Математика теория функций комплексного переменного. Практикум

Пример 1.6. Найти −1 .

Решение. Представим число –1 в тригонометрической форме:

Придавая k значения 0 и 1, получаем два различных значения корня z1 и z2:

k = 0, z1 =1(cos π2 +isin π2 ) =i;

k = 1, z2 =1(cos π+22π +isin π+22π) = −i.

Ответ: −1 = ±i.

Как известно, квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0 в случае, когда его дискриминант D = b2 – 4ac отрицателен, не имеет действительных корней. Покажем, что в этом случае уравнение имеет два комплексных сопряженных корня. Действительно, по формуле решения квадратного уравнения

x1,2 = −b ± D .

2a

Считая, что D < 0 и полагая D = –d2 (d > 0), получаем

−d 2 = d 2 (−1) = d 2 −1 = ±di .

Следовательно:

В заключение приведем соотношения, называемые формулами Эйлера. Эти формулы будут выведены в подразд. 1.4. Для любого действительного числа x справедливы формулы

11

Пример 1.7. Найти корни уравнения x2 – 4x + 13 = 0.

Решение. Дискриминант квадратного уравнения равен D = (–4)2 –

– 4 . 1 . 13 = –36; D = −36 ±6i.

Ответ: x1,2 = 2 ±3i .

Пример 1.8. Найти −1 −i3.

Решение. Представим заданное число в тригонометрической форме:

Тогда z = −1 −i3 = 2(cos 43π +isin 43π).

12

Пример 1.9. Вычислить все значения 3−8.

Решение. Представим число z = –8 в тригонометрической форме.

Пример 1.10. Определить и начертить в комплексной плоскости линии, заданные уравнениями:

а) Re z = 5;    б) Im z = 4.

Решение. а) По определению Re z = Re (x + iy) = x. Поэтому уравнение Re z = 5 можно записать x = 5. Это уравнение определяет прямую, параллельную оси 0y (рис. 1.4, а).

13

б) По определению Im z = Im (x + iy) = y , поэтому уравнение Im z = 4 можно записать y = 4. Это уравнение определяет прямую, параллельную оси 0х (рис. 1.4, б).

Пример 1.11. Изобразить на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих неравенствам: 2 ≤ Re z ≤ 5; 1 ≤ Im z ≤ 3.

Рис. 1.5

Решение. Так как Re z = Re (x + iy) = x, то точки, координаты которых удовлетворяют условию 2 ≤ Re z ≤ 5 или 2 ≤ x ≤ 5, лежат между прямыми х = 2и х = 5или на этих прямых, т.е. в вертикальной полосе, ограниченной прямыми х = 2 и х = 5 (рис. 1.5). Im z = Im (x+ iy) = y, поэтому точки, координаты которых удовлетворяют условию 1 ≤ Im z ≤ 3 или 1 ≤ y ≤ 3, лежат между прямыми y = 1 и y = 3 или на этих прямых, т.е. в горизонтальной полосе, ограниченной прямыми y = 3 и y = 1. Точки, координаты которых удовлетворяют всем заданным неравенствам, принадлежат пересечению указанных вертикальной и горизонтальной полос, т.е. в прямоугольнике ABCD (см.

рис. 1.5).

Пример 1.12. Определить и начертить на комплексной плоскости линии, заданных уравнениями:

14

Решение. а) По определению z – расстояние от начала координат до точки z. Для данного множества точек это расстояние должно быть одним и тем же, равным 2. Искомая линия является окружностью с центром в начале координат и радиусом 2 (рис. 1.6, а).

Рис. 1.6, а Рис. 1.6, б

б) Модуль z1 − z2 является расстоянием между точками z1 и z2

комплексной плоскости. Поэтому из равенства z −2 +i =3 следует, что точки данной линии отдалены от точки 2 – i нарасстояние, равное 3, т.е. данная линия – окружность с центром в точке 2 – i радиусом 3 (рис. 1.6, б).

в) Уравнению arg z = π3 удовлетворяют точки, расположенные на

луче, выходящем из начала координат и образующем с осью 0x угол

π3 (рис. 1.6, в).

Рис. 1.6, в

15

Пример 1.13. Определить множества точек, удовлетворяющих следующим неравенствам и построить их на плоскости:

ют точки круга с центром в точке i радиусом 2 (рис. 1.7, а) вместе с его границей, уравнение которой z −i = 2 .

б) Неравенство z −i ≥1 означает, что расстояние от точки i до точки z должно быть больше или равно 1. Искомое множество лежит вне

круга с центром в точке i радиусом 1. Окружность z −i =1 также принадлежит данному множеству, так как знак равенства по условию возможен (рис. 1.7, б).

в) Искомое множество точек должно одновременно удовлетворять двум условиям:

z −1 −i ≥1 и z −1 −i ≤ 2 .

Первое из этих условий определяет внешность единичного круга с центром в точке 1 + i, а второе – круг радиусом 2 с центром в той же точке 1 + i. Поэтому данное множество – кольцо, ограниченное кон-

16

центрическими окружностями радиусов 1 и 2 с центром в точке 1 + i (рис. 1.7, в). Границы кольца включаются в это множество.

г) Для точек искомого множества значения аргументов заключены в пределах от − π4 до π4 . Поэтому это множество – угол, ограничен-

ный лучам ϕ = − π4 и ϕ = π4 (рис. 1.7, г). Сами лучи в это множество также входят.

Рис. 1.7, д

17

д) Первое двойное неравенство определяет кольцо с центром в точке 2 + i , ограниченное концентрическими окружностями 1 и 3 (рис. 1.7, д).

1.2. Понятие о функции комплексного переменного. Предел. Непрерывность

Выше было введено понятие комплексного числа. Дадим теперь понятие функции комплексной переменной. Рассмотрим множество G комплексных чисел z = x + yi и множество W комплексных чисел w = u + vi. Функцией комплексной переменой называется правило, по которому каждому комплексному числу z G соответствует одно или несколько значений w W.

Множество G называется областью определении функции, z – не-

зависимой переменной, w – зависимой переменной, или функцией.

Геометрически область определения функции является множеством точек комплексной плоскости. Функция комплексной переменной обозначается так же, как и функция действительной переменной: w = f(z).

В дальнейшем будем рассматривать только однозначные функции, т.е. такие, для которых каждому значения z G соответствует един-

ственное значение w W.

Так как задание комплексного числа z равносильно заданию двух действительных чисел x и y, являющихся соответственно его действительной и мнимой частями (z = x + yi), а числу w точно так же однозначно соответствует пара действительных чисел u и (w = u + vi), то зависимость w = f(z) между комплексный функцией w и комплексной переменной z равносильна двум зависимостям

определяющим действительные величины u и v как функции действительных переменных x и у.

Например, если w = z2, то, полагая

z = x+yi, w = u + vi,

получаем

u + vi = (x + yi)2 = x2 – y2 + 2xyi

и, следовательно, равенство w = z2 равносильно равенствам

18

u = x2 – y2, v = 2xy.

На функции комплексной переменной распространяется понятие предела и непрерывности. Введем предварительно понятие окрестности точки комплексной плоскости.

Определение. δ-окрестностью точки z0 (обозначается Uδ(z0)) на-

зывается внутренность круга радиусом δ с центром в точке z0. Вы-

колотой δ-окрестностью точки z0 (обозначается Ůδ(z0)) называется

δ-окрестность точки z0, из которой удалена сама точка z0.

Определение. Комплексное число c = a + bi называется пределом функции w = f(z) при z → z0, если для любого положительного числа ε существует такая выколотая δ-окружность точки z0, что для всех точек z комплексной плоскости, лежащих в этой окрестности, выполняется равенство |f(z) – с| < ε.

Введенное определение предела функции ничем не отличается от определения предела функции действительного переменного. Поэтому все доказанные в курсе математического анализа теоремы о пределах остаются в силе для функции комплексного переменного.

Определение. Функция f(z) называется бесконечно малой в окрестности точки z0, если

lim f (z) = 0 .

z→z 0

Справедливы и все доказанные для функций действительного переменного теоремы о бесконечно малых функциях.

Определение. Если функция w = f(z) определяется в точке z0 и в

некоторой ее окрестности и предел lim f (z) не только существует, но

z→z 0

равен значению функции f(z) в точке z0 т.е.

lim f (z) = f (z0 ) ,

z→z 0

то функция f(z) называется непрерывной в точке z0. Определение непрерывности можно записать:

19

ε > 0 δ(ε) > 0 : z Uoδ (z0 ) => | f (z) − f (z0 ) |< ε. (1.17)

Так как сформулированное определение непрерывности совпадает с определением непрерывности для функций действительного переменного, то доказанные в курсе математического анализа теоремы о непрерывности суммы, разности, произведения и частного (если делитель не обращается в нуль) непрерывной функции, а также непрерывной функции от непрерывной функции остаются в силе для функции комплексного переменного.

Как указывалось выше, равенство w = f(z), где w = u + iv, z = x + iy, равносильно системе равенств

u = u (x; y), v = v (x; y).

Если z0 = x0 + iy0, то

f (z) − f (z0 ) = (u(x; y) −u(x0 ; y0 )) +i(v(x; y) −v(x0 ; y0 ))

и

Из определения непрерывности функции f(z) в точке z0 следует, что для любого положительного ε существует положительное значение δ такое, что для любого z, принадлежащего Ůδ(x0), выполняет неравенство |f(z) – f(z0)| < ε. И, следовательно, выполняются неравенства

которые означают, что функции u(х; у) и v(х; у) непрерывны в точке (x0; y0). Таким образом, из непрерывности функции комплексного переменного следует непрерывность ее действительной и мнимой частей как функций двух действительных переменных х и у. Справедливо и обратное утверждение. Из неравенств (1.19) и равенства (1.18) непосредственно следует, что непрерывность функций u(х; у) и v(х; у) влечет за собой непрерывность функции f(z).

20