Математика задачи студенческих олимпиад. Задачник

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

няются неравенства 0 < f (x) ≤

. Доказать, что существует

f 2 (x) − x2

и вычислить его.

и вычислить его.

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1211 12 > Следующая >>>

гармонии». Пифагорейцы нашли строгие математические методы построения музыкальных ладов, которые практически без изменения вошли в современную музыку.

3. Ответ: Музыка – это математика чувств. 4. Ответ: Парфенон.

5. Ответ: «...Искусственный, весьма сжатый язык математики».

6.Ответ: пищи – в 123 = 1728 раз, ткани – в 122 = 144 раз.

7.Ответ: «...То, что он о себе думает».

8. Ответ: «Алиса в стране чудес», Л. Кэрролл. Л. Кэролл – это псевдоним, настоящее имя математика – Чарльз Латуидж Доджсон.

9. Ответ: Утверждения называются взаимно обратными. Одним из примеров являются «свойство равнобедренного треугольника» и «признак равнобедренного треугольника».

10. Ответ: М.Ю. Лермонтову. Известно, что он был большим любителем математики.

11. Ответ: С.В. Ковалевская. В России в высшие учебные заведения женщины не принимались.

12. Ответ: Норвежскому математику Абелю. Задачи о неразрешимости уравнений 5-й степени в радикалах и общая теория интегралов. На памятнике надпись «Абель».

Примечание. Возможно засчитать ответ, если будет сказано, что памятник – математику, а чудовища символизируют задачи, которые он решил.

13. Ответ: «Аль джебр» – восстанавливать. Это были хирурги-ко- стоправы, которые восстанавливали при вывихах и переломах. В старых изданиях этого романа так и писали «алгебраист», в новых изданиях переводчики заменяют это слово на «врач», «хирург».

14. Ответ: Буква «у». «Понять – значит упростить». 15. Ответ: Перевел доллары в центы.

16. Ответ: 1/3.

Олимпиада 2003/2004 учебного года Первый тур

1. 1,5. 2. Указание. Сравнить производные этих функций.

3. x3 −6x2 +9x + 2. 4. x = 0.

6. 80 1 +107(x −3) +54(x −3)2 +12(x −3)3 + (x −3)4 .

101

		Второй тур
2. Указание. Рассмотреть 2 случая: det A ≠ 0 и det A = 0.
3.	2	. 4. Указание. Сделать замену x = sin t. 5. Да.
	3
		Олимпиада 2004/2005 учебного года
1. e−1. 2. f (x) ≡ 0. 3. 6. 4. x−4/3.
		Олимпиада 2005/2006 учебного года

1. 2.		3. 2x + x arcsin x arccos x −	1 − x2	(arcsin x −arccos x) +C.
4.	y = 2x2 −1; x [−1;1].

Первый тур олимпиады 2009/2010 учебного года

1. 1. 2. 4. 3. (1; 1 + 4n). 4.

5.	3			a 2	− y	2	=	a2	.
		x −						3
				3
6. M			a +b		a +b					;
			0	2	; f		2

π−arccos 13 .

S= (b − a) f a +b .

102

3. СТУДЕНЧЕСКИЕ ОЛИМПИАДЫ ПО МАТЕМАТИКЕ РАЗНЫХ ВУЗОВ, МОСКОВСКИЕ ГОРОДСКИЕ ОЛИМПИАДЫ

3.1. Московская городская олимпиада

Московская городская олимпиада 2016/2017 учебного года

1. Можно ли найти в пространстве 3 пять векторов таких, что длина суммы любых трех из них меньше длины суммы оставшихся двух?

2. Вычислить предел последовательности

lim n3 (arctg(n + 2) − 2arctg(n +1) + arctg n).

n→∞

3. Вычислить ∫(2x2 + log2 (x +1) )dx.

4. Даны функции f (x) = x + x−1 и g(x) = x2 . Разрешается функции складывать друг с другом, умножать друг на друга, со вновь полученными функциями поступать также. Можно ли из функций f(x), g(x) и

констант получить за конечное число шагов функцию h(x) = x +1 ? 1. Решение. Допустим, что такие векторы существуют, т.е.

a1, a2 ,..., a5 : ai + aj + ak < al + am i ≠ j ≠ k ≠ l ≠ m.

(ai + aj + ak )2 < (al + am )2 – скалярные квадраты. Напишем эти неравенства для всех возможных наборов индексов и сложим. Получим

6a12 + 6a22 +... + 6a52 + 6(a1, a2 ) + 6(a1, a3 ) +... + 6(a4 , a5 ) <

< 4a 2		+ 4a 2		+... + 4a 2		+ 2(a , a ) + 2(a , a ) +... + 2(a , a )
	1		2		5		1	2		1	3		4	5
2a 2	+ 2a 2		+... + 2a 2		+ 4(a , a ) + 4(a , a ) +... + 4(a , a ) < 0
1		2		5		1	2		1	3		4	5

(a1 +... + a5 )2 < 0 – противоречие. Следовательно, таких векторов не существует.

2. Решение. Способ 1-й – с помощью тригонометрических формул.

103

Воспользуемся формулой arctg x −arctg y = arctg 1x+−xyy . Она легко доказывается, если взять тангенс обеих частей этого равенства:

x − y

;

tg arctg

1 + xy

tg(arctg x −arctg y)

tg(arctg x) − tg(arctg y)

x − y

1 + tg(arctg x) tg(arctg y)

1 + xy

Поэтому

lim n3 (arctg(n + 2) − 2arctg(n +1) + arctg n) =

n→∞

= lim n

−arctg

arctg

1 +(n + 2)(n +1)

n→∞

+ n(n +1)

−

= lim n3 arctg

1 + (n + 2)(n +1)

1 + n(n +1)

n→∞

1 + (n + 2)(n +1)

1 + n(n +1)

= lim n3

arctg

n(n +1) −(n + 2)(n +1)

lim n3 −2(n +1)

= −2.

(1 + (n + 2)(n +1))(1 + n(n +1))+1

n→∞

Дробь под знаком arctg является бесконечно малой функцией при n → ∞; знаменатель эквивалентен n4 при n → ∞; arctg x x при x → 0.

Способ 2-й – с помощью правила Лопиталя.

lim n3 (arctg(n + 2) − 2arctg(n +1) + arctg n) =
n→∞
= lim x3	(arctg(x + 2) − 2arctg(x +1) + arctg x) = (∞ 0) =
x→+∞
= lim	(x3 (arctg(x + 2) − 2arctg(x +1) + arctg x))′ =
x→+∞				(x−3 )′
		1	−	2	+		1
= lim		1 + (x + 2)2	−	1 + (x +1)2	+	1 + x2
		1 + (x + 2)2		1 + (x +1)2		1 + x2
								=
			−3(x−4 )					=
	x→+∞		−3(x−4 )

104

= lim

x4 ((1 + (x +1)2 )(1 + x2 )− 2

(1 + (x + 2)2 )(1 + x2 )+ (1 + (x + 2)2 )(1 + (x +1)2 ))

(

)(

)

x→+∞

−3 1 + (x + 2)

+ (x +1)

+ x

= lim

(x +1)2 (x2

+1) + (x +1)2

+ x2 − 2(x + 2)2 − 2x2 − 2(x + 2)

2 (x +1)2 + (x + 2)

2 + (x +1)2

−3x2

x→+∞

= lim

(x +1)2 (x2 +1)

+ (x

+1)2 + x2

− 2(x +

2)2 − 2x2 − 2(x +

2)2 x2

−3x

x→+∞

(x + 2)2 (x

+1)2 + (x

+ 2)2 +

(x +1)2

−3x

Воспользуемся вновь правилом Лопиталя. Предыдущий предел равен

lim

2(x

+1)(x2

+1) + (x +1)2x

+ 2(x + 2)(x +1)2 + 2(x + 2)2 (x +1)

−6x

x→+∞

4(x +1) − 2(x + 2) − 2x − 4(x + 2)2 x − 4(x +1)2 x

−6x

После раскрытия скобок и преобразований получаем ответ: –2.

3. Решение

∫(2x2 +

)dx = ∫2x2

dx + ∫

dx.

log2 (x +1)

Сделаем замену во втором интеграле:

x +1 = 2y

; dx = d (2y

);

при x = 0

y = 0

y =

log2 (x +1);

при x =1

y =1

Последний интеграл равен

y 2y2

1 = 2.

4. Решение. Нельзя, так как

h(i) = i +1

– комплексное число, а

f (i) = i +1 = i −i = 0 ; g(i) = i2

= −1 , поэтому любые арифмети-

105

ческие операции с функциями f(x), g(x) и действительными константами не приведут к функции h(x).

Московская городская олимпиада 2017/2018 года

1.Найти количество инверсий во всех подстановках на n элементах.

2.В старинной записке пиратов было написано: «Чтобы найти клад, надо идти 1 милю на NW, потом 1/2 мили на NE, потом 1/4 мили на SE, потом 1/8 мили на SW, потом 1/16 мили на NW и т.д.» Где зарыт клад?

3.Вычислить xlim→∞ x(x2 + x + x2 − x − 2x).

4. Существуют ли действительные числа x и y такие, что

exy = ex + ey , ex/ y = ex −ey ?

Московская городская олимпиада 2012 года

1. Доказать, что если для некоторой матрицы А выполняется ра-

венство A3 = 2E, то матрица А – Е невырожденная.
2.	Последовательность			(an)	задана	рекуррентно:
x = a, x	n+1	=	1 − x2 . При каких а существует lim x ?
1	n+1		n		n→∞	n

3.Найти остаток от деления числа (3 + 7 )2012 +(3 −7 )2012 на 5.

4.Действительная функция f(x) такова, что при всех x ≥1 выпол-

3.2.Олимпиады московских вузов

Олимпиада МИЭТ 2000 года

1.Доказать, что nn +1 − n+1 n + 2 lnn2n при n → ∞.

2.Существует ли функция f(x) такая, что f ( f ′(x)) = f ′( f (x)) при всех х?

3.Квадратные n×n матрицы A и В таковы, что А2 =АВ = В2 = 0. Доказать, что матрица Е + А + B невырожденная. (Здесь Е – единичная n×n матрица.)

106

4. Пусть αn – количество различных производных п-го порядка функции x12 x22 ...xn2 , а βn – коэффициент при xn в разложении (х2 + х+ 1)n.

Вычислить lim αn .

n→∞ βn

Олимпиада МИЭТ 2001 года.

			1
			π
1. Вычислить	lim			x−4	.
		tg
	x→4		x

2.Верно ли, что всякую матрицу размера n×n (п – фиксированное целое число ≥ 2) можно представить в виде суммы двух невырожденных матриц?

3.При каком а парабола y = x2 − 2x + a и гипербола x2 − y2 =1 имеют четыре точки пересечения, лежащие на окружности радиуса 5?

4.Доказать, что 2 sin х < х2 +1 при всех х.

Олимпиада МИЭТ 2002 года

Найти

все

непрерывные

функции

f(x) такие, что

f (x) + f ( y) = f (

x2 + y2 ) при всех x, y .

2. Написать уравнение эллиптического цилиндра, на поверх-

ности

которого

лежат

окружности

Г : z = 0, (x − 2)2 + y2 =1

Г2 : x

= 0, y2 + (z

− 2)2 =1.

Существуют ли

2002 различные действительные матрицы

, A2

, ..., A2002 размером 3×3 такие, что Ai Aj = Aj

при всех i, j?

4. Последовательность (хп) определена следующим образом: х0 = а,

= b, x

= 1 (x

+ x

)

при n ≥ 0. Доказать, что существует lim x

n+2

n+1

x→0

и вычислить его.

Олимпиада МИЭТ 2003 года

1.Существует ли функция f(x), дифференцируемая на всей числовой прямой и для всех х, удовлетворяющая равенству f ′( f (x) + f ′(x)) = 2x2?

2.Найти размерность пространства многочленов f(x) степени ≤ 8

таких, что f (x) = f (2 − x).

3. Доказать, что ∫tt dt ≥ 7.

107

Олимпиада МИЭТ 2004 года

1. Вычислить lim xx −1. x→1 sin πx

2. a, b, c, d – векторы единичной длины, попарно образую-

щие равные углы, такие, что a +b + c + d = 0. Найти длину вектора

[a,b] +[c, d ].

3.Решить уравнение ax = loga x при a = e−e .

4.Существует ли функция f(x), взаимно однозначно отображающая отрезок [0, 1] на себя и разрывная в каждой точке этого отрезка?

Олимпиада МИЭТ 2005 года

Вычислить lim

xx −1

→1−0 arccos2

Существуют ли в пространстве различные единичные векторы

, a

, a , a , образующие друг с другом одинаковые углы?

площадь

фигуры,

задаваемой неравенствами

2x2

Вычислить

≤ y ≤ 3 −

log2 (x +1).

Олимпиада МИЭТ 2007 года

Найти

ранг

матрицы

А =

aij

размером п×п (п ≥ 3), где

aij = i + j − 2ij.

		1		x2
						4
2.	Вычислить lim			∫	1 +t		dt.
			6
3.	x→+∞ x			1
	Можно ли множество всех натуральных чисел разбить на непе-

ресекающиеся бесконечные подмножества А1, А2, ... такие, что для каждого i сумма двух или большего числа элементов множества Ai не является простым числом?

4. Дифференцируемая функция f(х) такова, что f(а) = f(b) = 0. Доказать, что существует точка с (а; b) такая, что f ′(c) = f (c).

Олимпиада МИЭТ 2017 года

n m m8

1. Вычислить lim ∑∑ 10 .

n→∞ m=1 k =1 k

108

2.	Вычислить lim	1 −(cos x)sin x		.
			x3
	x→0
3.	Пусть A1 A2 ...A17		– правильный 17-угольник. Сколько существует
равнобедренных треугольников Ai Aj Ak ?
4. Пусть t = f(x)			– решение уравнения t7 + t5 = x. Вычислить

∫ f (x)dx.

5. Числа от 1 до 2017 расставили по окружности и начали вычеркивать каждое третье число, пока не осталось одно число. Какое это число?

Олимпиада МИЭТ 2018 года

1. При каких n существуют ненулевые векторы a1, ..., an 3 та-

кие, что [an , a1 ]= a2 , [a1, a2 ]= a3 , , [an−1, an ]= a1 ?

2. При каких а истинно утверждение x y z t: (x + y)(z + at2) <

<а?

3.Вычислить π∫/ 2 (cos2 (sin x) +sin2 (cos x))dx.

4. Сколько существует квадратных уравнений x2 − px − q = 0, где p и q – натуральные числа, таких, которые имеют положительный корень, не превосходящий 2018?

109

ЛИТЕРАТУРА

1.Садовничий В.А., Подколзин Л.С. Задачи студенческих олимпиад по математике. – М.: Наука, 1978. – 208 с.

2.Беркович Ф.Д., Федий В.С., Шлыков В.И. Задачи студенческих математических олимпиад с указаниями и решениями. – Ростов-на-

Дону: Феникс, 2008. – 172 с.

3.Левитин Е.С. Математическое образование и математика в современной цивилизации. В 6 т. – М.: Красанд, 2012. – Т. 1. – 512 с.

110

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1211 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]