Математика теория функций комплексного переменного. Практикум

Подставляя условие f(0) = 3, находим С = 3.

Ответ: f (z) = (−4xy − y +3)+i(2x2 −2 y2 + x) = 2iz2 +iz +3

2.4. Интеграл от функции комплексного переменного

Пусть в комплексной плоскости задана замкнутая или незамкнутая дуга С, которую в дальнейшем будем считать гладкой или кусоч- но-гладкой. Дуга называется гладкой, если в каждой ее точке можно провести касательную, причем направление касательной изменяется непрерывно при движении точки по кривой. Дуга непрерывной кривой, состоящая из конечного числа гладких дуг, называется кусочно-

гладкой.

Граничные точки кривой С обозначим z0 и Z. Если кривая замкнута, то z0 = Z. Точку z0 будем считать начальной, а Z – конечной; тем самым установим положительное направление на кривой С, которое на чертеже будем отмечать стрелкой (рис. 2.2). Также будем предполагать, что функция f(z) непрерывна во всех точках дуги С.

Рис. 2.2

Разобьем дугу С произвольным способом на n дуг и занумеруем точки деления zk в направлении от начальной точки z0 к конечной zn = Z

(см. рис. 2.2). Введем обозначения ∆zk = zk − zk −1 . Число ∆zk изобража-

рем произвольную точку ζk, принадлежащую дуге с концами в точках zk – 1 и zk.

41

n

Составим интегральную сумму ∑ f (ζk )∆zk . Если предел этой

k =1

суммы существует при условии, что n → ∞ и длина наибольшей из дуг разбиения стремится к нулю, а также не зависит от способа разбиения кривой С на дуги и выбора точек ζk на каждой из дуг, то он на-

зывается интегралом функции f(z) по дуге С и обозначается

Из приведенного определения интеграла можно получить его свойства:

1. ∫( f1 (z) + f2 (z))dz = ∫ f1 (z)dz +∫ f2 (z)dz .

C C C

2. ∫kf (z)dz = k ∫ f (z)dz ,

C C

где k – действительная или комплексная постоянная.

3. Если дуга C геометрически совпадает с дугой С, но имеет противоположное направление, то

∫ f (z)dz = −∫ f (z)dz ,

C C

так как при замене дуги С на C все множители ∆zk в правой части (2.14) изменят знаки на противоположные.

4. Ели дуга С состоит из нескольких дуг C1, C2 , ... , Cm , то

5. ∫dz = Z − z0 ,

C

так как при f(z) = 1 сумма в правой части (2.14) принимает вид

∆z1 +∆z2 +... +∆zn =(z1 − z0 )+(z2 − z1 )+... +(zn − zn−1 )= = zn − z0 = Z − z0 .

42

6. Если f (z) ≤ M во всех точках дуги С и длина дуги С равна l, то

∫ f (z)dz ≤ Ml .

C

Вычисление интеграла от функции комплексного переменного (2.14) сводится к вычислению криволинейных интегралов от действительных переменных. Пусть z = x + iy и f(z) = u + iv, где u и v – функции переменных х и у:

u =u(x; y), v = v(x; y) .

Тогда подынтегральное выражение в (2.14) примет вид

f(z)dz = (u +iv)(dx +idy) = (udx −vdy) +i(vdx +udy) .

Иинтеграл от функции комплексного переменного можно вычислить по формуле

∫ f (z)dz = ∫(u(x; y) +iv(x; y))(dx +idy) =

Интеграл (2.15), вообще говоря, зависит от пути интегрирования С.

Пример 2.9. Вычислить интеграл ∫(1 +i −2z )dz по линиям, со-

единяющим точки z1 = 0 и z2 = 1 + 2i: C а) по прямой;

б) по параболе y = 2x2;

в) по двум отрезкам прямых, соединяющих точки z1z3 и z3z2, где z3 = 1 (рис. 2.3).

Рис. 2.3

43

Решение. Перепишем подынтегральную функцию в виде

1 +i −2z =1 +i −2(x −iy) = (1 −2x) +i(1 + 2 y) .

Интеграл от заданной функции, согласно (2.15), будет выглядеть:

∫(1 +i −2z )dz = ∫((1 −2x) +i(1 + 2 y))(dx +idy) =

а) Уравнение прямой, проходящей через точки z1 = 0 и z2 = 1 + 2i, будет у = 2х, x [0; 1]. Значит, dy = 2dx и интеграл (2.16) можно записать в виде определенного интеграла по переменной х:

б) Для параболы y = 2x2 имеем dy = 4xdx, x [0; 1], следовательно, интеграл (2.16) в этом случае запишется:

∫(1 +i −2z )dz = ∫1 ((1 −2x)dx −(1 −4x2 )4xdx)+

+i∫1 ((1 + 4x2 )dx +(1 −2x)4xdx)= ∫1 (1 −2x −4x −16x3 )+

0 0

+i∫1 (1 + 4x2 + 4x −8x2 )dx = ∫1 (1 −6x −16x3 )dx +i∫1 (1 + 4x −4x2 )dx =

44

в) на отрезке z1z3 y = 0, dy = 0, x [0; 1]. На отрезке z3z2 x = 1, dx = 0, y [0; 2]. Используя свойство 4 интеграла функции комплексного переменного, получаем

∫(1 +i −2z )dz = ∫ (1 +i −2z )dz + ∫ (1 +i −2z )dz =

Решение. Выделим действительную и мнимую части подынтегральной функции:

z2 + zz = (x +iy)2 +(x +iy)(x −iy) = x2 + 2ixy − y2 + x2 + y2 = 2x2 + 2ixy.

Запишем интеграл от заданной функции:

∫(z2 + zz )dz = ∫(2x2 + 2ixy)(dx +idy) =

c c

= ∫(2x2dx −2xydy) +i∫(2xydx + 2x2dy).

c c

На кривой С введем параметрическое представление, записав уравнения окружности параметрически:

x = 2cos ϕ, y = 2sin ϕ, 0 ≤ ϕ≤ π.

Тогда dx = −2sin ϕdϕ, dy = 2cos ϕdϕ,иискомыйинтегралзапишется

π

∫(z2 + zz )dz = ∫(8cos2 ϕ2 (−2sin ϕdϕ) −8cos ϕsin ϕ(2cos ϕdϕ)) +

ππ

=−32∫cos2 ϕsin ϕdϕ+16i∫(cos3 ϕ−sin2 ϕcos ϕ)dϕ.

45

Вычислим отдельно каждый из полученных интегралов методом замены переменной интегрирования:

2.5. Теорема Коши

Множество точек Е расширенной комплексной плоскости C {∞} называется связным, если любые две его точки можно соединить непрерывной кривой, все точки которой принадлежат данному множеству. Область D называется односвязной, если ее граница является связным множеством, в противном случае область D называется мно-

госвязной.

Теорема Коши (для односвязной области). Если функция f(z) ана-

литическая в односвязной области G, ограниченной замкнутым ку- сочно-гладким контуром С, а также в точках этого контура, то

∫ f (z)dz = 0 .

C

Доказательство этой теоремы выходит за рамки нашей программы. Теорема. Если функция f(z) аналитична в некоторой односвязной области G, то какова бы ни была дуга С внутри этой области, величи-

на ∫ f (z)dz зависит только от начальной точки z0 и конечной точки z

C

дуги С, другими словами, в этом случае интеграл не зависит от пути интегрирования.

Доказательство. Если дуги С1 и С2 имеют общую начальную точку z0 и общую конечную точку z (рис. 2.4), то величина

46

представляет собой интеграл от функции f(z) по замкнутому контуру

С, состоящему из дуги C1 и дуги C2 , геометрически совпадающий с дугой C2, но противоположной ей по направлению (см. свойство 3 интеграла функции комплексного переменного). По теореме Коши такой интеграл равен нулю, следовательно, равна нулю разность (2.17), откуда

∫ f (z)dz = ∫ f (z)dz .

C1 C2

Рис. 2.4

Из доказательной теоремы следует, что рассматриваемый в ней интеграл зависит только от начальной точки z0 и конечной точки z и для

z

него можно использовать обозначение ∫ f (z)dz .

z0

Теорема. Если функция f(z) аналитична в односвязной области G, содержащей точки z0 и z, причем z0 постоянна, а z изменяется, то в этой области функция

z

F(z) = ∫ f (z)dz

z0

является аналитической функцией и F '(z) = f (z) . Сформулированная теорема, которая приведена без доказатель-

ства, позволяет ввести понятие неопределенного интеграла функции комплексного переменного.

47

Аналитическая функция F(z) называется первообразной аналитической функции f(z) в области G, если в этой области F '(z) = f (z) . Функцию f(z) имеет бесконечное множество различных первообразных, но, как и в случае действительного переменного, они отличаются лишь постоянными слагаемыми.

Множество всех первообразных аналитической функции f(z) в области G называется неопределенным интегралом этой функции и обо-

Эта формула совпадает с известной из интегрального исчисле-

ния формулой Ньютона – Лейбница. Напомним, что формулой (2.18)

можно пользоваться только для функций, аналитических в области G, внутри которой находятся точки z0 и z. При этом можно пользоваться правилами и приемами интегрирования, рассматриваемыми в интегральном исчислении для функций действительного переменного.

2+i

Пример 2.11. Вычислить интеграл ∫ (3z2 + 2z)dz .

1−i

Решение. Так как подынтегральная функция f (z) = 3z2 + 2z аналитична всюду, то для вычисления интеграла можно использовать формулу Ньютона – Лейбница (2.18):

i

Пример 2.12. Вычислить интеграл ∫z cos zdz .

0

Решение. Функции f(z) = z и ϕ(z) = cosz являются аналитическими всюду, а значит, аналитической функцией является и их произведение. Воспользуемся формулой интегрирования по частям:

48

= isin i +cos i −cos 0.

Для вычисления полученного выражения воспользуемся формулой

(1.14):

Рис. 2.5

Рассмотрим теперь многосвязную область G, ограниченную внешним контуром C0 и внутренними контурами C1, C2, ..., Cn (рис. 2.5), и предположим, что функция f(z) является аналитической как в этой многосвязной области, так и на контурах C1, C2, ..., Cn. Пусть

∫ f (z)dz (k = 0, 1, 2, ..., n) обозначает интеграл по контуру Ck, обхо-

Ck

димому против часовой стрелки.

49

Соединим контуры C1, C2, ..., Cn дугами γ1, γ2 , ..., γn , γn+1 , как показано на рис. 2.5. При этом область G окажется разбитой на две одно-

связные области. Контуры, ограничивающие эти односвязные области, обозначим соответственно Г1 и Г2. Так как функцию f(z) является аналитической как на контурах Г1 и Г2, так и в областях, ограниченных каждым из этих контуров, то по теореме Коши

∫ f (z)dz = 0; ∫ f (z)dz = 0 ,

Если на каждом из контуров Г1 и Г2 считать положительным то направление, при котором область, ограниченная этим контуром остается слева, то

∫ f (z)dz + ∫ f (z)dz = ∫ f (z)dz − ∫ f (z)dz −

При сложении интегралов в левой части (2.20) интегралы по дугам

γ1, γ2 , ..., γn уничтожаются ввиду того, что интегрирование по каждой из этих дуг будет производиться при вычислении суммы в левой части (2.20) два раза в противоположных направлениях.

Из (2.19) и (2.20) следует

Равенство (2.21) называется теоремой Коши для составного контура.

В частности, если функция f(z) является аналитической на контурах C0 и C1 (рис. 2.6) и в двусвязной области, ограниченной этими контурами, то из (2.21) при n = 1 получим

50