Математика теория функций комплексного переменного. Практикум

нец, III (y = 2π, а х изменяется от 0 до –∞). Очевидно, этим участкам в плоскости w будут соответствовать участки I′, II′, III′ где участок I′ совпадает с верхним краем разреза, а III′ – с нижним краем (рис. 3.5).

3. Логарифмическая функция

w = Lnz

определяется как функция, обратная показательной:

Ln z = ln z +i Arg z = ln z +i arg z + 2kπi (k = 0, ±1, ± 2, ...) .

Для определенности будем рассматривать главное значение логарифма z, т.е. то значение, которое соответствует главному значению аргумента

ln z = ln z +i arg z, −π< arg z ≤ π.

Эта функция – аналитическая во всех конечных точках z ≠ 0 и w′ = 1z ≠ 0 . Значит, отображение с помощью функции w = Lnz конформно во всех таких точках.

Пример 3.11. На что отображает функция w = Lnz полукольцо a ≤ r ≤b, 0 ≤ϕ≤ π (область D) в плоскости z?

91

Решение. Обозначим через G образ области D. В приведенной ниже таблице записаны уравнения границ областей D и G (участки I, II, III, IV переходят в участки I′, II′, III′, IV′ соответственно).

= ln z +i arg z = ln r +iϕ.

На рис. 3.6 изображены области D и G с обозначенными участками границ и направлением обхода областей. Итак, область G – прямоу-

Рис. 3.6

Задачи для самостоятельного решения

3.1. Указать область конформности для следующих отображений:

а) w = e−4 z; б) w = z2 −4z; в) w = −iz2; г) w = sh (1 − z); д) w = (z + 2i)3 .

3.2. Найти линейные отображения w = az + b, оставляющие точку z0 неподвижной и переводящие точку z1 в точку w1:

92

в) z0 = −1 −i, z1 =3 −2i, w1 =3i.

3.3. Найти образы следующих множеств при отображении w = 1z :

в) −2 < y < −1, x = 0 ;

г) 0 < Re z <1.

3.4. Найти образ действительной оси при отображении w = izz −−i1 .

3.5. Найти образ круга z <1 при w = zz −+1i .

3.6. Определить, во что переходит внутренность круга z <1 при дробно-линейном отображении, которое переводит точки z1 = 1, z2 = i, z3 = ∞ соответственно в точки w1 = 0, w2 = ∞, w3 = 1.

3.7. Найти функцию w = f(z), отображающую верхнюю полуплоскость на единичный круг так, чтобы точки z1 = –1, z2 = 0, z3 = 1 переходили в точки w1 = 1, w2 = i, w3 = –1 окружности.

3.8. Найти функцию w = f(z), отображающую круг z <1 на нижнюю полуплоскость так, чтобы точки z1 = 1, z2 = i, z3 = –i перешли в точки w1 = 1, w2 = 0, w3 = –1.

93

3.13. На какую область в плоскости w отобразит функция w = z2

3.15.Показать, что полоса 1 ≤ y <1 + 2π с помощью функции w = ez отображается на полную плоскость w с разрезом вдоль положительной части оси 0u.

3.16.На какую область в плоскости w отобразит функция w = –e–z

горизонтальную полосу {0 ≤ x < +∞,0 ≤ y ≤ π}?

3.17. На какую область в плоскости w отобразит функция w = e2z

0 < arg z < e ?

94

Типовые варианты контрольных работ

Контрольная работа 1 Дифференцирование ФКП

Вариант 1

1. На комплексной плоскости изобразить область, заданную неравенствами

z −i ≥1; −2 < Re z < 2; −1 < Im z ≤ 3.

2.Найти все значения корня 3−18 i и изобразить их на чертеже.

3.Исследовать на аналитичность в области определения функцию

f(z) =sin(i +5z).

4.Восстановить аналитическую функцию f(z) по заданной ее дей-

ствительной части: Re f = x3 +6x2 y −3xy2 −2 y3 , f (0) = 0 .

Вариант 2

1. На комплексной плоскости изобразить область, заданную неравенствами:

Re z ≤ 3; Im z <1.

2.Представить в алгебраической форме sh(3 −πi / 2).

3.Исследовать на аналитичность в области определения функцию

f (z) = z + 4iz.

4. Восстановить аналитическую функцию f(z) по заданной ее мни-

мой части: Im f = y cos y ch x + xsin y sh x, f (0) = 0 .

95

Контрольная работа 2

Интегрирование ФКП

Вариант 1

Вариант 2

1. Разложить функцию f(z) в ряд Лорана в окрестности точки z0 и ука-

1

зать область сходимости полученного разложения: f(z) = zez−2 , z0 = 2.

2. Вычислить интеграл ∫z Im(z2 )dz , где γ: {z : Re z = 1, |Im z| ≤ 3}.

γ

3. Вычислить интегралы с помощью вычетов:

96

Ответы

луплоскость, расположенная ниже горизонтальной прямой y = 1. 1.15. Вся плоскость, из которой удален круг радиусом 1 с центром в точке z = i вместе с его окружностью. 1.16. Круг радиусом 2 с центром в точке z = –i, причем эта точка удалена. 1.17. Угол раствора

π4 с вершиной в точке z = 0. 1.18. Внешность круга (x −1)2 + y2 ≤1.

1.19.Уголраствора π4 свершинойвточкеz=–i,стороныкоторогопро-

≈ –0,226 – 1,084i. 1.32. cosl ≈ 0,54. 1.33. –coslsh2 + isinlch2 ≈ –1,96 +

97

2.1. Нет. 2.2. Да. 2.3. Нет. 2.4. Да. 2.5. Нет. 2.6. Да. 2.7. Нет.

в) вся плоскость, кроме точки z = 0; г) вся плоскость, кроме точек

98

Контрольная работа 1

Вариант 1

1.Накоординатнойплоскостиx0yквадрат–2<x <2;–1<y<3свыре- занным в центре квадрата кругом радиусом 1. 2. 12 i, − 43 − 14 i, 43 − 14 i . 3. Аналитична в С. 4.(1 −2i)z3 .

Вариант 2

1. На координатной плоскости x0y прямоугольник –3 ≤ x ≤ 3,

–1 < y < 1. 2. −e3 i . 3. Не является аналитической функцией. 4. zchz.

2

Контрольная работа 2

Вариант 1