Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика задачи студенческих олимпиад. Задачник

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 129 10 11 12 > Следующая >>>

	1	n	Cn2	Cn3 ...
	0	1	n	Cn2 ...

	0	0	1	n ...
1.6. A =
	0	0	0	1 ...

... ... ... ... ...
	0	0	0	0 ...

Cnn−1 Cnn−2 .

Cnn−3

... 1

1.8. Cn1 Cm1 +Cn2 Cm2				+... +Cnn−1 Cmn−1 +Cnn Cmn (n ≤ m) . 1.9. 0.
1.10.	a	b	,	где a2 +bc =1 . 1.11.Указание. Вычесть из вто-
1.10.	A =		,	где a2 +bc =1 . 1.11.Указание. Вычесть из вто-
	c	−a

рой и третьей строк первую. 1.12. Указание. Применить метод матема-

тической индукции.	cos nϕ	−sin nϕ	. 1.13. Указание. Выделить
тической индукции.	A =		. 1.13. Указание. Выделить
	sin nϕ	cos nϕ

полный квадрат в левой части и перейти к определителям. 1.14. Ука-

зание. Выяснить, когда определитель системы равен нулю. 1.15. 0. 1.16. Указание. Показать, что собственные числа рассматриваемой матрицы действительны и найти собственные векторы. 1.17. m = 7, k = 3.

1.18. 1 − p3 +3 pq −3q . Указание. Применить теорему Виета. 1.19. 0. Указание. Применить теорему Виета α + β + γ = 0. 1.20. 6465 . Указа-

ние. Применить теорему Виета. 1.21. Указание. Умножить все строки определителя на –1. 1.22. Минор данного элемента равен нулю.

	0		1	0
		0	0	0
1.23.		0	0	0	. 1.28. (−1)n+1 ab(an−2	+ an−3b + an−4b2 +... +bn−2 ) .
		1	0	0
		0	0
		0	0	−1

1.29. (−1)n+1 (n −1)2n−2 . 1.30. n + m – r.
2.3. (a,b )+(b,c )+(c, a)= −6 . 2.4.	1		. Указание. Выразить век-
		19
	2

тор MN через векторы AS и BC . 2.5. p =1. 2.6. α = 1. 2.8. 2π (сум-

ма внешних углов треугольника). 2.9. 0; 2; 4; 22; 25 . 2.10. a + b.

2.11. 315 . 2.12. 3x2 − 2xy +3y2 + 4x − 4 y = 0 .

2.13.	x2 − 4xy + 4 y2 − 24x +8 y + 24 = 0 .
2.14.	24x2 − 2xy + 24 y2 −136x −186 y +1 = 0 .
2.16.	x + 7 y −6 = 0,	x − y −6 = 0, 7x + y −10 = 0 .
2.17.	4x + 7 y −1 = 0;	y −3 = 0; 4x +3y −5 = 0 . 2.18. Четверть эл-

липса. 2.19. a) эллиптический параболоид; б) гиперболический параболоид. 2.20. Тень ограничена параболой. 2.21. Однополостный

гиперболоид. 2.22. 100 ;												75 . 2.23. 169. 2.24. α ≠								10	. 2.25. 1. 2.28. По
параболе.									3			2								10	. 2.25. 1. 2.28. По
																0,		ab ≠ 0,
																		a ≠ 0, b =	0,
3.1. 2 / π. 3.2. 0. 3.3. 0. 3.4.														an ,				a ≠ 0, b =	0,	. 3.5. 4034. 3.6. Ука-
3.1. 2 / π. 3.2. 0. 3.3. 0. 3.4.																				. 3.5. 4034. 3.6. Ука-
														1 / b, a = 0, b ≠					0,
															∞,			a = b = 0.
															∞,			a = b = 0.
																							1			,			x			<1;
																							1
																								2
																								2
																								2
зание. Воспользоваться критерием Коши. 3.7.																								2		,			x		=1;
зание. Воспользоваться критерием Коши. 3.7.																			a) f (x) =					3		,			x		=1;
																								3
																								0,				x		>1.
																								0,				x		>1.



		0,			x		<1;								1,			0 < x ≤1;					x, x < 0;
		0,			x		<1;																x, x < 0;
		1																							1
б) f (x) =		1	,		x																				1		, x = 0;
б) f (x) =		2	,		x			=1; в) f (x) = x, 1 < x < 2;											г) f (x) =						2		, x = 0;
		2														2	/ 2, x ≥ 2.								2
		1,			x	>1.								x			/ 2, x ≥ 2.								1,			x > 0.


	a,			x ≤ a;
д) f (x) =	a,			x ≤ a;					.	3.8.		1 +	13 . 3.9. 2.
д) f (x) =				x > a.					.	3.8.		1 +	13 . 3.9. 2.
	x,			x > a.								2
										5											an
3.10.	4 5.			3.11.						5	.	3.12.			Вычислить				lim		an	.	0.				3.13					3.
										6									n→∞ n!
3.14. а. 3.15. 0,5. 3.16. 2/3. 3.17. 1. 3.18.																			0. 3.19.				0.		3.20.								5	.

b − a

1 − 1 − 4a

3.21. 0. 3.22.

p (1;e],

3.23.

3.24.

p (e;∞).

3.25.

lim x

= lim y

. 3.26. 1. 3.27.

а)

−1,

б)

не существует.

n→∞

3.28. a + (a −b)(e−1 −1) . 3.29. e. 3.30. 3π.

4.1.

y = x + 6269 .

4.3.

Не

верны

(например,

f (x) =1 +sin x ).

162

= 8 x2

1 x + 1 .

4.5.

f(x)

const.

4.6.

4.7.

y =

4.8. P(x) = 1 x5

−

5 x3 +15 x, A =

15 . 4.9. 1. 4.10. 1. 4.11. y(1984)

= 1983! .

4.12.

′

4.16.

Указание.

Применить

теорему

Лагранжа

(0) =18 .

к функции

g(x) = f (x +1) − f (x)

на

отрезке [x; x+1].

4.17. Экс-

тремумов

не

имеет,

уравнение f(x)

имеет

1986

решений.

4.18. f (x)

1 − x2 −

4.19. {(x; y) / y > 0,5 +1,53 0,5x2 ;

< ∞}.

7 x .

4.24. 2n – 2. 4.26.

f (x) = asin x,

a R . 4.27. Не существует. 4.28. Ука-

зание. Применить теорему Ролля к функции

g(x) = e−x ∑ f (k ) (x)

на

отрезке [a; b].

k =0

π2

5.1.

5.2. Указание. Сделать замену x = π− y . 5.3.

. Указание.

Сделать замену x = π− y . 5.4.

. Указание. Сделать замену x = –y.

5.5.

P(x) = x4 + 2x3 + x2 −

; ∑k4 = ∫P(x)dx = n

+ n

−

k =1

5.6.

x200

−1

−ln

+ c

.5.7.

−1 .5.8. x −ln(x2 + ex +1) + c .5.9.0.

100

5.10.

Да,

например,

f (x) =

5.11.

f (0) ≤

ln 2 xln x

4 a

∫ln xdx

5.12.

lim y

= 2 .

5.13.

lim y

= e0

= e−1

(до

вычисления

∫

n→∞

предела необходимо прологарифмировать). 5.14. lim y

∫

exdx = e −1.

n→∞

∫ln(1+x)dx

5.15.

lim yn = e0

= 4

(до вычисления предела необходимо про-

n→∞

логарифмировать).

5.17.

arctg(sin x −cos x) +

+ c.

5.19. 0. 5.20. 1. 5.21. 4πln2. 5.22. m =

,V =

(

−3e +1

. 5.23. π.

e −1

5.25.

)

f (x) = x2 . 5.27. Указание. Применить формулу Тейлора 1-го по-

рядка с остаточным членом в форме Лагранжа. 5.28. π4 . 5.29. f (x) ≡ 0.

5.30. ln(ex f (x) +1) + c .

6.1. f (x; y) =	1	2	).6.2.Да,например,f(x;y)=(x2	–1)4 –2(x2 –1)2 +
6.1. f (x; y) =	2 (xy − y		).6.2.Да,например,f(x;y)=(x2	–1)4 –2(x2 –1)2 +
				9		3	.
				9		3
+ y2. 6.3. Не существует. 6.4. 0. 6.5. 0. 6.6. Непрерывна. 6.7. V = 2					a
					a
6.8. Указание.			1,	x ≠ 0, y ≠ 0;
6.8. Указание.	Рассмотреть функцию f (x; y) =			x = 0 или y = 0.
			0,	x = 0 или y = 0.
6.9. Дифференцируема в 2 / {(x;0) / x } (πk; 0),				k .

2. СТУДЕНЧЕСКИЕ ОЛИМПИАДЫ ПО МАТЕМАТИКЕ В НИТУ «МИСиС»

2.1. Олимпиада 2014/2015 учебного года

Вариант 1

				1
		sin x
1.	Вычислить предел lim	sin x			tg2 x		.
1.	Вычислить предел lim		x				.
	x→0		x
	1
2.	Вычислить интеграл ∫arctg				x	dx .
	0									2		y 2
								x		2		y 2
3.	Написать уравнения касательных к кривой										+		=1, па-
3.	Написать уравнения касательных к кривой								4		+	3	=1, па-
									4			3

раллельных прямой x + y = 1. Назвать кривую и сделать рисунок.

4.Пусть А – матрица порядка n × n такая, что A2 = A, Е – единичная матрица. Доказать, что определитель матрицы Е – А равен 0 или 1.

5.Вычислить f ′(2015), если f (x)= x(x −1)(x − 2) (x − 2015).

6.Функция f(x) дифференцируема на отрезке [2; 3] и f(3) – f(2) = 5. Доказать, что существует число c (2; 3) такое, что f ′(c) = 2c.

Вариант 2

tg x

Вычислить предел lim

sin2 x

x→0

1,25

)dx .

Вычислить интеграл ∫ ln (x +

x2 −1

y 2

Написать уравнения касательных к кривой

=1, па-

раллельных прямой y – x = 1.

Назвать кривую и сделать рисунок.

4.Пусть А – матрица порядка n × n такая, что A2 = A, Е – единичная матрица. Доказать, что определитель матрицы 2А – Е равен 1 или –1.

5.Вычислить f ′(0), если f (x)= (2x + 7) f (x2015 )+ 6 .

6.Функция f (x) дифференцируема на отрезке [1; 2] и f (2)− f (1)= 73. Доказать, что существует число c (1; 2) такое, что f ′(c)= c2 .

2.2. Олимпиада 2015/2016 учебного года

Вариант 1

1. Найти предел функции

lim

sin

x +3

−sin

x→+∞ cos x +3 + cos

Доказать,

что матричное уравнение X2 +

4X + В = 0, где

−1

−8

−6

, не имеет решений среди матриц с действительны-

B =

ми элементами.

3. Найти f ′(0), если f (x) = (3x + 2) f (x2016 )+ 2 .

π 2

x +sin2 x

4. Вычислить интеграл ∫

dx .

1 + cos x

5. Функция f(x) непрерывна на [0; 2] и дифференцируема на (0; 2). Доказать, что если f(0) = f(2) = 0, то f ′(c)= − f (c) в некоторой точке c (0; 2).

					Вариант 2
					lim cos			−cos			.
1. Найти предел функции					lim cos	x +5		−cos		x	.
2.					x→+∞ sin	x +5	+sin		x
2.		Доказать, что матричное уравнение X2 +								2X + A = 0, где
3		7	4
	0	0	8
A =	0	0	8	, не имеет решений среди матриц с действительными
	0	0	0
	0	0	0
элементами.
3. Найти f′(0), если f (x) = (2x −3) f (x2 )+ 2016 .
				π 2	x + cos2 x
4. Вычислить интеграл ∫					x + cos2 x	dx .
4. Вычислить интеграл ∫					1 + cos x	dx .
				0	1 + cos x
				0

5. Функция f(x) непрерывна на [0; 1] и дифференцируема на (0; 1). Доказать, что если f(0) = 0 и f(1) = 0, то f ′(c)= f (c) в некоторой точ-

ке c (0; 1).

2.3. Олимпиада 2016/2017 учебного года

			Вариант 1
			π
			cos	cos x
1.	Вычислить предел lim		2		.
		x→0	x tg(tg x)
2.	Построить график функции f(x) = lim					x2n +1	.
2.	Построить график функции f(x) = lim						.
				n→∞ x2n −1
3.	cos ϕ	−sin ϕ 2017
3.	Вычислить		.
	sin ϕ	cos ϕ

4.Две вершины треугольника зафиксированы в точках A(–1; 0) и B(1; 0), а третья (точка C) движется по параболе y = x2 −6x +15 . Написать уравнение кривой, которую описывает центр тяжести треугольника.

5.Пусть f(x), x [0, 1] , – заданная дифференцируемая функция.

Доказать, что уравнение (x − x2 )f ′(x)= (2x −1) f (x) имеет хотя бы один корень.

= π.

Доказать, что ∫

+1)(x

+1)

−1

Вариант 2

Вычислить предел

lim

xsin(sin x)

x→0

cos

cos x

Построить график функции f(x) = lim

x2n +1

n→∞ x2n −1

3.Вычислить 0 1 2016 .

−1 0

4.Две вершины треугольника зафиксированы в точках A(–4; 0) и B(4; 0), а третья (точка C) движется по параболе y = x2 +2x −6 . Написать уравнение кривой, которую описывает центр тяжести треугольника.

5.Для многочлена n-й степени Р(x) известно, что

P(a)≥ 0; P′(a)≥ 0; P′′(a)≥ 0, ... , P(n) ≥ 0.

Доказать, что корни уравнения Р(x) = 0 не превосходят а. 6. Пусть функция f(x) непрерывна на [0; 1]. Доказать, что

π		π
∫xf (sin x)dx =	π ∫ f (sin x)dx.
0	2	0

2.4. Математическая викторина

На математической олимпиаде 2015/2016 учебного года студентам помимо задач было предложено ответить на несколько забавных вопросов, касающихся либо истории математики, либо вопросов о связи математики с литературой, искусством и прочее. На каждый вопрос отводилось 40...60 с. Приводим эти вопросы (см. [3]).

Вопрос 1. Система образования, заложенная Пифагором, просуществовала почти 2000 лет. Она состояла из четырех разделов: арифметика, геометрия, астрономия и ... Назовите 4-й раздел.

Вопрос 2. Пифагорейцы уже знали 3 вида пропорций:

1)а = (b + с)/2 – арифметическая;

2)a = bc – геометрическая;

3)а = 2bс/(b + с).

Как называется третья пропорция? Почему?

Вопрос 3. По мнению английского математика Джемса Джозефа Сильвестра (1814 – 1897): «Математика – это музыка разума». Вопрос: А что же, по мнению Сильвестра, музыка?

Вопрос 4. Многие отношения, полученные в математике, используются в живописи и архитектуре. Так, отношение х : у = 2 встре-

чается в пропорциях известного храма Покрова на Нерли. Другое известное отношение – золотое сечение (5 +1) / 2 – встречается еще чаще. Леонардо да Винчи находил это соотношение в пропорциях человеческого тела. В пятиконечной звезде присутствует это отношение. При оформлении какого известного архитектурного сооружения использовал золотое сечение древнегреческий скульптур Фидий?

Вопрос 5. Уважаемые знатоки, за 1 мин продолжите фразу известного русского математика Н.И. Лобачевского: «Из всех языков мира самый лучший – это...».

Вопрос 6. Джонотан Свифт – автор «Путешествия Гулливера» – осмотрительно избежал опасности запутаться в геометрических отношениях. У лилипутов все было в 12 раз меньше. Уважаемые знатоки, за 1 мин ответьте на вопросы:

1)Во сколько раз Гулливер съедал за обедом больше еды, чем лилипут?

2)Во сколько раз Гулливеру требовалось больше сукна на костюм, чем лилипутам?

Вопрос 7. Л.Н. Толстой говорил о человеке: «Человек подобен дроби: числитель – то, что он есть, а знаменатель...». Уважаемые знатоки, за 1 мин догадайтесь, что Толстой поставил в знаменатель дроби?

Вопрос 8. Из истории: Английский математик и логик Чарльз Латуидж Доджсон в течение 26 лет был профессором Оксфордского университета, написал много трудов по алгебре и геометрии. Одна из его книг стала любимой детской книгой в Англии. Что это за книга?

Вопрос 9. В знаменитой книге «Алиса в стране чудес» между

участниками «безумного чаепития» (так называется одна из глав книги) происходит такой разговор.

«Так бы и сказала, – заметил Мартовский Заяц. – Нужно всегда говорить то, что думаешь. – Я так и делаю, – поспешила объяснить Алиса. – По крайней мере... По крайней мере, я всегда думаю то, что говорю... а это одно и то же... – Совсем не одно и то же, – возразил Болванчик. – Так ты еще чего доброго скажешь, будто «Я вижу то, что ем» и «Я ем то, что вижу» – одно и то же! – Так ты еще скажешь, – проговорила, не открывая глаз Соня, – будто «Я дышу, пока сплю» и «Я сплю, пока дышу» – одно и то же!».

Вэтом отрывке несколько пар утверждений. Как они называются

сточки зрения математики. Приведите одну такую пару верных утверждений из математики.

Вопрос 10. Внимание! Рассказ современника:

«В начале 1841 года Тенгинский полк стоял в Анапе. Скучающие офицеры... собирались друг у друга. Раз речь зашла о каком-то ученом кардинале, который мог решать в уме самые сложные математические задачи. – Что Вы скажете на это...? Говорят, что вы тоже хороший математик?»

Внимание: Кому из литераторов был задан этот вопрос?

Вопрос 11. Этот математик обладал незаурядным литературным талантом. Кроме драмы «Борьба за счастье» написаны роман «Нигилистка», повести «Воспоминания детства», «Сестры Ржевские» и другие повести, рассказы и стихи. Назовите этого великого русского математика, который высшее образование мог получить только за границей? Почему он не мог получить высшее образование в России?

Вопрос 12. На одной из площадей норвежской столицы стоит скульптура юноши, победившего двух чудовищ. Кому мог быть поставлен этот памятник? И что за чудища, которых он победил?

Вопрос 13. В своем знаменитом романе «Хитроумный идальго Дон Кихот Ламанческий» Сервантес пишет об одном арабском алгебраисте. Но это был не математик. Кого в средние века называли алгебраистами? Что делали эти люди?

Вопрос 14. В своей книге «Волны гасят ветер» братья Стругацкие изменили фразу «Понять – значит простить», добавив одну букву. Новый способ «понимания» распространен в математике. Какую букву добавили Стругацкие в эту фразу?

Вопрос 15. В начале ХХ века некий банкир из США решил простимулировать своего сына-двоечника к улучшению успеваемости следующим образом. Если в конце недели в его дневнике появляются «четверки», то он выплачивает сыну премию по доллару за каждую четверку. Если появляются «пятерки», то он начисляет по доллару за каждую пятерку, а премия равна квадрату этой суммы. В конце недели у сына в дневнике оказалось 3 пятерки, и отец выдал сыну 9 долларов. Однако сын потребовал значительно большую сумму. Какой расчет представил сын?

Вопрос 16. Какова вероятность, что в семье, имеющей двоих детей, оба ребенка – девочки, если известно, что в семье есть девочка.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 129 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]