Математика теория функций комплексного переменного. Практикум

Если z = x – действительное положительное число, то |z| = x и arg z = 0, поэтому, согласно (2.1), главное значение введенного логарифма для действительного положительного числа является числом действительным и совпадает со значением ln x действительного аргумента. Поэтому символом ln z обозначают значение логарифма любого комплексного числа z. Тогда из формулы (2.1) следует

Пример 2.1. Найти а) ln(–1) и Ln(–1); б) ln i и Ln i; в) ln(5 + 1i) Ln(5 + 12i).

Решение. а) Модуль числа –1 равен 1, а главное значение аргумента равно π, тогда по формулам (2.2) и (2.1)

ln (–1) = ln 1 +πi = πi,

Ln(–1) = πi + 2πki = (2k + 1)πi, (k = 0, ±1, ±2, …).

б) Модуль числа i равен 1, а главное значение аргумента равно π/2, следовательно

ln i = ln 1+ π2 i = π2 i;

Ln i = π2 i+2πki = (2k + 0,5)πi, (k = 0, ±1, ±2, …).

в) Модуль числа 5 + 12i равен 52 +122 = 13, а главное значение аргумента равно arctg1215 , следовательно:

ln (5+12i) = ln 13 + i arctg 1215 ;

Ln (5+12i) = ln 13+i arctg 1215 + 2πki, (k = 0, ±1, ±2, …).

Определим показательную функцию az. Формула (1.28) служит для возведения в комплексную степень числа е. Чтобы определить возведение в степень любого комплексного числа, заметим, что в силу определения логарифмической функции

eLn a = a

для любого комплексного числа а.

31

Для действительных а и z при a > 0 справедливо тождество

az=ez ln a.

Тогда для любых комплексных а и z введем по определению

В силу многозначности логарифма выражение az, определенное равенством (2.3), многозначно. Его главным значением будем называть то, которое получим, подставив в правую часть (2.3) ln a вместо

Ln a.

Пример 2.2. Найти: а) ii; б) главное значение 23+4i.

π

Главное значение i i равно e2 ≈ 0, 208.

б) 23+4i = e(3+4i)ln 2 = e3ln 2+4i ln 2 = e3ln 2 (cos(4ln 2) +isin(4ln 2)) = =8(cos(4ln 2) +isin(4ln 2));

cos(4ln2) ≈ cos(2,77) ≈ –0,933; sin(4ln2) ≈ sin(2,77) ≈ 0,361.

Тогда 23+4i = 8(–0,933 + i0,361) = –7,46+2,89i.

2.2. Производная функции комплексного переменного

Определение производной и дифференциала функции комплексного переменного дословно совпадает с соответствующими определениями для функций действительного переменного. Поэтому почти все основные теоремы и формулы дифференциального исчисления без изменения распространяются и на функции комплексного переменного.

Однако дифференцируемые функции комплексного переменного обладают по сравнению с дифференцируемыми функциями действительного переменного многими дополнительными свойствами, причина появления которых заключается в том, что условие существования производной функции комплексного переменного является несравненно более ограничительным, чем условие для существования производной функции действительного переменного.

32

Дадим независимому переменному z = x + iy приращение ∆z = ∆x + + i∆y и найдем вызванное этим приращением приращение ∆w одно-

∆z

симости от закона стремления ∆z к нулю накладывает на функцию

f(z) более сильные ограничения, чем аналогичное требование для функции y = f(z) действительного переменного х. Так, если функция y = f(z) имеет производную, то это значит, что существует предел от-

ношения ∆∆yx при приближении точки x + ∆x к точке х по двум направ-

лениям: слева (при ∆x < 0) и справа (при ∆x > 0), и что эти пределы совпадают. Требование же существования производной для функции f(z) комплексного переменного означает существование предела отно-

шения ∆∆wz

в частности, по любому из бесконечного множества различных лучей, и совпадение всех этих пределов.

Пусть f(z) = u(x; y) + iv(x; y) и ∆z = ∆x + i∆y, тогда ∆w = f(z + ∆z) –

– f(z) = (u(x + ∆x; y + ∆y) – u(x; y)) + i(v(x + ∆x; y + ∆y) – v(x; y)) = ∆u + i ∆v,

где ∆u = u (x + ∆x; y + ∆y)−u(x; y) ;

∆v = v(x + ∆x; y + ∆y)−v(x; y) .

В этих обозначениях

33

Пусть функция f(z) имеет производную в точке z, тогда предел (2.4) существует и не зависит от закона стремления ∆z = ∆x + i∆y к нулю. В частности, при ∆z = ∆x, т.е. при приближении точки z + ∆z к точке z по прямой, параллельной оси 0х (рис. 2.1, а), получим

Выбрав ∆z = i∆v, т.е. устремляя точку z + ∆z к точке z по прямой, параллельной оси 0у (рис. 2.1, б), получим

Так как предел отношения ∆∆wz при ∆z → 0 не должен зависеть от

закона стремления ∆z к нулю, то выражения (2.5) и (2.6) должны быть равны:

∂∂ux +i ∂∂vx = ∂∂yv −i ∂∂uy .

Напомним, что из равенства двух комплексных чисел следует равенство их действительных и мнимых частей, т.е.

Эти условия, которые называются условиями Коши – Римана, должны выполняться в каждой точке, в которой функция f(z) = u(x; y) + + iv(x; y) имеет производную (дифференцируема).

34

При некоторых добавочных ограничениях, например, если потребовать существование полных дифференциалов функций u(x; y) и v(x; y), можно доказать, что условия Коши – Римана не только необходимы, но и достаточны для дифференцируемости функции f(z).

2.3. Аналитические функции. Их свойства

Если функция дифференцируема не только в данной точке, но и в некоторой окрестности этой точки, то она называется аналитической в данной точке.

Функция, аналитическая во всех точках некоторой области, назы-

вается аналитической в этой области.

Точки плоскости z, в которых однозначная функция f(z) является аналитической, называют правильными точками этой функции, а точки, в которых функция f(z) не является аналитической (в частности, точки, в которых f(z) не определена) – особыми точками.

Пример 2.3. Выяснить, является ли функция w = z2 аналитической.

Решение. Если w = z2 и z = x + iy, то

w = u +iv =(x +iy)2 = x2 − y2 + 2xyi и u = x2 − y2 , v = 2xy .

Найдем частные производные:

выполнены во всех точках плоскости. Таким образом, функция w = z2 является аналитической во всей плоскости. Согласно формуле (2.5)

ω′(z) = ∂∂ux +i ∂∂vx = 2x + 2iy = 2(x +iy) = 2z ,

получим формулу (z2 )′ = 2z .

Пример 2.4. Выяснить, является ли функция w = ez аналитической.

Решение. Если w = ez и z = x + iy, то

w = u +iv = ex+iy = ex (cos y +isin y) и u = ex cos y, v = ex sin y .

35

Найдем частные производные:

т.е. условия Коши – Римана (2.7) выполнены во всех точках плоскости. Поэтому функция w = ez дифференцируема в любой точке z, т.е. является аналитической во всей плоскости.

Согласно формуле (2.5)

ω′(z) = ∂∂ux +i ∂∂vx = ex cos y +iex sin y = ex (cos y +isin y) = ex+iy = ez ,

получим формулу (ez )′ = ez .

Пример 2.5. Выяснить, является ли функция w = z = x −i y аналитической.

этому функция w = z не дифференцируема ни в одной точке плоскости, т.е. не является аналитической.

Пример 2.6. Выяснить, является ли функция w = zRez аналитической.

Решение. Если w = zRez и z = x + iy, то

w = u +iv = (x +i y)x = x2 +ixy и u = x2 , v = xy.

36

Найдем частные производные:

Условия Коши – Римана (2.7) выполнены только при х = 0 и y = 0. Следовательно, функция w = zRez дифференцируема только в одной точке z = 0 и ни в какой точке не является аналитической.

Так как основные теоремы о пределах сохраняются для функций комплексного переменного, а определение производной функции комплексного переменного также не отличается от соответствующего определения для функции действительного переменного, то можно показать, что правила дифференцирования суммы, разности, произведения, частного, степени, функции от функции, обратной функции остаются справедливыми и в случае функции комплексного переменного.

Также можно показать, что сохраняются и правила дифференцирования элементарных функций. Все рассмотренные выше основные элементарные (однозначные) функции дифференцируемы в области определения, причем имеют место формулы:

Решение. При нахождении производной используем формулу диф-

ференцирования (2.10), а также правило дифференцирования сложной функции, которое справедливо как для функции действительного, так и комплексного переменного:

f ′(z) = (sin(2iz +1))′ = cos(2iz +1) (2iz +1)′ = 2i cos(2iz +1) .

37

Следовательно, производная в точке z0 равна

f ′(z0 ) = 2i cos(2i(1 + 2i) +1) = 2i cos(2i −3) .

Преобразуем полученное выражение по тригонометрической формуле косинуса разности:

f ′(z0 ) = 2i(cos 2i cos 3 +sin 2isin 3) .

Тригонометрические функции мнимого аргумента запишем по формуле (1.14):

= −(e2 −e−2 )sin 3 +i(e2 +e−2 )cos 3 ≈ −1,024 −7, 449i.

Напомним, что аргумент синуса и косинуса в полученной формуле записан в радианах.

Ответ: f ′(z0 ) = −1,024 −7, 449i .

Уравнение вида

называется уравнением Лапласа. Решения уравнения Лапласа называ-

ются гармоническими функциями.

Теорема. Если функция f (z) =u +iv является аналитической в некоторой области D, то действительная и мнимая части этой функции являются в области D гармоническими функциями, т.е. являются решениями уравнения Лапласа.

Доказательство. Если функция f(z) аналитическая в области D, то функции u и v связаны условиями Коши – Римана:

38

Продифференцируем первое из этих соотношений по х, а второе по у:

∂2u + ∂2u = 0 , ∂x2 ∂y2

т.е. функция u(x; y) удовлетворяет уравнению Лапласа.

Аналогично, дифференцируя первое из исходных соотношений по у, а второе по х:

и вычитая из первого равенства второе, получаем

∂2v + ∂2v = 0 , ∂y2 ∂x2

т.е. функция v(x; y) также удовлетворяет уравнению Лапласа. Заметим, что, если u(x; y) и v(x; y) являются произвольно выбран-

ными гармоническими функциями, функция u(x; y) + iv(x; y), вообще говоря, не будет аналитической функцией, так как условия (2.7), как правило, не будут выполнены.

Аналитическую функцию f(z) = u(x; y) + iv(x; y) можно получить, если, произвольно задав одну из двух гармонических функций u(x; y) или v(x; y), подобрать другую так, чтобы удовлетворялись условия Коши – Римана (2.7), т.е. определить другую из этих функций по её двух частным производным. Таким способом функцию можно определить с точностью до постоянного слагаемого.

Пример 2.8. Проверить, что функция v(x; y) = 2x2 – 2y2 + x может являться мнимой частью аналитической функции f(z). Восстановить эту аналитическую функцию по мнимой части v(x; y) и значению f(0) = 3.

Решение. Функция v(x; y) может являться мнимой частью аналитической функции f(z) если она гармоническая, т.е. удовлетворяет урав-

39

нению Лапласа (2.13). Проверим это. Найдем сначала частные производные первого порядка от функции v(x; y):

Затем найдем повторные частные производные второго порядка

Так как для рассматриваемой функции

∂2v + ∂2v = 0 , ∂x2 ∂y2

то она является гармонической и, следовательно, может являться мнимой частью аналитической функции f(z).

Из условий Коши – Римана (2.7):

Тогда u(x; y) = ∫∂∂ux dx = ∫(−4 y)dx = −4xy +ϕ( y) , где функция ϕ(y) пока произвольная. Для определения функции ϕ(y) дифференциру-

ем полученную функцию u(x; y) по у: ∂∂uy = −4x +ϕ′( y) и сравнива-

ем полученную производную с выражением, найденным из условий Коши – Римана. Получаем уравнение

−4x +ϕ′( y) = −(4x +1) ,

откуда

ϕ′( y) = −1 и ϕ( y) = −y +C .

Следовательно:

u = −4xy +ϕ( y) = −4xy − y +C .

Окончательно получаем:

f(z) = u +iv = −4xy − y +C +i(2x2 −2 y2 + x) =

=2i(x2 − y2 + 2ixy)+i(x +iy) +C = 2iz2 +iz +C .

40