы a , b и c ?

а) a = {3,3,1} , b = {1,−2,1} , с = {1,1,1} .

б) a = {5,3,4} , b = {4,3,3} , с = {9,5,8} .

в) a = {3,1,−1} , b = {−2,−1,0} , с = {5,2,−1} .

г) a = {3,4,2} , b = {1,1,0} , с = {8,11,6} .

д) a = {4,3,1} , b = {1,−2,1} , с = {2,2,2} .

Глава 4. Прямая на плоскости

В декартовой системе координат каждая прямая на плоскости

определяется уравнением первой степени.
Пусть точка M		0	(x	0	; y	0	) принадлежит прямой l, нормальный вектор

n l, n = {A, B} . Уравнение прямой,								проходящей через точку
M 0 (x0 ; y0 ) с нормальным (перпендикулярным) вектором									n = {A, B} ,
имеет вид:	A( x − x0 ) + B( y − y0 ) = 0 . Общее уравнение								прямой на
плоскости в	декартовых координатах							Ax + By + C = 0 .	Уравнение

прямой с угловым коэффициентом k = tgα : y = kx + b , где α – угол,

образованный прямой с осью Оx; b – величина отрезка, отсекаемого на оси Oy. Если α = 0 , то прямая параллельна оси Ox и y = b. Если α = 900 , то прямая перпендикулярна оси Ox и x = b.

x + y = 1 – уравнение прямой в отрезках, где a и b – отрезки, a b

которые прямая отсекает на координатных осях.

Пример. Дана прямая 3x − 5 y + 15 = 0 . Записать уравнение прямой в

отрезках и с угловым коэффициентом.

3x − 5 y = −15;

−

5 y

= 1;

= 1

– это уравнение прямой в

−15

−5

отрезках.

5 y = 3x + 15; y =

x + 3; k =

– угловой коэффициент.

Уравнение прямой, проходящей через (· ) М1(х1;у1) с угловым

коэффициентом k:

y − y1 = k (x − x1 ) .

Уравнение

прямой,

проходящей

через

две

точки

(x ; y ), M

; y

) :

y − y1

x − x1

y2 − y1

x2 − x1

Угол между

прямыми:

tgα =

k2 − k1

. Условия

параллельности

1+ k1 k2

прямых: k1 = k2

(α = 0) ; перпендикулярности: k2 = −1 / k1 , где k1

и k2 -

угловые коэффициенты этих прямых.

Расстояние от точки до прямой.

Дана прямая

Ax + By + C = 0 и точка M 0 (x0 ; y0 ) . Тогда расстояние

от точки M 0 (x0 ; y0 ) до прямой:

d =

| Ax0 + By0 + C |

A2 + B2

Пример.

Дана

прямая

3x − 4 y + 10 = 0

и точка

М (4;3).

Найти

расстояние d от М до прямой.

d = | 3 4 − 4 3 + 10 | = 2 . 32 + (−4)2

	Примеры решения типовых задач
Пример 4.1. Прямая задана общим уравнением						2x − 3y + 6 = 0 .
Составить уравнение в отрезках и построить эту прямую.
	Решение
Выполним	преобразования.		Шестерку			перенесем	в
противоположную сторону и разделим обе части уравнения на							(−6) ,
		x		y
после этого получим: 2 x − 3 y = −6;			+		= 1
		−3
			2

Для того, чтобы построить прямую данного уравнения, отложим коэффициенты на оси координат.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 94 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]