Математика теория функций комплексного переменного. Практикум

Рис. 2.6

2.6. Ряд Тейлора. Ряд Лорана

Можно доказать, что из аналитической функции в некоторой точке, т.е. из существования первой производной данной функции в ка- кой-либо окрестности этой точки, следует существование в окрестности той же точки производных данной функции любого порядка, а следовательно, и аналитичность этих производных.

Рис. 2.7

Рассмотрим однозначную функцию f(z), аналитическую внутри круга G, ограниченного окружностью радиусом R с центром в точке z = a (рис. 2.7). Можно показать, что во всякой точке z, находящейся внутри круга G, т.е. | z −a | < R , функцию f(z) можно представить в виде суммы степенного ряда типа (1.22):

∞

f (z) = C0 +C1 (z −a) +C2 (z −a)2 +... +Cn (z −a)n +... = ∑Cn (z −a)n ,

n=1

51

коэффициенты которого вычисляются по формулам

Полученный ряд называется рядом Тейлора. Форма его записи не отличается от разложения в ряд Тейлора функцией действительного переменного:

Рис. 2.8

Существование производных любого порядка от функции f(z) в любой точке внутри круга G следует из аналитичности функции f(z) внутри этого круга и утверждения, сформулированного в начале данного пункта

Пусть теперь функция f(z) является однозначной аналитической функцией внутри кольца между концентрическими окружностями радиусов R1 и R2 с центром в точке z = a (рис. 2.8) и z – произвольная внутренняя точка этого кольца, т.е. R1 <| z −a | < R2 . Тогда можно доказать, что функция f(z) может быть представлена рядом, сходящимся в любой точке z этого кольца:

52

кривая Г – любая расположенная в данном кольце окружность с цен-

тром в точке z = a радиусом R, т.е. | z −a | = R , R1 < R < R2 . Полученное разложение называется рядом Лорана.

Пример 2.13. Получить различные разложения в ряд Лорана функции

Решение. Функция f(z) имеет две особые точки z = 1 и z = 2, в которых она не определена. Во всех остальных точках комплексной плоскости функция аналитична. Следовательно, имеется три круговых области с центром в точке z = 0, в каждой из которых функция аналитична (рис. 2.9):

1)круг | z | <1;

2)кольцо 1 <| z | < 2 ;

3)внешность круга | z | > 2 .

53

В рассматриваемом примере можно получить разложение в ряд Лорана в каждой из перечисленных областей, не прибегая к формулам для вычисления коэффициентов (2.25).

1) Разложение в круге | z | <1.

Представим функцию f(z) в виде суммы двух простейших дробей:

в случае | q | <1 называется бесконечно убывающей геометрической прогрессией, его сумма равна 1 −b q . Как было указано выше, все те-

оремы о пределах последовательностей действительных чисел справедливы и для комплексных чисел. Поэтому ряд (2.26) сходится к

Тогда дробь − z 1−1 может быть представлен в виде ряда

− z 1−1 =1 −1 z =1 + z + z2 +... + zn +... ,

который сходится, так как в данном случае q = z и | z | <1.

Полученный ряд также сходится, как геометрическая прогрессия со знаменателем q = 2z , 2z <1 .

54

Тогда

Складывая полученные разложения для каждой из дробей, будем окончательно иметь

C−n = 0 при n = 1, 2, …

Полученное разложение является рядом Тейлора. 2) Разложение в кольце 1 <| z | < 2 .

Ряд (2.28) остается сходящимся, так как в кольце | z |< 2 , следова-

55

Ряд в первой части (2.30) сходится, так как | z |> 2 и, следователь-

но, 2z <1 . Складывая (2.29) и (2.30), получаем

т.е.

Cn = 0 при n = 0, 1, 2, …,

C−n = 2n−1 −1 при n = 1, 2, …

Полученное разложение является рядом Лорана.

Пример 2.14. Выбрав a = 1, найти разложения в ряд Лорана в различных областях функции, рассмотренной в примере 2.13:

f (z) = 1 . (z −1)(z −2)

56

Решение. В данном случае имеются две круговые области с центром в точке z = 1 (рис. 2.10):

1)круг, из которого удален центр 0 <| z −1| <1 ;

2)внешность круга | z −1| >1 .

В каждой из этих областей функция f(z) аналитична, а на границах имеет особые точки. Разложим в каждой из этих областей функцию f(z) по степеням z – 1.

1) Разложение в области 0 <| z −1| <1 . Как и в примере 2.13, имеем

Представим первую дробь в виде суммы геометрической прогрессии:

57

Можно доказать, что разложить аналитическую функцию в ряд Лорана можно единственным способом. То есть если функция f(z) яв-

ляется в некотором кольце с центром в точке z = a аналитической, то не существует двух различных рядов указанного вида, сходящихся в этом кольце и имеющих своей суммой функцию f(z).

Так как ряд Тейлора является частным случаем ряда Лорана, то разложить функцию f(z) в ряд Тейлора в круге с центром в точке z = a

зуемся разложением функции cosz в ряд (1.25), подставив вместо z дробь z 2−1 :

58

Получен ряд Лорана для заданной функции, который будет сходиться к заданной функции во всех точках комплексной плоскости за исключением точки z = 1.

2.7. Нули функции. Изолированные особые точки

Если в точке z = a функция f(z) аналитична, ее можно представить в виде разложения в ряд Тейлора по формуле (2.23). Полученное раз-

ложение называется разложением функции f(z) в окрестности точки a.

Если f(a) = 0, то точка a называется нулем функции f(z). Если точка a является нулем функции f(z), то разложение этой функции в ряд Тейлора в окрестности точки a имеет вид

то точка a называется нулем функции f(z) порядка n. Если n = 1, то нуль называется простым.

Из формул для коэффициентов ряда Тейлора следует, что, если точка a является нулем порядка n функции f(z), то

но f (n) (a) ≠ 0 .

Если n =1, то точка a является простым нулем, т.е. для простого нуля выполняется условие f(a) = 0, f′(a) ≠ 0.

Разложение (2.31) можно переписать в виде

f (z) = (z −a)n (Cn +Cn+1 (z −a) +...) = (z −a)n ϕ(z),

59

где функция ϕ(z) определяется как сумма степенного ряда:

ϕ(z) =Cn +Cn+1 (z −a) +... ,

имеющего, очевидно, тот же круг сходимости, что и данный ряд (2.31). Для функции ϕ(z) точка а уже не является нулем, так как ϕ(a) = Cn ≠ 0 . Справедливо и обратное утверждение: всякая функция вида

где n – целое положительное число, ϕ(a) ≠ 0 , а ϕ(z) – аналитична в точке a, имеет в этой точке нуль порядка n.

Решение. Воспользуемся разложением функции sin z в ряд, задава-

которое справедливо, как известно, во всей плоскости. Поделим обе части этого равенства на z, что допустимо, если z ≠ 0, получим

Это равенство справедливо при любом z ≠ 0. Однако ряд, стоящий в правой части этого равенства, сходится и при z = 0, причем его сумма при z = 0 равна 1. Поэтому, если доопределить функцию f(z) в точке z = 0, значением f(0) = 1, она будет аналитической во всей плоскости. Следовательно, точка z = 0 является устранимой особой точкой для рассматриваемой функции.

Пример 2.17. Найти нули и определить их порядок для следую-

60