Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика задачи студенческих олимпиад. Задачник

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 128 9 10 11 12 > Следующая >>>

5.26.Пусть функция f(x) непрерывнанамножестве действительных

+∞	+∞		1 )dx =	+∞
чисел и существует ∫	f (x)dx . Доказать, что ∫	f (x −	1 )dx =	∫ f (x)dx .
−∞	−∞		x	−∞

5.27. Пусть функция f(x) дважды дифференцируема на [0; 1] и

′′	x (0;1)	′
f (x) ≥ 0,	x (0;1)	. Кроме того, f (1) < 2 f (x) на этом отрезке. До-

казать, что∫ f (x)dx > 0 .

∞dx

5.28.Вычислить ∫0 (1 + x2 )(1 + xm ) .

5.29. Найти все функции f(x) ≥ 0, определенные на отрезке [0; 1],

1	1	1
такие, что ∫ f (x)dx =1;	∫xf (x)dx = a;	∫x2 f (x)dx = a2 , a .
0	0	0

5.30. Пусть функция f(x): R→(0; +∞) дифференцируема и имеет не-

				′
прерывные производные. Найти ∫			f (x) + f		(x)	dx .
прерывные производные. Найти ∫			f (x) + e		−x	dx .
			f (x) + e
	1.6. Функции нескольких переменных
	6.1. Найти наибольшее значение			функции f(x1; x2; x3; x4) =
=	x1x3 + x1x4 + x2 x3 − x2 x4	на единичном кубе {0 ≤ xk ≤1, 1 ≤ k ≤ 4}.
=	x1x3 + x1x4 + x2 x3 − x2 x4	на единичном кубе {0 ≤ xk ≤1, 1 ≤ k ≤ 4}.
	Решение

f (x1; x2 ; x3 ; x4 ) = x1x3 + x1x4 + x2 x3 − x2 x4 =

= x1 (x3 + x4 ) + x2 (x3 − x4 ) ≤ x1 (x3 + x4 ) + x2 (x3 − x4 ) =

x3 + x4

x3 − x4

≤

x3 + x4

x3 − x4

+ x

− x

, x

≥ x ,

, x

≥ x ,

= 3

x3 + x4 + x4 − x3 , x3 ≤ x4

2x4 , x3 ≤ x4 .

Следовательно, f (x) ≤ 2 . Заметим, что f(1; 1; 1; 1) = f(–1; –1; –1;

–1) = 2.		значение функции f(x1; x2; x3; x4) =
	Итак, наибольшее
=	x1x3 + x1x4 + x2 x3 − x2 x4		на единичном кубе равно 2.

6.2. При изготовлении из листового металла закрытого бака объемом 0,25м3, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, производится сварка швов, проходящих по ребрам обоих оснований и одному боковому ребру, а по остальным ребрам осуществляется изгиб листового металла. Стоимость одного метра сварного шва – 13 денежных единиц, а стоимость 1 м2 листового металла – 26 денежных единиц. Определить размеры бака так, чтобы его стоимость была наименьшей.

Решение

Пусть x,	y – длины оснований бака,					тогда его высота h =			0, 25.
Обозначим S(x; y) – стоимость бака. Тогда									xy
Обозначим S(x; y) – стоимость бака. Тогда
S(x; y) = 26(2xy + 2hx + 2hy) +13(4x + 4 y +							0, 25) =
							xy
=	26(2xy + 2 0, 25			+ 2 0, 25) +13(4x + 4 y +			0, 25)	=
			y	x			xy
	=13(4xy +	1	+ 1	+ 4x + 4 y +	1	), x > 0,	y > 0.
	=13(4xy +	y	+ 1	+ 4x + 4 y +	4xy	), x > 0,	y > 0.
		y	x		4xy

Исследуем функцию двух переменных на экстремум. Найдем частные производные:

∂∂Sx =13(4 y − x12 + 4 − 4x12 y ); ∂∂Sy =13(4x − y12 + 4 − 4xy1 2 ).

Необходимое условие экстремума:

∂S∂x∂S∂y

=13(4 y −

+ 4 −

) = 0,

−4 y +16x

y −1 = 0,

16x

− 4x +16 y2 x −1

= 0,

16x2 y2

=13(4x −

+ 4 −

) = 0,

4xy2

−

4 y +16x

y −16 y

x = 0,

x − y + 4xy(x − y) = 0,

− 4x +16 y2 x −1

= 0,

16x

− 4x +

16 y

x −1 = 0,

16x2 y2

		x = y,

		− 4x +16 y2 x −1 = 0,
	16x2 y2	− 4x +16 y2 x −1 = 0,

		4xy +1 = 0,

		− 4x +16 y2 x −1 = 0.
	16x2 y2	− 4x +16 y2 x −1 = 0.

Так как х > 0, y > 0, то вторая система не имеет решения.

							x = y,													x = y,

																	1							x
			16x4		−4x			+16x3 −1 = 0,							4		1					3		x	= 0,
			16x4		−4x			+16x3 −1 = 0,						x		−				+ x			−
														x		−	16			+ x			−	4
																	16							4
																		x = y,
							x = y,														1
							x = y,										2				1					1
			1				1					1				x −					4 = 0,				x = y =	1	.
	2	−	1		2	+	1			2	−	1	= 0,			x −					4 = 0,				x = y =	2	.
x		−	4	x		+	4		+ x x		−		= 0,			2			1							2
			4				4					4				2			1
																	+				+ x = 0,
														x			+		4		+ x = 0,
																			4

Проверим достаточное условие. Найдем частные производные второго порядка:

	∂	2		S							2					2					∂	2		S
		2																				2
							=13						+						;													=13(16 +8) = 312;
	∂x2						=13				x3		+			4x3 y			;		∂x2					1			1			=13(16 +8) = 312;
	∂x2										x3					4x3 y					∂x2					1		;	1
																											2		2


	∂	2		S							2					2					∂	2		S
		2																				2
								=13						+						;												=13(16 +8) = 312;
	∂y2							=13			y3			+			4 y3 x			;	∂y2											=13(16 +8) = 312;
	∂y2										y3						4 y3 x				∂y2					1		;	1
																											2		2


	∂		2		S											1					∂		2		S
			2																				2
									=13		4	+								;												=13(4 + 4) =104.
	∂x∂y								=13		4	+			4x2 y2					;	∂x∂y							1				=13(4 + 4) =104.
	∂x∂y														4x2 y2						∂x∂y							1		;	1
																												2			2


Таккак∆						1			1	=	312					104			> 0,				а ∆ = 312 > 0,тоточка M										1	;	1	–


							2	;	2		104					312											1
								;																			1
																																	2		2
точка локального											минимума							функции. Следовательно, стоимость бака

будет наименьшей, если в основании лежит квадрат со стороной 0,5, а высота бака равна 1.

6.3. Вычислить предел lim

ln2 (x + y)

x→1

+ y

− 2x +1

Решение

y→0

lim

ln2 (x + y)

= lim

ln2 (1 + x + y −1)

x→1

+ y

− 2x +1

x→1

−1)

+ y

y→0

=	ln(1 + x + y −1) x + y −1,	= lim	(x + y −1)2					= A.
	ln(1 + x + y −1) x + y −1,		(x + y −1)2
	x →1, y → 0
				(x −1)	2	+ y	2
		y→0		(x −1)		+ y
		x→1

Сделаем замену x – 1 = z, где z → 0, а затем перейдем к полярным координатам.

(z + y)2

z = r cos ϕ;

(r cos ϕ+ r sin ϕ)2

I = lim

y = r sin

ϕ;

= lim

z→0

+ y

r → 0

r→0

cos

ϕ+ r

sin

→0

= lim

(cos ϕ+sin ϕ)2

= lim r(cos

ϕ+ 2sin ϕcos

ϕ+sin

ϕ) =

r→0

→0

= lim r(1 +sin 2ϕ) = 0.

r→0

6.4. Вычислить предел lim

− y2 + x3 + y3

x2 + y2

→0

Решение

→0

Вычислим повторные пределы:

− y

+ x

+ y

+ x

1 + x =1,

lim

= lim

x2 + y2

x→0

y→0

x→0

− y

+ x

+ y

−y

+ y

= lim −1 + y

lim

= lim

= −1.

x2 + y2

y→0

x→0

y→0

Получили, что оба повторных предела существуют и конечны, но они не равны между собой. Следовательно, по теореме о единствен-

ности предела	lim	x2	− y2 + x3 + y3		не существует.
			x2	+ y2
	x→0
	y→0

Также можно показать, что данный предел не существует, рассмотрев изменение x и y вдоль прямых y = kx. Тогда данное выражение может стремиться к различным пределам в зависимости от выбранного значения k. Действительно, при y = kx имеем

	x2	−(kx)2 + x3 + (kx)3				x2		(1 − k2 + x + k3 x)
lim					= lim						=
lim		x2 + (kx)2			= lim				x2 (1	+ k2 )	=
x→0		x2 + (kx)2			x→0				x2 (1	+ k2 )
y=kx					y=kx
		= lim	1 − k2	+ x + k3 x			=	1	− k2	.
		= lim	1	+ k2			=	1	+ k2	.
		x→0	1	+ k2				1	+ k2
		y=kx

Тогда при разных значениях k получаются различные предельные значения. Следовательно, данный предел не существует.

						2xy
			(x + y) cos				, x ≠	0, y ≠ 0;
6.5.Исследоватьфункцию f (x; y) =			(x + y) cos			x2 + y2	, x ≠	0, y ≠ 0;
6.5.Исследоватьфункцию f (x; y) =						x2 + y2
					0,	x = 0, y = 0
					0,	x = 0, y = 0
на непрерывность в точке (0; 0).
Решение
1) Функция f(x; y) определена в окрестности точки (0; 0).
2) Покажем, что lim(x + y) cos		2xy		= 0.
2) Покажем, что lim(x + y) cos		x2 + y2		= 0.
x→0		x2 + y2
y→0
Если x → 0, y → 0, то x + y → 0, т. е. x + y					− величина бесконеч-
но малая. Множитель cos	2xy	− ограниченная функция. Тогда со-
но малая. Множитель cos	x2 + y2	− ограниченная функция. Тогда со-
	x2 + y2

гласно теореме, произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию есть бесконечно малая.

3) Предел в точке (0; 0) равен значению функции в этой точке. Следовательно, функция непрерывна в точке (0; 0).

				xy	,	x ≠ 0, y ≠ 0;

				+ y2			в точ-
6.6. Исследовать функцию f (x; y) = x2				+ y2			в точ-
				0,		x = 0, y = 0,
				0,		x = 0, y = 0,
ке (0; 0) на непрерывность.
Решение		xy
Вычислим lim		xy	. Рассмотрим изменение x и y вдоль прямых
Вычислим lim		x2 + y2	. Рассмотрим изменение x и y вдоль прямых
	x→0	x2 + y2
y = kx.	y→0
y = kx.

lim		x kx	= lim	kx2	=		k	.
lim	x2	+ (kx)2	= lim	x2 (1 + k2 )	=	1	+ k2	.
x→0	x2	+ (kx)2	x→0	x2 (1 + k2 )		1	+ k2
y=kx			y=kx

Так как при k ≠ 0 этот предел отличен от нуля и не равен значению функции в точке (0, 0), то данная функция имеет разрыв в этой точке.

6.7. Существует ли многочлен P(x; y) от двух переменных, множеством значений которого является промежуток (0; + ∞)?

Решение

Рассмотрим многочлен P(x; y) = x2 + (xy +1)2 . Его значения неотрицательны и не обращаются в 0. Но их можно сделать сколь угодно

малыми. Действительно, P

ε;

−

= ε,

ε > 0 .

6.8. Функции

f(x;

g(x;

таковы, что

fg = 3x − 2 y + z, g2 = x2 + y2 + z2 . Найти x

∂f

+ y

∂f

+ z

∂f .

Решение

∂x

∂y

∂z

Найдем частные производные функции

fg = 3x − 2 y + z :

∂( fg)

∂g

∂f

∂g

= 3;

+ g

= 3;

3 − f

;

∂x

∂f

∂g

3x − xf

;

∂x

∂( fg)

∂g

∂f

∂g

= −2; f

+ g

= −2;

−2

− f

;

∂y

y ∂f

− yf ∂g

−2 y

;

∂y

∂( fg)

∂g

∂f

∂g

=1;

+ g

=1;

− f

;

∂z

∂f

∂g

− zf

∂z

Найдем частные производные функции g2 = x2 + y2 + z2 :

∂g

= 2x;

∂g

2x;

∂g

;

∂x

∂g2

= 2 y;

∂g

2 y;

∂g

;

∂y

∂g

= 2z;

∂g

2z;

∂g

∂z

Тогда

∂f

∂g

+ y

+ z

3x − xf

−2 y − yf

z − zf

∂x

∂y

∂z

∂x

∂y

∂z

3x − xf

− 2 y − yf

+ z − zf

3x − 2 y + z − f

+ y

+ z

= 0.

fg − f

fg −

6.9. Доказать неравенство ln

x + y

≥

x + y

−

x ≥1,

y ≥1.

4xy

x + y

2 xy

Решение

Запишем данное неравенство в виде

f (x, y) = ln

x + y

−

x + y

≥ 0, x ≥1, y ≥1.

x + y

4xy

Так как функция f(x; y) симметрична относительно переменных x и y, то данное неравенство достаточно доказать для всех пар (x; y) таких, что 1 ≤ y ≤ x .

Сделаем замену переменных	x + y	= u,		= v . Тогда
			xy
	2

x + y = 2u,

x = 2u − y,

= v2 ,v ≥ 0

y2 − 2uy + v2 = 0

x = 2u − y,

−v

x = u

± u2

−v2

y = u

−v

y = u

Так как 1 ≤ y ≤ x , то

= u +

−v

−v .

y = u −

Следовательно:

1 ≤ u −

u2 −v2

≤ u +

u2 −v2

;

≤ v ≤ u, u ≥1 .

2u −1

Таким

образом,

достаточно

доказать,

что

функ-

ция

g(u; v) = ln u

−

неотрицательна

области

2v2

G ={(u;v) 2 /

≤ v ≤ u, u ≥1}.

2u −1

Заметим,

что, если v = u, (u ≥1),

то g(u,v)

v=u

= ln u

−

= 0 .

2u2

В частности, если u = v = 1, то g(1; 1) = 0.

Пусть u = u0, где u0

(u0

> 1) – произвольное фиксиро-

ванное

число.

Рассмотрим

функцию

одной

переменной

g(u

,v) = ϕ(v) = ln u0

−

, где

≤ v ≤ u , которая опреде-

−1

2v2

2u0

лена,

на

промежутке

непрерывна

дифференцируема

[

Заметим,

что

ее

производная

2u0 −1; u0 ] .

′

< 0, v [ 2u0 −1; u0 ] .

Следовательно,

ϕ (v) = −

−1

функция φ(v) является убывающей на этом отрезке. A так как φ(u0) = 0,

то φ(v) ≥ 0 для v [2u0 −1; u0 ] .

Следовательно, для u [1; +∞) и v [2u −1; u] функция

g(u; v) неотрицательна, а значит, f (x; y) = ln 2x +xyy − x4+xyy + x +1 y ≥ 0;

ln 2x +xyy ≥ x4+xyy − x +1 y .

6.10. Доказать, что объем тетраэдра, заключенного между координатными плоскостями и касательной плоскостью к поверхности xyz = 1, где x, y, z ≥ 0, не зависит от выбора точки касания.

Решение

Уравнение касательной плоскости к поверхности F(x; y; z) = 0 в точке M0(x0; y0; z0) имеет вид

Fx′(x − x0 ) + Fy′( y − y0 ) + Fz′(z − z0 ) = 0 .

Тогда уравнение касательной плоскости к поверхности xyz = 1 в точке M0(x0; y0; z0) имеет вид

y0 z0 (x − x0 ) + x0 z0 ( y − y0 ) + x0 y0 (z − z0 ) = 0 .

Найдем точки пересечения касательной плоскости с осями координат.

Сосью OX: y0 z0 (x − x0 ) + x0 z0 (−y0 ) + x0 y0 (−z0 ) = 0 x = 3x0 .

Сосью OY: y0 z0 (−x0 ) + x0 z0 ( y − y0 ) + x0 y0 (−z0 ) = 0 y = 3y0 .

Сосью OZ: y0 z0 (−x0 ) + x0 z0 (−y0 ) + x0 y0 (z − z0 ) = 0 z = 3z0 .

Следовательно, объем тетраэдра равен V = 16 (3x0 )(3y0 )(3z0 ) = 92 , так как x0y0z0 = 1.

Задачи для самостоятельного решения

6.1. Найти f(x; y), если f (x + y, x − y) = xy − y2 .

6.2. Существует ли функция двух переменных, определенная и непрерывная на всей плоскости ОXY, имеющая ровно три локальных минимума и не имеющая локальных максимумов?

6.3. Вычислить предел	lim	x2 y		.
		x4	+ y2
	x→0
	y→0

6.4. Вычислить предел lim(x − y2 )sin

cos

x + y

x − y

x→0

y→0

6.5. Вычислить предел lim

x + y

− xy + y2

x→+∞ x2

y→+∞

6.6.

Исследовать

на

непрерывность

функцию

) , x ≠ 0, y ≠

ln(1 + xy

3xy

в точке (0; 0).

f (x; y) =

, x

= 0, y = 0

6.7. Показать, что касательная плоскость к поверхности xyz = a3 в любой ее точке образует с плоскостями координат тетраэдр постоянного объема и найти этот объем.

6.8. Доказать, что из существования частных производных по всем переменным не следует непрерывность функции в точке.

6.9. Функцию f (x; y) = y sin x исследовать на дифференцируе-

мость в 2 .

6.10. Доказать, что площадь треугольника, заключенного между осями координат и касательной к линии xy = 1, где x, y ≥ 0, не зависит от выбора точки касания.

6.11. Пусть функция f(x; y) определена в круге x2 + y2 ≤1, имеет непрерывные частные производные и удовлетворяет неравенству

f (x; y) ≤ m . Доказать, что найдется такая точка в круге, в которой

∂f 2		∂f	2	≤ 4m	2	.
	+			≤ 4m		.
∂x		∂y

1.7.Ответы и указания

1.1.1. 1.2. Указание. След матрицы – сумма ее диагональных элементов. 1.3. Любая матрица, у которой и след, и определитель равны 0.

1.4.	a	b	, где	a2 +bc =1. 1.5.		a	b
1.4.	A =		, где	a2 +bc =1. 1.5.	A =		.
	c	−a			1,5b		a +1,5b

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 128 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]