Математика теория функций комплексного переменного. Практикум

1.3. Ряды в комплексной области

Рассмотрим последовательность, членами которой являются комплексные числа z1, z2, z3,…, zn,…, где zn = xn+ iyn. Обобщим понятие предела последовательности для этого случая.

Определение. Комплексное число c = a + ib называется пределом последовательности {zn}, если для любого положительного числа ε найдется такое натуральное число N, что для всех натуральных чисел n ≥ N выполняется неравенство |zn – c| < ε. То есть

ε > 0 N(ε): n ≥ N |zn – c| < ε.

Записывается lim zn = c .

n→∞

Так как zn – c = (xn + iyn) – (a + ib) = (xn – a) + i(yn – b), то

|zn – c| = |(xn – a) + i(yn – b)| =(xn −a)2 +( yn −b)2 < ε .

Определение. Пусть дан ряд, членами которого являются ком-

предел S = lim Sn – его суммой. Если частичная сумма не имеет конеч-

n→∞

ного предела, то ряд называется расходящимся.

Имеет место теорема, которую приведем без доказательства.

Теорема. Пусть дан ряд с комплексными членами z1 + z2 + z3 +…+ + zn+… Тогда, если ряд

|z1| + |z2| + |z3| +…+ |zn| +…,

составленный из модулей членов данного ряда, сходится, то и данный ряд также сходится.

Ряд с комплексными членами называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из модулей его членов. Абсолютно схо-

21

дящиеся ряды с комплексными членами обладают теми же свойствами, что и абсолютно сходящиеся ряды с действительными членами.

Пусть дан степенной ряд

где z = x + iy, а коэффициенты с0, с1, с2, …, сn, … – комплексные или действительные числа. Аналогично тому, как это было сделано для степенных рядов в действительной области, можно установить следующие утверждения.

1. Для каждого степенного ряда существует такое число R > 0, что для всех |z| < R ряд (1.21) сходится, а для |z| > R ряд расходится. Точки z = x + iy комплексной плоскости, для которых |z| < R, лежат внутри круга радиусом R с центром в начале координат. Это следует из определения |z|, как расстояния от точки z до начала координат. Такой круг называется кругом сходимости степенного ряда, а его радиус R – радиусом сходимости. Вне круга сходимости, т.е. в точках, где |z| > R, степенной ряд расходится. На границе круга сходимости, т.е. в точках, для которых |z| = R, в зависимости от конкретных случаев может иметь место сходимость или расходимость.

Замечание. Если степенной ряд сходится только в точке z = 0, то его радиус сходимости полагают равным нулю: R = 0. Если степенной ряд сходится при всех значениях z, т.е. во всей плоскости комплексной переменной, то радиус сходимости полагают равным бесконечности: R = ∞.

2. Внутри круга сходимости степенной ряд обладает всеми свойствами, которыми обладают степенные ряды с действительными членами, т.е. внутри круга сходимости степенной ряд абсолютно сходится и его сумма S(z) есть непрерывная функция комплексной переменной.

Ряд

где а – любое комплексное число, также называется степенным. Этот ряд подстановкой (z – а) = t сводится к ряду (1.21), причем точке t = 0 соответствует точка z = a. Следовательно, областью сходимости ряда (1.22) является круг радиусом R (радиус сходимости) с центром в точке z = a.

Круг сходимости можно найти с помощью признака Даламбера.

22

Пример 1.14. Найти область сходимости степенного ряда

Решение. Рассмотрим ряд, состоящий из модулей членов заданного ряда:

1+| z | +| z |2 + | z |3 +... + | z |n +...

2! 3! n!

Это знакоположительный ряд. Исследуем его сходимость с помощью признака Даламбера:

Итак, lim un+1 = 0 <1 при любом z. Следовательно, ряд из модулей

n→∞ un

сходится во всей плоскости комплексной переменной, но тогда по теореме об абсолютной сходимости заданный ряд также сходится во всей плоскости комплексной переменной, причем абсолютно.

1.4. Основные функции комплексного переменного, определяемые с помощью рядов

С помощью степенных рядов в комплексной области обобщим понятия нескольких основных элементарных функций на случай комплексной переменной.

Как известно, для любого действительного x имеет место разложение:

Заменим в этом ряде действительную переменную x на комплексную переменную z, получим ряд (1.22), который сходится во всей плоскости комплексной переменной. Его сумма является функцией,

23

которая при действительных значениях z совпадает с ex. Аналогичным образом обозначим сумму этого ряда в случае комплексной переменной через ez.

Следовательно, по определению

Можно показать, что для любых комплексных чисел z1 и z2 имеет место равенство

ez1 +z2 = ez1 ez2 .

Аналогично определим тригонометрические функции sin z и cos z для комплексных значений z:

Эти ряды сходятся абсолютно для всех значений z. При z = x (x – действительная переменная) определенные выше функции совпадают соответственно с функциями sin x и cos x действительной переменной.

Из формул (1.24) и (1.25) непосредственно видно, что sin(–z) = –sin z, cos(–z) = cos z.

Между показательной функцией ez и тригонометрическими функциями sin x и cos x имеется простая связь. Пусть z = it, где t – комплексное число. Подставим z = it в ряд (1.23):

Ряд (1.23) сходится абсолютно для любого значения z, следовательно, сумма ряда не изменится от перестановки слагаемых. Поэтому

24

где t – любое комплексное число.

Заменяя в равенстве (1.26) t на –t , найдем

e–it = cos(–t) + isin(–t) = cos t – isin t.

Итак, для любого комплексного числа z имеем ( заменяем в написанных выше формулах t на z для единообразия записи)

Формулы (1.27) называются формулами Эйлера.

Как было указано выше, равенство ez1 +z2 = ez1 ez2 справедливо для любых комплексных z1 и z2. В частности, если z = x+iy, где x и y – действительный числа, то

ez = ex+iy = exeiy.

Но в силу (1.27)

eiy = cos y + isin y,

следовательно:

Равенство (1.28) позволяет вычислять значения показательной функции при любых комплексных значениях показателя. Из равенства (1.28) следует, что функция ez периодична и имеет период

T = 2πi. Действительно ez+2πi = ez (cos 2π+isin 2π) = ez .

25

πi

Пример 1.15. Вычислить: а) e3–2i; б) eπi; в) e2 . Решение. Воспользуемся формулой (1.28):

а) e3–2i = e3(cos2 – isin2) = 20,1(–0,416 – i0,909) = –8,36 – 18,3i.

Здесь аргумент косинуса и синуса записан в радианах.

б) eπi = cosπ + isinπ = –1.

Поскольку показательная функция имеет период 2πi, правые части равенств (1.29) не изменяются при замене z и z+2π:

ei( z+2π) = eiz+2πi = eiz ,    e−i( z+2π) = e−iz−2πi = e−iz ,

следовательно:

cos(z + 2π) = cos z;  sin(z + 2π) = sin z,

т.е. определенные с помощью формул (1.29) функции cos z и sin z периодичны и имеют, как и в случае действительного аргумента, период

2π.

Легко убедиться в том, что для функций cos z и sin z при любых комплексных значениях z сохраняется основное тригонометрическое тождество sin2z + cos2z = 1.

Действительно,

Сохраняются также и другие основные тригонометрические формулы. Например:

26

Напомним, что гиперболический синус и косинус для действительного аргумента были введены по формулам

sh x = ex −2e−x , ch x = ex −2e−x .

Гиперболические функции для комплексной переменной введем по аналогичным формулам

Заметим, что, используя полученные формулы, легко получить связь между тригонометрическими и гиперболическими функциями. Из формулы (1.28) следует:

27

Пример 1.16. Найти а) cos i; б) sin(1 + 2i).

Решение. а) Воспользуемся формулой (1.29):

Тогда sin(1 + 2i) ≈ 0,841·3,76 + 0,540·3,63i ≈ 3,16 + 1,96i.

Задачи для самостоятельного решения

Найти действительную и мнимую части следующих комплексных чисел и представить полученное комплексное число в алгебраической форме:

Дать геометрическое описание множеств всех точек комплексной плоскости, удовлетворяющих неравенствам:

28

1.13.Re z <1. 1.14. Im z ≤1. 1.15. z −i >1. 1.16. 0 < z +i < 2.

1.17.0 < arg z < π4 . 1.18. Re 1z < 12 . 1.19. π4 < arg(z +i) < π2 .

Найти все решения следующих уравнений:

1.20. z2 =i. 1.21. z2 =3 −4i. 1.22. z3 = −1. 1.23. z6 = 64. 1.24. z8 =1 +i.

Найти значения функций. Вычислить действительную и мнимую часть полученного числа;

1.25. e−2+π3 i . 1.26. e1−i π2 . 1.27. e3 + i. 1.28. e2 + 3i. 1.29. cos(i + 1)

1.30.sin(1 – 3i). 1.31. tg(2 – i). 1.32. chi. 1.33. sh(–2 + i). 1.34. Ln(3 + 4i)

иln(3 + 4i). 1.35. Ln(–2i) и ln(–2i). 1.36. i1 + i. 1.37. (1 + i)i. 1.38. 3i.

29

2. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО, ИХ СВОЙСТВА

ИПРИЛОЖЕНИЯ

2.1.Основные функции комплексного переменного

Впервом разделе пособия были введены комплексные числа, определены алгебраические операции с этими числами (подразд. 1.1). Далее были введены функции комплексного переменного, понятия предела, непрерывности для таких функций (подразд. 1.2), понятие ряда в комплексной области (подразд. 1.3). С помощью рядов были введены функции ez, sinz, cosz, а также формулы, связывающие эти функции в комплексной области (подразд. 1.4). Были рассмотрены также функции tgz, ctgz, shz, chz, thz, cthz, которые легко определяются через введенные выше функции. В этом разделе продолжим рассмотрение функций комплексного переменного, их свойств и приложений.

Логарифмическая функция комплексного аргумента, как и для действительного аргумента, определяется как обратная показательной. Если eω = z, где z ≠ 0, то ω называется логарифмом числа z и обозначается ω = Ln z.

Если ω = u + iv, то из формулы (1.28) следует, что |eω| = e u и Arg eω = v + 2πk (k = 0, ±1, ±2,…). Так как в рассматриваемом случае eω = z, то eu = |z| или u = ln |z| (|z| – число действительное и положительное, и здесь имеется в виду обычное определение логарифма), и v

Из формулы (2.1) следует, что логарифм является многозначной функцией (действительная часть логарифма, равная ln|z|, определяется однозначно, а мнимая содержит неопределенное слагаемое, крат-

ное 2π).

Главным значением логарифма числа z называется то значение, которое соответствует главному значению аргумента числа z. Следовательно, в формуле (2.1) главное значение логарифма получим при k = 0.

30