Математика теория функций комплексного переменного. Практикум

переходили соответственно в произвольно заданные, но различные точки w1 и w2.

Пример 3.2. Найти линейную функцию, отображающую треугольник с вершинами в точках 0, 1, i в плоскости z на подобный ему треугольник с вершинами 1 + i, 0, 2 в плоскости w.

Решение. Пусть искомая функция есть w = az + b, a и b – пока неопределенные константы. По условию задачи точки z1 = 0 и z2 = 1 должны перейти соответственно в точки w = 1 + i и w2 = 0. Получим систему уравнений для определения a и b:

1 +i = b,0 = a +b.

Решением этой системы является a = –1 – i, b = 1 + i, а значит,

w= (1 +i)(1 − z).

3.3.Конформные отображения, осуществляемые функцией w = 1z

Преобразование w = 1z является конформным во всей расширен-

ной плоскости, причем точке z = 0 соответствует точка w = ∞, а точке z = ∞ соответствует точка w = 0. Окружности (а также прямые) при

81

Откуда

В т о р о й с п о с о б. Из равенства w = 25z имеем z = 25w . Под-

ставляя это выражение для z в уравнение окружности z = 3 и пользуясь свойством модуля, получаем

25w = 3, или 25w =3 ,

откуда w = 253 . Следовательно, образом окружности z = 3 при дан-

ном отображении будет окружность w = 253 .

82

III

I

G

Рис. 3.1

При отображении w = 1z область D плоскости z переходит в об-

ласть G на плоскости w (рис. 3.1). Участки I, II, III границы области D, как показано в приведенной ниже таблице, переходят в участки I′, II′, III′ соответственно, границы области G.

Заметим, что уравнения границ I′ и II′ следуют из формулы (3.1), а уравнение границы III′ следует из формулы (3.4):

Из формулы (3.3) следует, что на III′ v < 0. Таким образом, участок границы III′ области G – полуокружность

83

При указанном на рис. 3.1 направлении обхода область D остается слева от границы. Следовательно, область G лежит слева от своей границы при указанном направлении обхода. Таким образом, полуполоса D переходит в четвертый квадрант плоскости w с выброшенным

полукругом w − 12 ≤ 12 .

Итак, множество точек области G плоскости w удовлетворяет неравенствам:

Решение. Если для точек плоскости z выполняется соотношение arg z = π3 , то в показательной форме эти числа можно записать следующим образом:

i π

z = re 3 , r (0,∞).

84

3.4. Конформные отображения, осуществляемые дробно-линейной функцией

Дробно-линейная функция w = czaz ++db , где a, b, c, d – комплексные

постоянные и ab – cd ≠ 0, взаимно-однозначно и конформно отображает расширенную плоскость z на расширенную плоскость w. Преобразование, осуществляемое дробно-линейной функцией, называется дробно-линейным. Каждое дробно-линейное преобразование может быть получено с помощью последовательного применения линейных

преобразований и преобразования вида w = 1z .

Свойства дробно-линейного преобразования

1.Круговое свойство. Дробно-линейное преобразование окружность отображает в окружность. Прямая линия считается окружностью бесконечного радиуса.

2.Свойство симметрии. Две точки z1 и z2, симметричные относительно окружности С, отображаются в точки w1 и w2, симметричные относительно окружности Г, на которую отображается окружность С.

Следствие. Если при дробно-линейном отображении w = f(z) прямая или окружность С переходит в окружность Г и одна из двух точек, симметричных относительно С, переходит в центр окружности Г, то другая точка переходит в бесконечно-удаленную точку.

3.Существует единственная дробно-линейная функция, которая

три заданные точки z1, z2, z3 плоскости z переводит в три заданные точки w1, w2, w3 плоскости w. Оно имеет вид

Замечание. Если одна из точек zk или wk (k = 1, 2, 3) является бесконечно удаленной, то в формуле (3.5) надо заменить единицами все разности, содержащие эту точку.

Пример 3.6. Найти дробно-линейную функцию, переводящую

точки z1 = 1, z2 = i, z3 = –1 в точки w1 = –1, w2 = 0, w3 = 1.

Решение. Воспользовавшись формулой (3.5), будем иметь ww−+10 11−−(−01) = zz −−1i −−11−−1i , откуда w = i ii +− zz .

85

Пример 3.7. Найти образ верхней полуплоскости Imz > 0 при отображении

Решение. П е р в ы й с п о с о б. При отображении, заданном формулой (3.6) точки z1 = 0, z2 = 1, z3 = –1, лежащие на действительной оси, переходят в точки w1 = –1, w2 = –i, w3 = i. По круговому свойству дробно-линейного отображения эти точки лежат на окружности

на плоскости w. Подставив значения w1 = –1, w2 = 0, w3 = 1 в уравнение (3.7), получим систему уравнений для нахождения величин a, b, R:

(−1 −a)2 +b2 = R2 ,

a2 +(−1 −b)2 = R2 ,a2 +(1 −b)2 = R2 .

Из второго и третьего уравнений следует, что b = 0. Следовательно:

Таким образом, действительная ось на плоскости z переходит в окружность

u2 +v2 =1 или w =1.

Так как точка i переходит в центр круга w =1, то верхняя полу-

плоскость Imz > 0 отображается на единичный круг w <1 . В т о р о й с п о с о б.

86

Уравнение действительной оси y = 0 (1 −u)(1 +u) −v2 = 0 , т.е. u2 +v2 =1 w =1 .

Следовательно, образ действительной оси – окружность w =1.

Пример 3.8. Найти образ (область G) кольца 1 < z < 2 (область D) при отображении

Решение. Найдем образ окружности z =1 при заданном отображении.

Используя формулу (3.8), получаем, что точки z1 = –1, z2 = 1, z3 = i, принадлежащие окружности z =1 , переходят в точки w1 = 0,

w2 = 23 , w3 = 53 + 15 i . По круговому свойству дробно-линейного отображения эти точки лежат на окружности

87

занном направлении обхода, то областью G будет множество точек плоскости w, удовлетворяющее неравенствам

Область G также лежит справа от образа границы области D при соответствующем направлении обхода (рис. 3.3).

Рис. 3.3

88

3.5. Конформные отображения, осуществляемые степенной, показательной и логарифмической функциями

где n ≥ 2 – натуральное число.

Отображение, осуществляемое степенной функцией, является конформным во всей плоскости, кроме точки z = 0: при z ≠ 0 имеем w′ = nwn–1; при z = 0 имеем w′ = 0. При z = 0 конформность нарушается, так как при отображении с помощью функции (3.11) углы

увеличиваются в n раз. Угол 0 < ϕ< 2nπ функцией (3.11) отображается

взаимно однозначно на всю плоскость z с разрезом по положительной части действительной оси, причем лучу ϕ = 0 соответствует верхний,

а лучу ϕ = 2nπ − нижний край разреза.

Такоежеотображениеполучимдлякаждогоизуглов,накоторыепло-

луч ϕ = 0 переходит в луч arg w = 0 . При заданном отображении луч

ϕ = π6 переходит в луч arg w = π2 . Таким образом, угол 0 < ϕ< π6 отображается на первый квадрант плоскости w (рис. 3.4).

89

Рис. 3.4

2. Показательная функция

Отображение, осуществляемое показательной функцией w = ez,

конформно во всей плоскости, так как w′ = ez ≠ 0 во всякой конечной точке плоскости z.

Если плоскость z разбить на полосы

2kπ < y < 2(k +1)π (k = 0, ±1, ± 2, ...),

то каждая из этих полос отобразится функцией w = ez взаимно однозначно на всю плоскость w с разрезом вдоль положительной части действительной оси. При этом считаем, что нижней границе y = 2kπ соответствует верхний край разреза, а верхней границе y = 2(k + 1)π – нижний край разреза. При этом точки z0 = x0 + iy0 и

zk = x0 +i( y0 + 2kπ) (k = ±1, ± 2, ...) переходят в одну и ту же точку плоскости w. Это означает, что показательная функция является бесконечнолистной периодической функцией комплексной переменной z с мнимым периодом 2πi.

Пример 3.10.На какую область плоскости w отобразится полуполоса

0 < Im z < 2π, Re z < 0

с помощью функции w = ez?

Решение. Положим z = x +iy, w = ez = e eiy = reiϕ. Тогда

r = ex , ϕ = y, где −∞ < x < 0, 0 < y < 2π .

90