Математика задачи студенческих олимпиад. Задачник

№ 3147 М И Н И С Т Е РС Т В О Н АУ К И И В ЫС Ш Е ГО О Б РА З О ВА Н И Я РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»

ИНСТИТУТ БАЗОВОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Кафедра математики

Г.Д. Лёвшина Е.Л. Плужникова Е.В. Винников

МАТЕМАТИКА

ЗАДАЧИ СТУДЕНЧЕСКИХ ОЛИМПИАД

Задачник

Рекомендовано редакционно-издательским советом университета

Москва 2019

3

ПРЕДИСЛОВИЕ

Традицией НИТУ «МИСиС» является ежегодное проведение студенческих олимпиад по различным предметам, в частности по математике. Предлагаемые на таких олимпиадах задачи носят нестандартный характер и требуют от студента не только прочных теоретических знаний по программе, уверенного владения техникой решения стандартных задач, но и изобретательного, творческого подхода, умения логически рассуждать. Решение нестандартных задач по математике – один из путей развития творческой активности и способностей студентов технических университетов.

Однако, несмотря на обилие и разнообразие предлагаемых задач, до сих пор отсутствует издание, которое бы содержало достаточное количество предлагавшихся на этих олимпиадах заданий, а также задач олимпиад других вузов, причем с решениями.

Предлагаемый читателю (студенту I курса НИТУ «МИСиС») задачник отчасти восполняет этот пробел. Практически ко всем задачам сборника даны ответы, указания или решения, отделенные от условий

иоставляющие простор для творческой работы. Мы рекомендуем также студентам ознакомиться с пособиями [1] и [2], где отражен многолетний опыт олимпиадной работы ведущих вузов нашей страны. Заметим, что для решения данных задач не требуется знание материалов, выходящих за рамки программы технических университетов.

Решить непривычную интересную задачу, отрешившись от шаблонов, – это уже маленькая творческая победа, которая дает положительные эмоции. Желаем вам побед!

Задачник состоит из трех частей. В первой части задачи повышенной сложности разделены по темам и снабжены подробными решениями. В конце каждого раздела приводятся задачи для самостоятельного решения с указаниями и ответами. Вторая часть посвящена математическим олимпиадам НИТУ «МИСиС» – приводятся варианты олимпиад 2002–2017 годов с ответами и частично с решениями.

Втретьей части приведены задачи Московской городской олимпиады

иолимпиадные задачи других технических вузов.

Авторы выражают глубокую благодарность ранее работавшим на кафедре математики НИТУ «МИСиС»: доценту, кандидату физикоматематических наук Т.В. Лоссиевской и доценту, кандидату технических наук С.Н. Богданову, любезно предоставивших материалы математических олимпиад НИТУ «МИСиС» 2003–2010 годов. Авторы благодарят также всех студентов – участников олимпиад.

4

1. ЗАДАЧИ ПОВЫШЕННОЙ СЛОЖНОСТИ ПО РАЗДЕЛАМ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ДЛЯ СТУДЕНТОВ I КУРСА

1.1. Линейная алгебра

ров n-мерного пространства всегда линейно зависимы, то суще-

1.2. Пусть матрица A такова, что (E + A)m = 0 , где E – единичная матрица. Доказать, что матрица A обратима.

Решение

Если матрица A необратима, то она имеет нетривиальное ядро. Тогда найдется ненулевой вектор x такой, что Ax = 0 . Следователь-

но, (E + A)x = x . Откуда следует, что (E + A)m x = x . Получили проти-

воречие, так как по условию (E + A)m x = 0 .

1.3. Квадратная матрица A такова, что в каждом ее столбце есть ровно два ненулевых элемента. Один из них находится на диагонали и он больше 1, а второй находится вне диагонали и он равен 1. Может ли она быть необратимой?

Решение

Запишем матрицу A в виде суммы двух матриц: A = B + C , где матрица B – диагональная матрица, элементы которой bii больше 1, а матрица C – матрица, в каждом столбце которой ровно одна единица, а остальные элементы равны нулю. Если матрица A необратима, то существует такой вектор x = (x1, x2 , ..., xn ) , который она

переводит в нулевой вектор, т.е. Ax = 0 . Пусть xk – наибольшее по

5

модулю из чисел x1, x2 , ..., xn , тогда k-я координата вектора Ax равна

C = A – B может принимать только значения –1, 0 или 1.

Решение

Так как AB = BA , то

C3 = ( A − B)3 = A3 −3A2 B +3AB2 − B3 = A2 A −3A2 B +3AB2 − B2 B.

По условию A2 = A, B2 = B , тогда

C3 = A A −3AB +3AB − B B = A − B = C .

Значит, det C3 = det C det C = ±1 или det C = 0 .

1.5. В матрице A размером 3 × 3 суммы всех строк и суммы всех столбцов равны между собой. Доказать, что сумма произведений строк матрицы равна сумме произведений ее столбцов.

Решение

a11 + a12 + a13 = a21 + a22 + a23 = a31 + a32 + a33 = a11 + a21 + a31 = = a12 + a22 + a32 = a13 + a23 + a33.

Требуется доказать, что

a11 a12 a13 + a21 a22 a23 + a31 a32 a33 = = a11 a21 a31 + a12 a22 a32 + a13 a23 a33.

Заметим, что

a11 a12 a13 + a21 a22 a23 + a31 a32 a33 − −a11 a21 a31 − a12 a22 a32 − a13 a23 a33 =

a11 a33 a22

= a23 a12 a31 = 0. a32 a21 a13

6

Определитель не изменится, если из первой и второй строки вычесть третью:

Заметим, что в полученном определителе все числа в первой строке равны. Действительно:

1)если a11 – a32 = a33 – a21, то a11 + a21 = a33 + a32 a11 + a21 + a31 =

=a33 + a32 + a31;

2)если a11 – a32 = a22 – a13, то a11 + a13 = a22 + a32 a11 + a13 + a12 =

=a22 + a32 + a12.

Аналогично проверяется равенство всех чисел во второй строке. Таким образом, в этом определителе две первые строки пропорциональны. Следовательно, он равен нулю.

1.6. Докажите, что на координатной плоскости не существует пары векторов с целочисленными координатами, угол между которыми составляет 60°.

Решение

Доказываем методом от противного. Предположим, что такие век-

торы существуют. Пусть a = (a1; a2 ), b = (b1;b2 ), где a1, a2 , b1, b2 . Нормируем векторы:

Если угол между векторами равен 60°, то вектор a0 может быть получен поворотом вектора b0 на 60°. Составим матрицу оператора поворота:

7

Умножим первое уравнение на b1, второе на b2 и сложим уравнения:

Получим, что число r должно быть рациональным.

Далее умножим первое уравнение на b2, второе на b1 и вычтем из первого уравнения второе: