Математика задачи студенческих олимпиад. Задачник

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Маклорена функции (1 + x)−1−y равен

C(−y −1) = (−1 − y)(−1 − y −1)…(−y −1 − 2018 +1)

(1 + y)( y + 2)…( y + 2018)

(1 + y)( y + 2)…( y + 2018)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 127 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

	π
5.8. Вычислить ∫(sin kx − sin(k +1)x )dx, k .
Решение	0

График функции f (x) = sin kx на отрезке [0; π] состоит из k одинаковых «шапочек», которые получаются из графика функции y = sin x на том же отрезке путем сжатия к оси ординат в k раз. При этом площадь под графиком также уменьшается в k раз. Как следствие, площадь под k «шапочками» одинакова при любом k. Следовательно, интеграл равен 0.

5.9. Найти функцию f(x), удовлетворяющую уравнению

f (x) = ∫x(1 + xy) f ( y)dy + x .

Решение

Правую часть заданного уравнения можно представить как сумму

f (x) = ∫xf ( y)dy + ∫x2 yf ( y)dy + x = x∫ f ( y)dy + x2 ∫yf ( y)dy + x.

Коэффициенты при x и x2 – некоторые константы, а значит, искомая функция имеет следующий вид:

f (x) = ax2 +bx + x.

Тогда

b = ∫ f ( y)dy

a = ∫yf ( y)dy

= ∫

(ay2 +by + y

y(ay2 +by +

)dy = ay3 +3

y )dy = ay4

by		2		2					1		a			b			2
						y	3			=		+			+			;

	2	+		3					0		3			2			3

	by3				2					1		a			b			2
+			+				y	5			=		+			+			.

		3			5					0		4			3			5

Получена система линейных уравнений для параметров a и b. Решая ее, находим, что a = 1,6; b = 2,4. Следовательно, искомая функция f (x) =1,6x2 + 2, 4x + x .

5.10. График многочлена четвертой степени имеет две точки перегиба. Прямая, проходящая через эти точки, отсекает от графика три луночки. Доказать, что площадь средней из них равна сумме площадей крайних луночек.

Решение

Сдвинем ось OY на середину между точками перегиба, а масштаб на осях выберем так, что точки перегиба имеют координаты 1, –1, а старший коэффициент заданного многочлена P(x) равен 1:

P(x) = x4 + a3 x3 + a2 x2 + a1x + a0 .

Пусть y = ax + b – прямая, проходящая через точки перегиба. Площадь между графиком функции P(x) и прямой можно найти как интеграл от многочлена

Q(x) = P(x) – (ax + b).

Заметим, что вторая производная от функции Q(x) совпадает со второй производной от P(x) и равна

Q′′(x) = (x4 + a3 x3 + a2 x2 + a1x + a0 )′′ =12x2 + 6a3 x + 2a2 .

Так как точки с абсциссами x1,2					= ±1 – точки перегиба, то
		′′		′′	′′	′′
		P (1) = P (−1) = 0 Q (1) = Q (−1) = 0 .
Тогда	12	+ 6a	+ 2a	= 0,	a = 0,
Тогда		3	2		3
	12 −6a3 + 2a2 = 0				a2 = −6.

Значит, Q′′(x) =12x2 −12 . Интегрируя это равенство два раза и используя то, что Q(1) = Q( –1) = 0, получаем, что Q(x) = x4 – 6x2 + 5.

Найдем еще две точки пересечения многочлена P(x) с прямой:

					2	= 5,
x4	−6x2	+5	= 0						5,
				x			x = ±
				x2		=1		x = ±1.

В силу четности функции Q(x) условие равенства площадей можно переписать в виде

∫Q(x)dx = − ∫Q(x)dx,

что проверяется вычислением:

1		x	5		x	3			1		16

∫(x4 −6x2	+5)dx =			−6			+5x	10 =		− 2 +5 =		;

0		5		3					5		5

	5							x	5			x	3
− ∫(x4 −6x2 +5)dx
										+ 6					5x				5 =
					=	−								−				1
					=	−								−				1
1						5					3
1						5					3
= − 25		5	+ 2 5		−5				+ 1		− 2 +5 =					16 .
= − 25		5	+ 2 5	5	−5		5		+ 1		− 2 +5 =					16 .
5										5							5
															∞			ln x
5.11. Доказать, что несобственный интеграл															∫						dx, a > 0 ,
5.11. Доказать, что несобственный интеграл															∫	a		2	+ x	2	dx, a > 0 ,
сходится, и найти его значение.															0	a			+ x
															0

Решение

Исследуем интеграл на сходимость. Представим исходный интеграл в виде суммы двух интегралов:

∞

ln x

∞

ln x

∫

dx = ∫

dx + ∫

dx.

+ x

Для сходимости исходного интеграла необходимо, чтобы сходились оба полученных интеграла.

1ln x

1)∫0 a2 + x2 dx .

Заметим,

что

ln x

при x → 0 . Интегрируя по частям,

вы-

a2 + x2

числяем

ln xdx = lim

−

xdx

−bln b − x

= lim

−

ln b

−1 +b

∫

xln x

∫

= lim

(

b )

b→0

1 / b

= lim

1 / b

1 +b

= lim (b −1 +b)= −1 .

−

−1 / b

b→0

Получили, что несобственный интеграл ∫ln xdx сходится, следова-

ln x

тельно, интеграл ∫

dx сходится по признаку сравнения.

+ x

∞ ln x

2)∫1 a2 + x2 dx .

Заметим,

что

ln x

< ln x

при x → +∞ .

Очевидно,

2 + x2

∞

что несобственный интеграл

∫

сходится,

следовательно, инте-

∞

ln x

грал ∫

dx сходится по признаку сравнения.

+ x

∞

ln x

Таким образом, доказано,

что ∫

dx,

a > 0 , сходится. Най-

+ x

дем его значение.

∞

ln x

x = at,

∞

a ln(at)

∞ ln a +ln t

∫

dx =

= ∫

dt =

∫

dt =

+ x

dx = adt

+ (at)

∞

ln a

∞

ln t

dt =lim ln a

∫

1 +t

b→∞

ln t

∞ ln t

ln a

ln a π

πln a

∫

dt +

∫

= lim

arctg t

b→∞

a 4

1 1 +t

так как

∞

ln t

= s

ln(1 / s)

ln s−1

∫

dt =

= −∫

=∫

ds =

1 +

(1 / s)

dt = − s2

ln s

ln t

= −∫

ds = − ∫

dt.

ln t

∞

ln t

А значит,

∫

+ ∫

dt = 0 .

1 +t

∞

ln x

πln a , a > 0 .

Итак,

∫

+ x

5.12. Существует ли непрерывно дифференцируемая функция на множестве всех действительных чисел такая, что для всех x вы-

полняются неравенства	f (x)	< 2,	′

			f (x) f (x) ≥ sin x .

Решение

Так как

′

∫2 f (t)df (t) = f

(t) + c , то

∫2 f (t) f (t)dt =

(x) − f

(0) =

′

2(1 −cos x).

∫2 f (t) f (t)dt ≥ 2∫sin tdt =

Получили, что

f 2 (x) ≥ 2(1 −cos x) .

Например,

f 2 (π) ≥ 4

f (π)

≥ 2 . Следовательно, функции,

удов-

летворяющей условию задачи, не существует.

5.13. Пусть С(α)

– коэффициент перед

x2018

в разложе-

нии

по

формуле Маклорена

функции

(1 + x)α .

Вычислить

∫C(−y −1)

+... +

dy .

y +1

y + 2

y + 2018

Решение

Разложение по формуле Маклорена функции (1 + x)α

имеет следу-

ющий вид:

+ x)

=1 + αx

α(α −1)x2

+ +

α(α −1) (α − n +1)xn

+ o(x

Тогда при α = –y – 1 получим

(1 + x)

−1−y

=1 + (−1 − y)x +

(−1 − y)(−1 − y −1)x2

+…+

(−1 − y)(−1 − y −1)…(−y −1 − n +1)xn

+ o(x

Следовательно, коэффициент перед x2018 в разложении по формуле

Тогда

1	1		1
∫C(−y −1)		+... +
				dy =
	y +1		y + 2018
0

f′( y) = ((1 + y)( y + 2)…( y + 2018))′ =

=(1 + y)( y + 2)…( y + 2018)(ln ((1 + y)( y + 2)…( y + 2018)))′ =

=(1 + y)( y + 2)…( y + 2018)(ln(1 + y) + ln( y + 2) +... + ln( y + 2018))′ =

= (1 + y)( y + 2)…( y + 2018)

+... +

y +1

y + 2

y + 2018

Тогда

+... +

dy =

∫(1 + y)( y + 2)…( y + 2018)

2018!

y +1

y + 2018

(1 + y)( y + 2)…( y + 2018)

2 3 … 2019

−

1 2

3 … 2018

2018!

= 2019 −1 = 2018.

5.14. Зная, что ∫ln(1 + x)dx

π2

, вычислить ∫ln(1 − x3 )dx .

Решение

Заметим, что

1 ln(1

− xk )dx

y = xk ,

−1dx

1 ln(1 − y)dx

ln(1 − y) yk

Ik =

∫

x = k

∫

dx =

1 yk

−1

Тогда

ln(1 − x3 )dx

ln(1 − x)dx

ln(1 − y)dy

− I

∫

−

∫

−

∫

ln(1 − y)dy

= − 3

∫

= − 3

I1, I3 = 3 I1

;

ln(1 − x2 )dx

ln(1 − x)dx

ln(1 − y)dy

− I

∫

−

∫

−

∫

ln(1 − y)dy

= −

∫

= − 2 I1.

С другой стороны,

ln(1 − x2 )dx

1 ln(1 − x)dx

1 ln(1 − x2 )

−ln(1 − x)dx

− I

∫

−

∫

= ∫1

ln ((1 − x2 ) / (1 − x))dx

= ∫1

ln (1 + x)dx

π2

= −

I ; I = −

π2

Следовательно:

ln(1 − x3 )dx

π2

∫

3 I1 = −

18 .

∞ xm arctg x

5.15. Доказать, что несобственный интеграл ∫

dx, m ,

2(m+1)

сходится, и найти его значение.

Решение

Исследуем интеграл на сходимость. Так как

xm arctg x

x2(m+1) +1

2 x

2(m+1) +1

2 x2(m+1)

2 xm+2

∞

∞ xm arctg x

∫

сходится,

то интеграл

∫

dx, m ,

сходится по

m+2

2(m+1)

признаку сравнения.

Представим исходный интеграл в виде суммы двух интегралов, а

затем во втором интеграле сделаем замену.

∞ xm arctg x

xm arctg x

∞ xm arctg x

x = t

∫

dx = ∫

dx + ∫

dx =

2(m+1)

dx = −t2

1 tm arctg 1

arctg x

arctg

arctg x

= ∫

dx − ∫

= ∫

dx + ∫

dt =

2(m+1)

1 +t

2(m+1)

1 t

−arctg t

arctg x

arctg

−arctg t

= ∫

dx +

∫

dt =

2(m+1)

xm arctg x

tm arctg t

xm arctg x

= ∫

dx +

∫

− ∫

=∫

dx +

2(m+1)

1 +t

2(m+1)

1 +t

2(m+1)

π 1

xm arctg x

π1

dt(m+1)

∫

dt − ∫

dx =

∫

dt =

1 +t

2(m+1)

1 + x

2(m+1)

1 +t

2(m+1)

2(m +1)

1 +t

2(m+1)

arctg t

π2

2(m +1)

8(m +1)

Задачи для самостоятельного решения

5.1. Пусть t = g(x) – решение уравнения t3 +t = x

при x ≥ 0 . Найти

∫g(x)dx .

5.2.

Пусть

функция

f(x)

непрерывна

на

[0; 1].

Доказать, что

∫xf (sin x)dx =

∫ f (sin x)dx

5.3. Пусть функция f(x) непрерывна на [0; 1]. Доказать, что

π	π/ 2	π	xsin x
∫xf (sin x)dx = π ∫ f (sin x)dx		и вычислить ∫			dx .
			2	x
0	0	0	1 + cos

1dx

5.4.Вычислить интеграл −∫1 (ex +1)(x2 +1) .

5.5.Доказать, что существует многочлен P(x) такой, что для любо-

	n									n
го натурального числа n	∫ P(x)dx = n4								и найти ∑k4 .
	n−1									k =1
					x	200
5.6. Вычислить интеграл ∫					x	+1				dx .
5.6. Вычислить интеграл ∫						200				dx .
				x(x			−1)
			1	(x −1)e				x
5.7. Вычислить интеграл ∫				(x −1)e				2dx .
			0		(x +1)
			0
5.8. Вычислить интеграл ∫					(x −1)2					dx .
5.8. Вычислить интеграл ∫				x	2	+ e	x	+	1	dx .
				x		+ e		+	1
x		2		2
	∫et		dt
5.9. Вычислить lim	0			.
x→∞	x
	∫e2t2 dt
	0

5.10. Существует ли непрерывная на (1; +∞) функция f(t) такая, что

∫f (t)dt =1 для любого x >1.

∞

5.11.

Функция f(x) такова, что ∫(a( f (x))

+ ( f

′

)dx =

1 . Найди-

(x))

те максимально возможное значение f(0) в зависимости от a (a > 0).

5.12.

Найтипределпоследовательности yn

+... +

5.13. Найти предел последовательности yn =

5.14.

Найти предел последовательности yn

+ en

+... + en

5.15.Найти предел последовательности yn = 1n n(n +1)(n + 2)...(2n).

5.16.Даны непрерывные функции f(x), g(x): [0; 1] → [0; 1],

причем	функция f(x) строго возрастающая. Доказать, что
1	1

∫ f (g(x))dx ≤ ∫( f (x) + g(x))dx .

5.17. Вычислить интеграл ∫

cos

x +sin

5.18. Функция f(x) такова, что

f (1) =1, f

′

(x) = x2 + f 2 (x) , x ≥1 . До-

казать, что существует lim f (x) и что этот предел не больше, чем 1 +

π .

x→∞

∞

5.19.Доказать, что несобственный интеграл ∫

−

dx,

1 + x

где

α, β , α, β > 0, сходится и найти его значение.

sin(3 − x)dx

5.20. Вычислить интеграл ∫

sin(3 − x) + sin(x +1)

5.21. Доказать, что несобственный интеграл ∫

dx сходится

1 −cos x

и найти его значение.

5.22. Пусть тело ограничено плоскостями y = 1, y = e и поверхностью, которая получается вращением графика функции y = ex , x [0;1] , вокруг прямой x = m, лежащей в плоскости XOY. При

каком значении m объем этого тела принимает наименьшее значение? Найти этот объем.

	+∞	1				1
5.23. Доказать, что несобственный интеграл ∫				1	−		arctg x dx
5.23. Доказать, что несобственный интеграл ∫		x	2	1	−	x	arctg x dx
сходится и найти его значение.	0	x				x
	0

5.24.Функция f(x) не возрастает на отрезке [0;1].Доказать, что для

α1

любого числа α [0;1] выполняется неравенство ∫ f (x)dx ≥ α∫ f (x)dx .

0 0

5.25. Найти четную функцию f (x), определенную на отрезке [–1; 1] такую, что f (0) = 0, f (1) =1, f ′′(x) ≤ 2 .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 127 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]