Математика задачи студенческих олимпиад. Задачник

4.14. Пусть функция f(x) определена на промежутке (a; b) и удовлетворяет следующим условиям:

Доказать, что b − a ≥ π . Привести пример, когда b − a = π.

Решение

Рассмотрим функцию g(x) = arctg f (x) + x .

Функция g(x) определена и непрерывна на промежутке (a; b) и

резке [a; b]. Так как по условию существует непрерывная произво-

ренцируема на интервале (a; b). Найдем производную функции g(x):

воряет условиям задачи при a = 0; b = π, причем b – a = π.

51

4.15. Пусть f(x) – многочлен степени n с действительными коэффициентами, имеющий n действительных корней (не обязательно различных). Доказать, что для любого действительного числа c выполня-

ется неравенство f (c) f ′′(c) ≤ ( f ′(c))2 .

Решение

Пусть многочлен имеет корни x1, x2 , ..., xk кратности α1, α2 , ..., αk со-

ответственно, где xi R, αi N, i =1, 2,..., k и α1 + α2 +... + αk = n . Тогда

f (x) = A(x − x1 )α1 (x − x2 )α2 ... (x − xk )αk .

Рассмотрим 2 случая.

1) c = xi , i =1, 2, ..., k. Тогда f(c) = 0, а значит, f (c) f ′′(c) = 0 ≤ ( f ′(c))2. 2) c ≠ xi , i =1, 2, ..., k . Тогда

откуда

Продифференцировав обе части последнего равенства по x, получим

что и требовалось доказать.

Задачи для самостоятельного решения

4.1. Составить уравнение касательной к графику функции

y = (6x + 7)3 −9x + 4 , если известно, что на этой касательной нет ни одной точки с равными координатами.

52

ственно равна константе на интервале [1; + ∞) .

4.3. Доказать, что производная четной функции нечетна, а произ-

4.5. Найти непрерывные на всей оси функции, удовлетворяющие условию f (x) = f (ax), a ≠ 0 .

4.6. Найти непрерывную в точке x = 0 функцию f(x), удовлетворяющую равенству f (x) − 12 f ( 2x) = x2 .

4.7. Найти f(x), если f (x) + f (x −1) = x и f ′(x) = f ′(x −1) .

4.8. Найти многочлен Р(x) и число A если известно, что

(P(x)ex2 )′ = (x6 + A)ex2 .

4.9.Вторая производная некоторой функции равна разности ее первой производной и самой функции. Найти отношение этой функции и ее 1998-й производной.

4.11. Вычислить (x1983 ln x)(1984) .

4.12. Найти f ′(0) , если f (x) = (6x −3) f (x2 ) +12 .

4.13. Пусть функция f(x) определена и дифференцируема на отрез-

ке [0; 1]. Доказать, что уравнение (x − x2 )f ′(x)= (2x −1) f (x) имеет хотя бы один корень.

4.14. Функция f(x) непрерывна на [0; 1] и дифференцируема на (0; 1). Доказать, что если f(0) = f(1) = 0, то f ′(x)= f (x)в некоторой точке x (0; 1).

4.15. Функция f(x) непрерывна на [a; b] и дифференцируема на (a; b). Доказать, что если f(a) = f(b) = 0, то f ′(c)= − f (c)в некоторой точке c (a; b).

4.16. Показать, что для любой дважды дифференцируемой на всей оси функции f(x) и любой точки x найдется такое число c (x; x + 2),

что f (x) − 2 f (x +1) + f (x + 2) = f ′′(x) .

53

4.18. Найти все функции f(x): [0; 1] → R, удовлетворяющие усло-

действительные, простые и лежат на интервале (–1; 1).

4.22. Функция f(x): [0; 1] → [0; 1] непрерывна на [0; 1] и дифференцируема на (0; 1), причем f(0) = 0, f(1) = 1. Доказать, что найдутся

4.25. Доказать, что если функция f(x) дифференцируема, но не ограничена на интервале (a; b), то ее производная также не ограничена на интервале (a; b).

54

4.26. Найти все функции f(x): R → R, удовлетворяющие условию

f (x + y) − f (x − y) = 2 f ( y) cos x, x, y R .

4.27. Выяснить, существует ли действительное число x > 0 такое, что xe > ex .

Доказать, что на интервале (a; b) найдется такое действительное число с, что f n+1 (c) = f (c) .

4.29. Показать, что касательная к графику функции xy = a2 2 образует с осями координат треугольник постоянной площади.

4.30. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [0; 1] и f(0) = f(1). Доказать, что существует хорда графика y = f(x) длины 1/5, параллельная оси абсцисс.

π/ 2

=∫ (cos ((a −1)x)cos x −sin ((a −1)x)sin x)(cos x)a−2 dx =

0

π/ 2

=∫ cos ((a −1)x)(cos x)a−1 −sin ((a −1)x)sin x(cos x)a−2 dx =

0

Второй интеграл проинтегрируем по частям. Тогда

55

f′′(x) + f (x) = −xg(x) f ′(x) , где g(x) ≥ 0 .

Доказать, что функция f(x) ограничена.

Решение

Умножим данное уравнение на 2 f ′(x) и проинтегрируем. Тогда

2 f ′(x) f ′′(x) + 2 f ′(x) f (x) = −2xg(x)( f ′(x))2 ;

56

Следовательно, функция f(x) ограничена.

5.4. Найти все непрерывно-дифференцируемые функции на множестве всех действительных чисел такие, что для всех x :

x

( f (x))2 = ∫(( f ′(t))2 +( f (t))2 )dt + 2010.

0

Решение

Данное условие должно быть выполнено при всех x, а значит, и при x = 0. Тогда

0

( f (0))2 = ∫(( f ′(t))2 +( f (t))2 )dt + 2010 ( f (0))2 = 2010.

0

Продифференцируем заданное в условии тождество:

2 f (x) f ′(x) = ( f ′(x))2 +( f (x))2 ( f ′(x))2 − 2 f (x) f ′(x) +( f (x))2 = 0

( f ′(x) − f (x))2 = 0 f ′(x) = f (x) df (x) = f (x)dx ln f (x) = x + c1 f (x) = cex .

57

Так как f (0) = ±2010 , то f (x) = ±2010ex .

5.5. Найти все непрерывно-дифференцируемые на отрезке [0; π/2] функции y(x), удовлетворяющие условиям y(0) = 0 и

ππ

Решение

ππ

=2 y(0) + ∫2 2 y′(x) cos xdx = ∫2 2 y′(x) cos xdx.

Так как функция непрерывна g(x) = y′(x) −cos x, то y′(x) −cos x = 0, а значит, y(x) = sin x + c . С учетом условия y(0) = 0 получаем, что y(x) = sin x .

58

5.6. Вычислить ∫1 log2 (arcsin x + 8 x + arcsin2 x )dx .

−1

Решение

Разложим интеграл на сумму двух интегралов:

∫1 log2 (arcsin x + 8 x + arcsin2 x )dx = ∫1 log2 (arcsin x + 8 x + arcsin2 x )dx +

+∫0 log2 (arcsin x + 8 x + arcsin2 x )dx.

−1

Во втором интеграле сделаем замену x = –t. Тогда