Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Практикум. Учебное пособие для студентов 1-го курса направления 08.03.01 - «Строительство»

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

849 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 97 8 9 > Следующая >>>

Функция f (x) называется непрерывной в точке	x0 , если: а) она
определена в этой точке; б) существует lim f (x) ; в)	этот предел равен
x→x0
значению функции в этой точке x0 , т.е. lim f (x) = f (x0 ).
x→x0

Если хотя бы одно из этих трех условий не выполняется, то функция

имеет разрыв в точке x0 .
Различают следующие виды разрывов:
–	если	lim f (x) существует, но функция f (x) в точке x0		не
		x→x0
определена или определена, но так,			что f (x0 ) ≠ lim f (x) , то разрыв в
			x→ x0
точке x0 является устранимым;
–	если	lim f (x) не существует,	но существует оба односторонних
		x→x0
предела в точке x0 (и они не равны друг другу), то разрыв в точке				x0
является разрывом первого рода, или скачком;

– если хотя бы один из односторонних пределов не существует (в частности, равен бесконечности), то разрыв в точке x0 является разрывом второго рода.

Примеры решения типовых задач Пример 8.1. Найти следующие пределы:

a) lim sin 5x .

x→0 3x

Решение

При x → 0 , α = 5x также стремится к нулю, поэтому, умножая числитель и знаменатель на 5 и применяя формулу 1 замечательного предела, получаем:

lim

sin 5x

= lim

sin 5x 5

lim

sin 5x

1 =

;

x →0

x→0

5x 3

3 x→0 5x

Используя эквивалентность:

lim

sin 5x

= lim

x →0 3x

x→0 3x 3

б) Найти предел

5x2

lim

x →0 sin2 x 2

В знаменателе используем эквивалентность sinα α , в данном

случае

α =

5x2

5 4x2

lim

= lim

= 20.

x →0

sin

2 x

x →0 x

x →0

arctg

в) Найти предел

lim

x →0

e−2 x −1

Поскольку arctg

x ~

x при x → 0 , а e−2 x

−1 ~ (−2x) , то

arctg

lim

= lim

= −

lim

= −

e−2 x −1

x →0

x →0 −2x

4 2 x →0 x

г) Найти предел

lim

x →0

1 − cos x

sin

. При

x → 0 ,

также

Преобразуем знаменатель

1 − cos x

стремится к нулю, поэтому умножим числитель и знаменатель на 2 и, применяя формулу первого замечательного предела, получим

lim

= lim

lim

x →0 1 − cos x

x →0

2 x →0 sin

2 sin

Пример 8.2. Найти следующие пределы:

2x + 5

2 x −3

a) lim

; б) lim

; в) lim (cos x )

; г) lim

x →∞ 2x − 4

x →0 x

+ 1

x →0

= 2 1 = 2. 2

ln(1 + x) ; д) lim еx −1.

x →0 х

				Решение
а)		Предел		основания				равен	1
( lim	2x + 5	= lim	x(2 + 5 / x)	= = lim	2 + 5 / x	=	2	= 1 ), а показатель степени
x →∞ 2x − 4		x →∞ x(2 − 4 / x)		x →∞ 2 − 4 / x 2

стремится к бесконечности, имеем неопределенность вида 1∞ . Для того, чтобы раскрыть эту неопределенность, представим основания степени в виде 1 + α , а в показателе выделяем множитель 1 / α :

2x + 5

3 x

2x − 4 + 9 3 x

9 3 x

а) lim

= lim

= lim 1 +

x →∞

− 4

x →∞ 2x − 4

x →∞

2x −

2 x−4

27 x

2x−4

9 2 x−4

= lim

== lim 1 +

2x −

x →∞

27 x

lim

x→∞

= ex→∞

2x−4 = e

2− x = e 2 ;

2 x −3

x +1 −1 2 x −3

∞

lim

= lim

= 1

x +1

x →∞ x

x →∞

б)

x +1 −1

−3

2 x

−1

−1 x +1(

)

lim

−2 x +3

−2

= lim 1

= ex→∞

x +1

= e

;

x →∞

x +1

cos x−1 1

lim(cos x) x2

= 1∞

= lim (1 + cos x −1)cos x−1

x→0

в)

lim cos x−1

−sin x

lim

−

= ex→0

= e 2 =

;

== ln lim (1 + x)x

г) lim ln (1 + x) = lim 1 ln (1 + x) = lim ln (1 + x)x

x →0

= ln e = 1;

y = ex −1

д) lim

ex −1

ex = y + 1

= lim

= 1.

x →0

x = ln (1+ y )

y →0 ln (1 + y )

x → 0, y → 0

Пример 8.3. Исследовать на непрерывность и найти точки разрыва

функции y =		x	.

	x2	− 9
	x2	− 9
			Решение

Эта функция является дробно-рациональной, и поэтому она непрерывна во всех точках, в которых знаменатель отличен от нуля. В точках x1 = −3 и x2 = 3 функция не определена, и поэтому разрывна.

Нетрудно проверить, что в обеих этих точках односторонние пределы бесконечные:

lim	x	= −∞,	lim		x	= +∞,

x→−3− x2 − 9			x→−3+ x2		− 9
lim	x	= −∞,	lim	x		= +∞.

x→+3− x2 − 9			x→+3+ x2		− 9

Следовательно x = ±3 – точка разрыва второго рода. График этой функции представлен на рисунке.

Рисунок

Пример 8.4. Найти предел lim(1 − x)tg π x .

x →1

Решение

sin

π x

lim(1 − x)tg

π x

= [0 ∞] = lim(1 − x)

= lim

1− x

= lim

(1− x) '

π x

x →1

π x

x →1

cos

(cos

) '

= lim

−1

, т.к. lim sin

π x

= sin

= 1.

π x

x →1

−

sin

x →1

Использовали правило Лопиталя.

Пример 8.5. Найти предел lim

2 −

x − 3

x →7

− 49

Решение Непосредственная подстановка предельного значения аргумента

приводит к неопределенности . Умножим числитель и знаменатель на

сопряженные числителю выражения, преобразуем и вычислим предел:

lim

2 −

x − 3

= lim

(2 −

x − 3)(2 +

x − 3)

= lim

4 − ( x − 3)

x →7

− 49

x →7

( x

− 49)(2 +

x − 3)

x →7

( x − 7)(x + 7)(2 +

x − 3)

= lim

7 − x

= lim

−1

= −

x →7 (x − 7)( x + 7)(2 +

x − 3)

x →7 ( x + 7)(2 +

x − 3)

Пример 8.6. Найти предел lim

(x + 6)3 − (x +1)3

x→∞ (2x + 3)2 + (x + 4)2

Решение

данном

случае

имеем

неопределенность

вида

∞

Можно

∞

воспользоваться правилом Лопиталя. Для этого найдем производную

числителя и знаменателя дроби:

lim

( x + 6)3 − ( x + 1)3

∞

= lim

(( x + 6)3 − ( x + 1)3 ) '

∞

x →∞ (2x + 3)2 + ( x + 4)2

x →∞ ((2x + 3)2 + ( x + 4)2 ) '

3( x + 6)2

− 3( x + 1)2

3(x2 + 12x + 36 − x2 − 2x −1)

3x + 105

= lim

x →∞ 2(2x + 3) 2 + 2( x + 4)

x →∞

8x + 12 + 2x + 8

x →∞ 10x + 20

Снова

получили

неопределенность

вида

∞

. Используем

правило

∞

Лопиталя еще раз:

lim

30x + 105

= lim

(30x + 105) '

= lim

= 3 .

x →∞ 10x + 20

x →∞ (10x + 20) '

x →∞ 10

Можно было вынести х в старшей степени

числителе и

знаменателе, сократить, затем вычислить предел.

Пример 8.7. Найти предел lim

sin π x

x→1 sin 3π x

Решение

Непосредственная подстановка предельного значения аргумента

приводит к неопределенности

. По правилу

Лопиталя

найдем

производные числителя и знаменателя:

lim

sin π x

= lim

(sin π x) '

= lim

π cosπ x

−π

x →1 sin 3π x

x →1 (sin 3π x) '

x →1 3π cos 3π x

−3π

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить пределы функций:

3x2 + 2x −1

lim

x →−1

−x

2 + x + 2

lim

3 + 2x − x + 4

x →1

− 4x + 1

4x2

+ x − 5

lim

x →1

x2 − 2x +1

3x2

+ 2x + 1

lim

x →2

− 8

x2 + 3x − 28

lim

x →4

− 4x

Вычислить пределы функций:

	lim	х − 2x2				+ 5x		4		.
	lim	2 + 3x2 + x4								.
1.	x →∞	2 + 3x2 + x4
1.						2 x
	lim	3x − 4				2 x	.

		3x + 2
2.	x →∞	3x + 2
2.
	lim	2x3 + 7x − 2							.
	lim	3x3 − x − 4							.
3.	x →∞	3x3 − x − 4
3.						− x
	lim	2x −1				− x	.

		2x + 4
4.	x →∞	2x + 4
4.
	lim	4 − 5x2				− 3x5			.
	lim		x	5	+ 6x + 8				.
	x →∞		x	5	+ 6x + 8
5.	x →∞
5.

Вычислить пределы функций:

lim

x →0

lim

x →0

lim

x →4

lim

x →1

lim

x →0

cos 2x − cos 4x

3x2

sin 5x + sin x . x arcsin x

x2 + 3x − 28

x2 − 4x

x3 + x2 − 2

x3 − x2 − х +1

cos 2x − cos 4x

3x2

		e2 x −1
	lim		.

6.	x →0	ln(1+ 2x)

Глава 9. Производная функции

Пусть дана функция y = f ( x) , возьмем значение аргумента x и

зададим ему приращение x , это вызовет приращение функции y = f ( x + x) − f ( x) .

Производная:	y′ = lim	y	= lim	f ( x +	x) − f ( x)		,	т.к. при

	x→0	x	x→0		x
различных значениях x производная различна,						y′		– функция
аргумента x, т.е. y′ = y′( x) .
Свойства производной
1) Производная const = 0 ,		y = const = C ,			y = 0 ,	y′ = 0 .
Пусть u(x) и	v( x) – две дифференцируемые функции.

2)(u ± v)′ = u ′ ± v′ ;

3)(uv)′ = u ′ v + u v′ .

3.а. (Cu)′ = Cu ′ .

u ′

u′ v − v′ u

Таблица производных основных элементарных функций

(xn )′ = n xn −1 ;

(sin x)′ = cos x;

(cos x)′ = − sin x; (tgx)′ = 1 / cos2 x;

(ctgx)′ = −1 / sin2 x; (arcsin x)′ = 1 /

1 − x2 ; (arccos x)′ = −1 / 1 − x2 ;

(arctgx)′ = 1 / (1 + x2 ); (arcctgx)′ = −1 / (1+ x2 );

(a x )′ = a x ln a;

(ex ) ' = ex ; (log

x)′ = 1 / (x ln a); (ln x) ' = 1 / x;

(shx ) ' = chx; (chx ) ' = shx; (thx ) ' = 1 / ch2 x; (cthx ) ' = −1 / sh2 x

Гиперболический синус: shx =

− e− x

Гиперболический косинус : chx =

ex + e− x

Гиперболический тангенс : thx =		ex	− e− x				.
		ex	+ e− x

Гиперболический котангенс : cthx =				ex	+ e− x			.
				ex	− e− x

Производная сложной функции
Пусть задана функция	u = ϕ ( x)			и		функция			y = f (u) , тогда
y = f [ϕ ( x)] называется	сложной			функцией.					Ее производная

y ' = f ′(u) ϕ ′( x) .

Таблица производных сложной функции

Пусть u = u ( x ) дифференцируемая функция.

(u n )′ = n un −1 u ';

(sin u)′ = u ' cos u;

(cos u)′ = −u ' sin u; (tgu)′ = u '/ cos2 u;

(ctgu)′ = −u '/ sin2 u; (arcsin u)′ = u '/

1− u 2 ; (arccos u)′ = −u '/ 1− u 2 ;

(arctgu)′ = u '/(1 + u 2 ); (arcctgu)′ = −u '/(1 + u 2 );

(au )′ = au ln a u '; (eu ) ' = u ' eu ; (log

u)′ = u '/(u ln a); (ln u) ' = u '/ u;

(shu ) ' = u ' chu; (chu ) ' = u ' shu; (thu ) ' = u '/ ch2u; (cthu ) ' = −u '/ sh2 u .

Производная степенно-показательной функции

Пусть

дана

функция

y = f (x)ϕ ( x ) .

Логарифмируем:

ln y = ϕ (x) ln f (x) .

Дифференцируя, получим

y′

= ϕ '(x) ln f (x) + ϕ (x)

f '( x)

, y′ = y ϕ '( x) ln f (x) + ϕ ( x)

f '(x)

f ( x)

Учитывая, что y = f (x)ϕ ( x ) , получим ответ

ϕ ( x )

′

(x) f (x)

y ' =

f (x)

+ ln f (x) ϕ′(x) .

f (x)

y′

Производная

логарифмической функции (ln

y)’=

называется

логарифмической производной. Ее удобно использовать для нахождения производных функций, выражения которых существенно упрощаются при логарифмировании.

Пример 1. Вычислить производную функции y = xsin x .

y = xsin x , ln y = ln( xsin x ) = sin x ln x, (ln y) ' = ( sin x ln x) ';

y′

= (sin x ln x)′ = cos x ln x +

sin x

; y = xsin x (cos x ln x +

sin x).

Пример 2.

y = (x + 5)5 (2x − 4)3 (x + 2)2 .

Логарифмируем:

ln y = 5 ln( x + 5) + 3 ln(2x − 4) + 2 ln( x + 2);

y′ = y (

2 +

) =

( x+5)5 (2x−4)3 ( x+2)2 (20x2 +54x−20)

( x+5) (2x−4) ( x+2)

x + 5 2x − 4

x + 2

= ( x + 5)4 (2x − 4)2 ( x + 2) (20x2 + 54x − 20).

Производная неявной функции

Если задана неявная функция F ( x, y) = 0 , то для вычисления производной надо взять производные от правой и левой частей, помня, что y = y( x) .

Например,

2 y y'

16x

= 1;

= (1)'x ;

= 0; y' = −

9 16

9 y

x2 + y2	= 10; (x2	+y2 )′=10'; 2 x + 2 y y ′ = 0; y′ = −	y
				.

Параметрическое задание функции

x = ϕ (t)

Пусть даны два уравнения .y = Ψ(t )

Каждому значению t соответствует определение значения x и y на плоскости. Если T1 ≤ t ≤ T2 , то точка описывает кривую на плоскости –

кривая	задана	параметрически,	t	–	параметр.			Если
x = ϕ (t) t = F ( x) ,		то y = ψ (F (x)) .	Такое		задание определяет
функцию y = f ( x) , y от x задается параметрически.
Производная функции, заданной параметрически: y′ =						dy	=	ψ t'	.

						dx		ϕ '
								t

d (u ±v) = du ±dv ;

d (u v) = du v + u dv ;

Дифференциал функции

Пусть y = f ( x) и аргумент х получил приращение ∆х. Тогда

дифференциалом		называется	величина	dy = f '( x)		x ,
но dx = x'	x = x ,	поэтому	dy = f ′( x)dx = y′dx y′ =		dy	–


x					dx

производная равна отношению дифференциалов.

Вычисление дифференциала функции называется ее дифференцированием, при этом вычисляется производная, поэтому процесс вычисления производной часто называется дифференцированием.

Дифференциал – главная линейная часть приращения функции. Функция, обладающая дифференциалом, называется

дифференцируемой. Свойства дифференциала

	u		du v − u dv
3.	d	=		.
	v		v 2


Найдем			выражение		для		дифференциала сложной		функции:
y = f (u) ,		где		u = u( x) .	По	правилу		дифференцирования	сложной
функции:	dy		=	f ′ (u) u′( x) ,		то	есть	dy = f ′(u)u ′ dx = f ′(u)du –

	dx			u

инвариантность дифференциала – дифференциал сложной функции

имеет такой же вид, как и для простой переменной.
Дифференциал	широко	применяется		в	приближенных
вычислениях.
Дифференциал	dy ≈	y ,	если		x → 0 ,	то
f(x0 + x) ≈ f(x0) + f ′(x0)		x .

Производные и дифференциалы высших порядков

Если вычислить производную от первой производной у’, то получим вторую производную: y′′ = (y′)′ = f ′′(x). Производная от второй производной: y′′′ = (y′′)′ – третья производная. Производная n-го порядка – производная от производной (n–1) порядка: y(n) = (y(n−1))′.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 97 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]