Математика задачи студенческих олимпиад. Задачник

1.15. Найти все корни уравнения

Решение x – любое число, так как второй столбец определителя равен полусумме соседних столбцов.

Задачи для самостоятельного решения

1.1. Квадратные матрицы А и В одного порядка таковы, что AB = A + B . Пусть Е − единичная матрица такого же порядка, что и А

иВ. Найти произведение определителей матриц А−Е и В−Е.

1.2.Пусть квадратная матрица A – невырожденная, а матрица X удовлетворяет уравнению AX + XA = 0. Доказать, что след матрицы X равен 0.

1.3.Найти все квадратные матрицы второго порядка, удовлетворя-

11

1.7.Доказать, что если А и В – квадратные матрицы n-го порядка, то суммы всех элементов главной диагонали у матриц АВ и ВА равны.

1.8.Сколько всего миноров у матрицы размером m × n?

1.9.Дана квадратная матрица n-го порядка A = (aij ). Вычислить

1.14. Изобразить на плоскости aOb множество точек (a; b), для ко-

1.16.Доказать, что квадратная матрица второго порядка с положительными элементами имеет собственный вектор с положительными координатами.

1.17.Найти все значения m и k, при которых определитель матри-

цы A с элементами aij содержит слагаемое a35a4k a76a52a1ma24a61 со знаком «минус».

12

1.21. Доказать, что определитель кососимметрической матрицы нечетного порядка равен нулю. (Квадратная матрица называется кососимметрической, если At = –A.)

1.22. Сформулировать необходимое и достаточное условие, при выполнении которого данный элемент определителя можно менять без изменения величины определителя.

1.23. Пусть A – матрица размером 2 × 4. Найти матрицу B такую, что при умножении на нее слева матрицы A первая и третья строки матрицы A меняются местами, вторая заменяется нулями, а элементы четвертой меняют знак.

1.24.Пусть А и В – квадратные матрицы n-го порядка, E – единичная матрица того же порядка. Известно, что существует матрица, обратная к матрице C = E+ АВ. Доказать, что существует матрица, обратная к матрице D = E + ВА.

1.25.Имеются три квадратные вещественные матрицы одинаково-

го порядка A, B и C, причем матрица A обратима, а ( A − B)C = BA−1 .

det A ≤ (n −1)(n −1)! при n ≥ 3.

1.27. В квадратной матрице A столбцы являются попарно ортогональными векторами. Доказать, что абсолютная величина определителя матрицы A равна произведению длин векторов-столбцов.

13

1.28. Вычислить определитель квадратной матрицы A n-го поряд-

ка, элементы которой aij = i − j, i, j =1, 2, ..., n .

1.30. Матрица размером m × n имеет ранг r. Нужно дополнить ее до квадратной так, чтобы полученная матрица стала невырожденной. Каков наименьший размер полученной квадратной матрицы?

1.2. Аналитическая геометрия

2.1. Координаты вершин треугольника рациональны. Доказать, что координаты центра его описанной окружности также рациональны.

Решение

Пусть (a1; b1), (a2; b2) и (a3; b3) – координаты вершин треугольника. Координаты центра его описанной окружности задаются системой уравнений

Данные уравнения линейные, а значит, решение полученной системы уравнений рационально.

2.2. Точки М и К лежат на сторонах АВ и АС правильного треугольника АВС так, что AMMB = CKKA = 2 . Прямые ВК и СМ пересекают-

ся в точке Р. Найти величину угла АРМ.

Решение

A

K

Q

M

P T

14

=a(1 −β) + 13 βb, β .

3)Так как P – точка пересечения прямых CM и BK, то в этой точке должно выполняться равенство

Векторы a и b не коллинеарны, следовательно, данное равенство возможно только в случае, если все коэффициенты перед этими векторами равны 0. Значит,

15

APM = 90°.

2.3. Доказать, что сумма квадратов длин сторон произвольного выпуклого четырехугольника равна сумме квадратов его диагоналей, сложенной с учетверенным квадратом расстояния между серединами диагоналей (теорема Эйлера).

a2 +b2 + c2 + d 2 = m2 + n2 + 4 p2 .

16

Решение

pM2 n

Пусть AB = a, BC = b, CD = c, DA = d, AC = m, BD = n, M1M2 = p.

Тогда

17

Складывая почленно эти равенства, получаем

a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = n 2 + m 2 + 4 p 2 .

2.4. В треугольнике ABC известны координаты вершин: A(–1; 3; 2),

B(–3; 2; 4), C(–7; 5; 4). Найти координаты вектора KH , где H – точка пересечения высоты, проведенной из вершины С со стороной AB, а точка K лежит на биссектрисе BL и BK : KL = 4 : 5.

Решение

B H

K A

L

C

Найдем координаты векторов

AB = (−2; −1; 2); BC = (−4;3;0); AC = (−6; 2; 2).

18

Найдем координаты точки K:

Так как векторы BH и AB коллинеарны, то

x +3 = −2k,

y − 2 = −k, H (−3 − 2k; 2 − k; 4 + 2k).

z − 4 = 2k

Так как векторы CH и AB перпендикулярны, то их скалярное произведение равно 0.

CH (4 − 2k; −3 − k; 2k); (CH , AB)= −2(4 − 2k) −(−3 − k) + 4k = 0.

Найдем координаты вектора

2.5. К точке O на плоскости приложено 2n векторов единичной длины. Все векторы покрашены поочередно в красный и черный цвет. Просуммируем все вектора красного и все вектора черного цвета. Доказать, что разность двух этих сумм имеет длину не больше 2.

Решение

19

правленные вектору z и противоположно направленные вектору z . В каждой группе проекции точек Ai расположены на прямой в том же порядке, как и сами точки Ai на окружности. В каждой группе эта сумма не больше диаметра окружности, т.е. лежит в пределах от 0 до 2. Заметим, что сумма проекций равна проекции суммы. Это значит, что разность двух сумм не больше 2 – 0 = 2 и не меньше 0 – 2 = –2. Проекция вектора z на эту прямую будет совпадать с ним самим по абсолютной величине, а значит, разность этих сумм векторов черного

икрасного цвета имеет длину не больше 2.

2.6.Сумма четырех единичных векторов равна нулю. Доказать, что их можно разбить на две пары противоположных векторов.

Решение

Из данных векторов можно составить выпуклый четырехугольник. Длины всех сторон этого четырехугольника равны 1, поэтому он – ромб; пары его противоположных сторон дают требуемое разбиение.

2.7. На окружности радиусом 1 с центром O дано 2n + 1 точек A1, A2 , ..., A2n+1 , лежащих по одну сторону от некоторого диаметра.

Доказать, что OA1 +OA3 +... +OA2n+1 ≥1.

Решение

Применим метод математической индукции. Для n = 0 утверждение, очевидно, верно. Допустим, что утверждение доказано для 2n + 1 векторов. Рассмотрим в системе из 2n + 3 векторов два крайних вектора (т.е. два вектора, угол между которыми максимален). Для опре-