Математика теория функций комплексного переменного. Практикум

2.9. Вычисление интегралов с помощью вычетов

Основная теорема о вычетах. Пусть L0 – простой замкнутый контур, на котором функция f(z) аналитична. Пусть внутри контура L0 функция f(z) аналитична всюду, за исключением n изолированных особых точек a1, a2, ..., an. Тогда интеграл от функции f(z) по контуру L0 равен сумме вычетов в точках a1, a2, ..., an, умноженный на 2πi:

Рис. 2.11

71

Доказательство. Окружим точки a1, a2, ..., an, лежащие внутри контура L0, окружностями L1, L2, ..., Ln столь малых радиусов, чтобы все они лежали внутри контура L0 и внутри каждой из этих окружностей находилось лишь по одной особой точке функции f(z), при этом никакие две из этих окружностей не должны иметь общих точек (рис. 2.11). Тогда в силу теоремы Коши для составного контура (см. формула (2.21)) получим

где при интегрировании все контуры обходят против часовой стрелки.

особые точки (см. пример 2.18, в) ): z1 = 0 – полюс третьего порядка,

z2,3 = ±3i – полюса второго порядка. Внутри контура С (рис. 2.12) находятся точки z1 = 0 и z2 = 3i. Точка z3 = –3i лежит вне этого контура.

Тогда по основной теореме о вычетах

Воспользовались результатом, полученным в примере 2.21, где были найдены вычеты подынтегральной функции.

72

Рис. 2.12

Рис. 2.13

73

особые точки: z1 = –1 – простой полюс, z2 = 0 – полюс третьего порядка. Обе особые точки находятся внутри контура С (рис. 2.14). По основной теореме о вычетах имеем

∫ f (dz) = 2πi(res f (−1) +res f (0)).

C

Найдем вычеты в каждой из особых точек.

Вычет в точке z1 = –1 (простой полюс) вычислим по формуле (2.37):

Вычет в точке z2 = 0 (полюс третьего порядка) вычислим по фор-

муле (2.41):

Рис. 2.14

74

z

ственную особую точку z = 0, которая является существенно особой точкой (см. пример 2.18, г). Эта точка лежит внутри контура C, поэтому на основании основной теоремы о вычетах

∫ f (z)dz = 2πi res f (0) .

C

Получим разложение f(z) в ряд Лорана, воспользовавшись форму-

лой (1.24):

На основании формулы (2.35), вычет равен коэффициенту C–1 разложения функции f(z) в ряд Лорана в окрестности рассматриваемой

С помощью вычетов можно вычислять некоторые несобственные интегралы, в частности, интегралы от рациональных функций. Приведем следующую теорему без доказательства.

75

Теорема. Пусть f(x) – дробно-рациональная функция, f (x) = Pm (x),

Qn (x)

где Pm(x) и Qn(x) – многочлены соответственно степеней m и n. Если f(x) непрерывна на всей действительной оси, т.е. Qn(x) ≠ 0 для любых действительных x, и n ≥ m + 2, т.е. степень знаменателя по крайней мере на две единицы больше степени числителя, то

−∞

где S означает сумму вычетов функции f (z) = Pm (z) во всех полю-

Qn (z)

сах, расположенных в верхней полуплоскости.

летворяет требованиям теоремы об интегрировании дробно-раци- ональной функции. Ее особые точки z1 = i, z2 = –i не лежат на действительной оси. Степень числителя 0, знаменателя 4. В верхней полуплоскости находится одна особая точка. Следовательно:

76

удовлетворяет требованиям теоремы об интегрировании дробнорациональной функции. Ее особые точки z1,2 = −2 ±3i не лежат на действительной оси. Степень числителя 1, знаменателя 4. В верхней полуплоскости находится одна особая точка z1 = −2 +3i , которая является полюсом второго порядка. Найдем вычет функции f(z) в этой точке, воспользовавшись формулой (2.41):

Задачи для самостоятельного решения

Пользуясь условиями Коши – Римана, выяснить, какие из следующих функций являются аналитическими хотя бы в одной точке, а какие – нет:

Восстановить аналитическую функцию по ее известной действительной или мнимой части.

2.9. u = x2 − y2 + 2x, f (i) = 2i −1 .

77

щим точки z1 = 0 и z2 = 1 + i: L а) по прямой у = х;

б) по параболе y = x2;

в) по ломаной z1z2z3, где z3 = 1.

2.19. Вычислить интеграл ∫(z2 + zz )dz , где L – дуга окружности

2.20. Вычислить интеграл ∫(2z +1)zdz , где L – единичная окруж-

2.21. Вычислить интеграл ∫Re zdz , где L – дуга параболы y = 2x2 , начало которой в точке z = 0 иLконец в точке z =1 + 2i .

2.22. Вычислить интеграл ∫(z −1)cos zdz по произвольной линии,

L

соединяющей точки z1 = − π2 и z2 = π2 .

2.23. Вычислить интеграл ∫(iz2 −2z)dz , где L – произвольная ли-

L

ния, соединяющая точки z1 = i и z2 = 1.

Разложить в ряд Лорана в окрестности точки z0 = 0 следующие функции. Найти вычет этой функции в точке z0:

78

2.24. f (z) = sinz4 z . 2.25. f (z) = z3 cos z12 . 2.26. f (z) = z sin 1z .

Разложить следующие функции в ряд Лорана в указанных кольцах:

Вычислить несобственные интегралы с помощью вычетов:

79

3. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 3.1. Понятие комформного отображения

Определение. Взаимно однозначное отображение области D плоскости z на область G плоскости w называется конформным, если в каждой точке области D оно обладает свойствами сохранения углов и постоянства растяжений.

Критерий конформности. Для того чтобы отображение области D, задаваемое функцией f(z), было конформным, необходимо и достаточно, чтобы f(z) была однолистной и аналитической в области D функцией, причем f′(z) ≠ 0 всюду в D. (Функция w = f (z) называется однолистной в области D, если она в различных точках области D принимает различные значения.)

Пример 3.1. В каких областях D отображения a) w = 2z, б) w = (z – 2)2

являются конформными?

Решение. а) Так как функция f(z) = 2z является аналитической и однолистной во всей комплексной плоскости z, а ее производная f′(z) = 2 ≠ 0, то данное отображение является конформным во всей комплексной плоскости.

б) Отображение w = (z – 2)2 является всюду конформным, кроме точки z = 2, в которой производная f′(z) = 2(z – 2) обращается в нуль.

3.2. Конформные отображения, осуществляемые линейной функцией

Линейная функция w = az + b, где а и b – постоянные комплексные числа (a ≠ 0), осуществляет конформное отображение всей плоскости

z на всю плоскость w, так как при любом z имеем w′ = a ≠ 0.

Линейное отображение w = az + b, где a = reiα, осуществляется путем последовательного применения:

1)поворота вокруг начала координат на угол α;

2)преобразование подобия с центром подобия в начале координат

икоэффициентом подобия, равным r;

3)параллельного переноса с помощью вектора, соответствующего комплексному числу b.

Можно показать, что линейное отображение w = az + b вполне определяется, если потребовать, чтобы две различные точки z1 и z2

80