Математика для менеджеров. Часть I. Учебное пособие

ɇɚɩɪɢɦɟɪ ɮɭɧɤɰɢɹ x2 ɱɟɬɧɚ ɚ ɮɭɧɤɰɢɹ x3 ɧɟɱɟɬɧɚ ȼɨɨɛɳɟ ɟɫɥɢ ɱɢɫɥɨ n Z ɱɟɬɧɨ ɬɨ ɢ ɮɭɧɤɰɢɹ xn ɱɟɬɧɚ ɚ ɟɫɥɢ

ɱɢɫɥɨn ɧɟɱɟɬɧɨ ɬɨ ɢ ɮɭɧɤɰɢɹ xn ɧɟɱɟɬɧɚ Ƚɪɚɮɢɤ ɱɟɬɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɫɢɦɦɟɬɪɢɱɟɧ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɨɫɢ ɨɪɞɢɧɚɬ ɪɢɫ ɚ ɚ ɝɪɚ ɮɢɤ ɧɟɱɟɬɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɫɢɦɦɟɬɪɢɱɟɧ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɧɚɱɚɥɚ ɤɨɨɪ ɞɢɧɚɬ ɪɢɫ ɛ

4. ɉɟɪɢɨɞɢɱɧɨɫɬɶ Ɏɭɧɤɰɢɹ f ɡɚɞɚɧɧɚɹ ɧɚ ɦɧɨɠɟɫɬɜɟ X ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɩɟɪɢɨɞɢɱɟɫɤɨɣ ɫ ɩɟɪɢɨɞɨɦ 7 ɟɫɥɢ ɞɥɹ ɥɸɛɵɯ ɚɪɝɭɦɟɧɬɨɜ x ɜɵɩɨɥɧɹɟɬɫɹ ɪɚɜɟɧɫɬɜɨ f x f x T .

ɑɢɫɥɨ T 0 ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɩɟɪɢɨɞɨɦ ɥɸɛɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɚ ɜɦɟ ɫɬɟ ɫ T ɢ –T ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɩɟɪɢɨɞɨɦ ɉɨɷɬɨɦɭ ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢ ɜɚɬɶ ɥɢɲɶ ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɵɟ ɩɟɪɢɨɞɵ

5.8 ɉɪɟɨɛɪɚɡɨɜɚɧɢɟ ɝɪɚɮɢɤɨɜ ɮɭɧɤɰɢɣ

ɉɪɚɜɢɥɨ ɑɬɨɛɵ ɩɨɥɭɱɢɬɶ ɝɪɚɮɢɤ ɮɭɧɤɰɢɢ y f(x a) ɢɡ ɝɪɚɮɢɤɚ y f(x) , ɧɭɠɧɨ ɝɪɚɮɢɤ ɮɭɧɤɰɢɢ y f(x)ɫɞɜɢɧɭɬɶ ɜɞɨɥɶ ɨɫɢ Ɉɯ ɧɚ ɚ ɜɩɪɚɜɨ ɟɫɥɢ a 0, ɢɥɢ ɧɚ a ɜɥɟɜɨ ɟɫɥɢ a 0 ɉɪɚɜɢɥɨ ɑɬɨɛɵ ɩɨɥɭɱɢɬɶ ɝɪɚɮɢɤ ɮɭɧɤɰɢɢ y f(x) ɫ ɢɡ ɝɪɚɮɢɤɚ y f(x) ɧɭɠɧɨ ɝɪɚɮɢɤ y f(x)ɫɞɜɢɧɭɬɶ ɜɞɨɥɶ ɨɫɢ

Ɉɭ ɜɜɟɪɯ ɧɚ c ɟɫɥɢ c 0, ɢɥɢ ɧɚ c ɜɧɢɡ ɟɫɥɢ c 0 . ɉɪɚɜɢɥɨ ɑɬɨɛɵ ɩɨɥɭɱɢɬɶ ɝɪɚɮɢɤ ɮɭɧɤɰɢɢ y f(x) ɢɡ

ɝɪɚɮɢɤɚ ɮɭɧɤɰɢɢ y f(x) ɧɭɠɧɨ ɝɪɚɮɢɤ ɮɭɧɤɰɢɢ y f(x) ɫɢɦɦɟɬɪɢɱɧɨ ɨɬɨɛɪɚɡɢɬɶ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɨɫɢ Ɉɯ

71

ɉɪɚɜɢɥɨ ɑɬɨɛɵ ɩɨɥɭɱɢɬɶ ɝɪɚɮɢɤ ɮɭɧɤɰɢɢ y f( x) ɢɡ ɝɪɚɮɢɤɚ y f(x) ɧɭɠɧɨ ɝɪɚɮɢɤ ɮɭɧɤɰɢɢ y f( x) ɫɢɦɦɟɬ

ɪɢɱɧɨ ɨɬɨɛɪɚɡɢɬɶ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɨɫɢ Ɉɭ

ɉɪɚɜɢɥɨ 5. ɑɬɨɛɵ ɩɨɥɭɱɢɬɶ ɝɪɚɮɢɤ ɮɭɧɤɰɢɢ y kf(x) ɢɡ ɝɪɚɮɢɤɚ ɮɭɧɤɰɢɢ y f(x), ɧɭɠɧɨ ɩɪɢ k! ©ɪɚɫɬɹɧɭɬɶª ɝɪɚ ɮɢɤ ɮɭɧɤɰɢɢ y f(x)ɨɬ ɨɫɢ Ɉɯ ɜ kɪɚɡ ɩɪɢ k<1 ɝɪɚɮɢɤ ɮɭɧɤ ɰɢɢ y f(x) ©ɫɠɢɦɚɟɬɫɹª ɤ ɨɫɢ Ɉɯ ɜ kɪɚɡ

ɉɪɚɜɢɥɨ ɑɬɨɛɵ ɩɨɫɬɪɨɢɬɶ ɝɪɚɮɢɤ y f(kx) ɞɨɫɬɚ ɬɨɱɧɨ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɯ ɪɚɡɞɟɥɢɬɶ ɧɚ ɱɢɫɥɨ kɢ ɩɟɪɟɧɟɫɬɢ ɜ ɬɨɱɤɭ

y k1 x ɨɪɞɢɧɚɬɭy f(kx) .

ɉɪɢ ɷɬɨɦ ɨɬ ɞɟɥɟɧɢɹ ɧɚ k! ɜɫɟɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɚɪɝɭɦɟɧɬɚ ɮɭɧɤɰɢɢ y f(x)ɝɪɚɮɢɤ ɮɭɧɤɰɢɢ ©ɫɠɢɦɚɟɬɫɹª ɤ ɨɫɢ Ɉɭ ɜ 1k ɪɚɡ ɚ ɨɬ ɞɟɥɟɧɢɹ ɧɚ kɩɪɢ 0 k 1ɝɪɚɮɢɤ ɮɭɧɤɰɢɢ ©ɪɚɫɬɹɝɢɜɚ ɟɬɫɹª ɨɬ ɨɫɢ Ɉɭ ɜ 1k ɪɚɡ

Ɂɚɞɚɱɚ ɉɨɫɬɪɨɢɬɶ ɝɪɚɮɢɤ ɮɭɧɤɰɢɢ y 2sin 3x 1 .

72

5.9. ɂɧɬɟɪɩɨɥɢɪɨɜɚɧɢɟ ɮɭɧɤɰɢɢ

ɂɧɬɟɪɩɨɥɹɰɢɹ ɮɭɧɤɰɢɢ – ɷɬɨ ɩɪɢɛɥɢɠɟɧɧɨɟ ɧɚɯɨɠɞɟ ɧɢɟ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɵɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɩɨ ɢɡɜɟɫɬɧɵɦ ɡɧɚɱɟɧɢɹɦ ɜ ɡɚɞɚɧɧɵɯ ɬɨɱɤɚɯ ɇɚɢɛɨɥɟɟ ɩɪɨɫɬɵɦ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɥɢɧɟɣɧɨɟ ɢɧɬɟɪ ɩɨɥɢɪɨɜɚɧɢɟ ɩɪɢ ɤɨɬɨɪɨɦ ɞɨɩɭɫɤɚɟɬɫɹ ɱɬɨ ɩɪɢɪɚɳɟɧɢɟ ɮɭɧɤ ɰɢɢ ɩɪɨɩɨɪɰɢɨɧɚɥɶɧɨ ɩɪɢɪɚɳɟɧɢɸ ɚɪɝɭɦɟɧɬɚ ȿɫɥɢ ɡɚɞɚɧɧɨɟ

ȿɫɥɢ ɩɨ ɡɚɞɚɧɧɵɦ ɡɧɚɱɟɧɢɹɦ ɮɭɧɤɰɢɢ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɧɚɣɬɢ ɩɪɢɛɥɢɠɟɧɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɚɪɝɭɦɟɧɬɚ ɬɨ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɩɪɨɜɟɫɬɢ ɨɛ ɪɚɬɧɨɟ ɢɧɬɟɪɩɨɥɢɪɨɜɚɧɢɟ

ɉɪɢɦɟɪ Ɏɭɧɤɰɢɹ ݕ = (ݔ) ɡɚɞɚɧɚ ɬɚɛɥɢɰɟɣ

ɂɫɩɨɥɶɡɭɹ ɥɢɧɟɣɧɨɟ ɢɧɬɟɪɩɨɥɢɪɨɜɚɧɢɟ ɧɚɣɬɢ (2,008).

Ɋɟɲɟɧɢɟ.

ɂɦɟɟɦ ݔ = 2; (ݔ ) = 2,42;ݔ = 2,04; (ݔ ) = 2.88;

= ݔ ݔ = 2,04 2,0 = 0,04;= (ݔ ) (ݔ ) = 2,88 2,42 = 0,46

ɋɨɝɥɚɫɧɨ ɢɧɬɟɪɩɨɥɹɰɢɨɧɧɨɣ ɮɨɪɦɭɥɟ ɩɨɥɭɱɢɦ

73

ݕ = (2,008) = 2,42 + , , , ·0,46 = 2,512.

ȼ ɪɹɞɟ ɫɥɭɱɚɟɜ ɬɨɱɧɨɫɬɶ ɧɚɯɨɠɞɟɧɢɹ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɵɯ ɡɧɚɱɟ ɧɢɣ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɵɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ ɥɢɧɟɣɧɨɝɨ ɢɧɬɟɪɩɨɥɢɪɨɜɚɧɢɹ ɨɤɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɧɟɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨɣ ɢ ɢɫɩɨɥɶɡɭɸɬɫɹ ɞɪɭɝɢɟ ɦɟɬɨɞɵ ɢɧɬɟɪɩɨɥɢɪɨɜɚɧɢɹ ɧɚɩɪɢɦɟɪ ɤɜɚɞɪɚɬɢɱɧɨɟ ɢɧ ɬɟɪɩɨɥɢɪɨɜɚɧɢɟ.

5.10. Ɏɭɧɤɰɢɢ ɜ ɷɤɨɧɨɦɢɤɟ

Ɏɭɧɤɰɢɢ ɧɚɯɨɞɹɬ ɲɢɪɨɤɨɟ ɩɪɢɦɟɧɟɧɢɟ ɜ ɷɤɨɧɨɦɢɱɟɫɤɨɣ ɬɟɨɪɢɢ ɢ ɩɪɚɤɬɢɤɟ ɋɩɟɤɬɪ ɢɫɩɨɥɶɡɭɟɦɵɯ ɮɭɧɤɰɢɣ ɜɟɫɶɦɚ ɲɢ ɪɨɤ ɨɬ ɩɪɨɫɬɟɣɲɢɯ ɥɢɧɟɣɧɵɯ ɞɨ ɮɭɧɤɰɢɣ ɩɨɥɭɱɚɟɦɵɯ ɩɨ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɦɭ ɚɥɝɨɪɢɬɦɭ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ ɪɟɤɭɪɪɟɧɬɧɵɯ ɫɨɨɬɧɨɲɟ ɧɢɣ ɫɜɹɡɵɜɚɸɳɢɯ ɫɨɫɬɨɹɧɢɹ ɢɡɭɱɚɟɦɵɯ ɨɛɴɟɤɬɨɜ ɜ ɪɚɡɧɵɟ ɩɟ ɪɢɨɞɵ ɜɪɟɦɟɧɢ

ɇɚɢɛɨɥɟɟ ɱɚɫɬɨ ɢɫɩɨɥɶɡɭɸɬɫɹ ɜ ɷɤɨɧɨɦɢɤɟ ɫɥɟɞɭɸɳɢɟ ɮɭɧɤɰɢɢ

1.Ɏɭɧɤɰɢɹ ɩɨɥɟɡɧɨɫɬɢ ɮɭɧɤɰɢɹ ɩɪɟɞɩɨɱɬɟɧɢɹ - ɡɚɜɢ ɫɢɦɨɫɬɶ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɚ ɷɮɮɟɤɬɚ ɧɟɤɨɬɨɪɨɝɨ ɞɟɣɫɬɜɢɹ ɨɬ ɭɪɨɜɧɹɢɧɬɟɧɫɢɜɧɨɫɬɢ ɷɬɨɝɨ ɞɟɣɫɬɜɢɹ

2.ɉɪɨɢɡɜɨɞɫɬɜɟɧɧɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ ɉɎ - ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɶ ɪɟ ɡɭɥɶɬɚɬɚ ɩɪɨɢɡɜɨɞɫɬɜɟɧɧɨɣ ɞɟɹɬɟɥɶɧɨɫɬɢ ɨɬ ɨɛɭɫɥɨɜɢɜɲɢɯ ɟɝɨ ɮɚɤɬɨɪɨɜ Ɏɭɧɤɰɢɹ ɜɵɩɭɫɤɚ - ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɶ ɨɛɴɟɦɚ ɩɪɨɢɡɜɨɞɫɬɜɚ ɨɬ ɧɚɥɢɱɢɹ ɢɥɢ ɩɨɬɪɟɛɥɟɧɢɹ ɪɟɫɭɪɫɨɜ Ɏɭɧɤɰɢɹ ɢɡɞɟɪɠɟɤ - ɡɚ ɜɢɫɢɦɨɫɬɶ ɢɡɞɟɪɠɟɤ ɩɪɨɢɡɜɨɞɫɬɜɚ ɨɬ ɨɛɴɟɦɚ ɩɪɨɞɭɤɰɢɢ).

3.Ɏɭɧɤɰɢɹ ɫɩɪɨɫɚ ɩɨɬɪɟɛɥɟɧɢɹ ɢ ɩɪɟɞɥɨɠɟɧɢɹ - ɡɚɜɢ ɫɢɦɨɫɬɶ ɨɛɴɟɦɚ ɫɩɪɨɫɚ ɩɨɬɪɟɛɥɟɧɢɹ ɢɥɢ ɩɪɟɞɥɨɠɟɧɢɹ ɧɚ ɨɬ ɞɟɥɶɧɵɟ ɬɨɜɚɪɵ ɢɥɢ ɭɫɥɭɝɢ ɨɬ ɪɚɡɥɢɱɧɵɯ ɮɚɤɬɨɪɨɜ ɧɚɩɪɢɦɟɪ ɰɟɧɵ ɞɨɯɨɞɚ ɢ ɬ ɩ

74

ɌȿɆȺ 6 ɉɊȿȾȿɅɕ ɂ ɇȿɉɊȿɊɕȼɇɈɋɌɖ ɎɍɇɄɐɂɃ

6 ɑɢɫɥɨɜɚɹ ɩɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨɫɬɶ

Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ȿɫɥɢ ɤɚɠɞɨɦɭ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɨɦɭ ɱɢɫɥɭ n ɩɨ ɫɬɚɜɥɟɧɨ ɜ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɟ ɱɢɫɥɨ ɯn ɬɨ ɝɨɜɨɪɹɬ ɱɬɨ ɡɚɞɚɧɚ ɩɨɫɥɟ ɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨɫɬɶ

x1, ɯ2 ɯn= {xn}.

Ɉɛɳɢɣ ɷɥɟɦɟɧɬ ɩɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨɫɬɢ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɮɭɧɤɰɢɟɣ

ɨɬ n.

xn = f(n)

Ɂɚɞɚɬɶ ɩɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨɫɬɶ ɦɨɠɧɨ ɪɚɡɥɢɱɧɵɦɢ ɫɩɨɫɨɛɚ ɦɢ – ɝɥɚɜɧɨɟ ɱɬɨɛɵ ɛɵɥ ɭɤɚɡɚɧ ɫɩɨɫɨɛ ɩɨɥɭɱɟɧɢɹ ɥɸɛɨɝɨ ɱɥɟɧɚ ɩɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨɫɬɢ

ɉɪɢɦɟɪ {xn} = {(-1)n` ɢɥɢ ^xn} = -1; 1; -1; 1; {xn} = {sin n ` ɢɥɢ ^xn} = 1; 0; 1; 0.

6 ɉɪɟɞɟɥ ɱɢɫɥɨɜɨɣ ɩɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨɫɬɢ

Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɑɢɫɥɨa ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɩɪɟɞɟɥɨɦ ɩɨɫɥɟɞɨɜɚ ɬɟɥɶɧɨɫɬɢ {xn` ɟɫɥɢ ɞɥɹ ɥɸɛɨɝɨ ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɨɝɨ ! ɫɭɳɟ ɫɬɜɭɟɬ ɬɚɤɨɣ ɧɨɦɟɪ N ɱɬɨ ɞɥɹ ɜɫɟɯ n>Nɜɵɩɨɥɧɹɟɬɫɹ ɭɫɥɨɜɢɟ

a xn .

ɗɬɨ ɡɚɩɢɫɵɜɚɟɬɫɹ limxn a .

n

ȼ ɷɬɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɝɨɜɨɪɹɬ ɱɬɨ ɩɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨɫɬɶ ^xn} ɫɯɨ ɞɢɬɫɹɤ ɚ ɩɪɢ n .

Ɍɟɨɪɟɦɚ ɉɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨɫɬɶ ɧɟ ɦɨɠɟɬ ɢɦɟɬɶ ɛɨɥɟɟ ɨɞ ɧɨɝɨ ɩɪɟɞɟɥɚ

6.3. ɉɪɟɞɟɥ ɮɭɧɤɰɢɢ ɜ ɬɨɱɤɟ

ɑɢɫɥɨA ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɩɪɟɞɟɥɨɦ ɮɭɧɤɰɢɢ ɭ f(x) ɜ ɬɨɱɤɟ ɯ0 ɟɫɥɢ ɞɥɹ ɜɫɹɤɨɝɨ ɱɢɫɥɚ İ! ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɬɚɤɨɟ ɱɢɫɥɨ į! ɱɬɨ ɤɚɤ ɬɨɥɶɤɨ _x–x0| < (x x0 ɬɨ _f(x)–A| < Ɉɛɨɡɧɚɱɟɧɢɟ

75

ɫɬɜɭɸɬ ɢ limg(x) 0.

x a

ɉɨɞ ɡɧɚɤɨɦ ɩɪɟɞɟɥɚ ɦɨɠɧɨ ɩɪɨɢɡɜɨɞɢɬɶ ɬɨɠɞɟɫɬɜɟɧɧɵɟ ɩɪɟɨɛɪɚɡɨɜɚɧɢɹ ɚɧɚɥɢɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɜɵɪɚɠɟɧɢɹ ɡɚɞɚɸɳɟɝɨ ɮɭɧɤ ɰɢɸ ɧɟ ɩɪɢɧɢɦɚɹ ɜɨ ɜɧɢɦɚɧɢɟ ɩɨɜɟɞɟɧɢɟ ɮɭɧɤɰɢɢ ɜ ɩɪɟɞɟɥɶ ɧɨɣ ɬɨɱɤɟ Ɉɫɨɛɵɣ ɢɧɬɟɪɟɫ ɩɪɢɨɛɪɟɬɚɟɬ ɫɥɭɱɚɣ ɩɪɟɨɛɪɚɡɨɜɚɧɢɹ ɚɧɚɥɢɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɜɵɪɚɠɟɧɢɹ ɡɚɞɚɸɳɟɝɨ ɮɭɧɤɰɢɸ f ɯ ɜ ɜɵɪɚ ɠɟɧɢɟ ɡɚɞɚɸɳɟɟ ɮɭɧɤɰɢɸ ij ɯ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɭɸ ɜ ɫɚɦɨɣ ɬɨɱɤɟ ɯ0 ɢ ɫɨɜɩɚɞɚɸɳɭɸ ɫ f ɯ ɜ ɧɟɤɨɬɨɪɨɣ ɨɤɪɟɫɬɧɨɫɬɢ ɬɨɱɤɢ ɯ0 ɛɟɡ ɫɚ ɦɨɣ ɷɬɨɣ ɬɨɱɤɢ Ɍɨɝɞɚ ɨɱɟɜɢɞɧɨ

lim f(x) lim (x) (x0).

x ɯ0 x x0

3x2 5x 2

ɉɪɢɦɟɪ. ɇɚɣɬɢ lim 2 ɩɪɢ x x0 4x 9x 2

ɚ ɯ0=1 ɛ ɯ0=2 ɜ ɯ0= .

Ɋɟɲɟɧɢɟ.

Ɍɚɤ ɤɚɤ ɩɪɟɞɟɥ ɡɧɚɦɟɧɚɬɟɥɹ ɨɬɥɢɱɟɧ ɨɬ ɧɭɥɹ ɦɨɠɧɨ ɩɪɢɦɟ ɧɢɬɶ ɬɟɨɪɟɦɭ ɨ ɩɪɟɞɟɥɟ ɱɚɫɬɧɨɝɨ ɫɜɨɣɫɬɜɨ Ɍɨɝɞɚ

76

3x2 5x 2 ɛ lim 4x2 9x 2 .

x 2

ɂɦɟɟɦ ɧɟɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɫɬɶ ɜɢɞɚ 0 ɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ ɬɟɨ

0

ɪɟɦɭ ɨ ɩɪɟɞɟɥɟ ɱɚɫɬɧɨɝɨ ɩɪɢɦɟɧɢɬɶ ɧɟɥɶɡɹ ɇɨ ɜ ɨɤɪɟɫɬɧɨɫɬɢ ɬɨɱɤɢ ɯ ɢɦɟɟɦ ɯ2 – ɯ ɩɪɢ ɯ ɢ ɩɨɷɬɨɦɭ ɞɪɨɛɶ ɦɨɠɧɨ ɫɨɤɪɚɬɢɬɶ ɧɚ ɯ – Ⱦɥɹ ɷɬɨɝɨ ɪɚɡɥɨɠɢɦ ɱɢɫɥɢɬɟɥɶ ɢ ɡɧɚ ɦɟɧɚɬɟɥɶ ɧɚ ɦɧɨɠɢɬɟɥɢ ɜɨɫɩɨɥɶɡɨɜɚɜɲɢɫɶ ɮɨɪɦɭɥɨɣ ɚɯ2 Eɯ ɫ ɚ ɯ–ɯ1 ɯ–ɯ2 ɝɞɟ ɯ1 ɢ ɯ2 – ɤɨɪɧɢ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɚɯ2 Eɯ ɫ Ɍɨ ɝɞɚ

ɜ lim 3x2 5x 2 . x 4x2 9x 2

ɂɦɟɟɦ ɧɟɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɫɬɶ ɜɢɞɚ ɑɬɨɛɵ ɧɚɣɬɢ ɩɪɟ



ɞɟɥ ɪɚɡɞɟɥɢɦ ɱɢɫɥɢɬɟɥɶ ɢ ɡɧɚɦɟɧɚɬɟɥɶ ɧɚ ɯ2 ɩɨɥɭɱɢɦ

77

Ɋɟɲɟɧɢɟ

ɩɪɟɞɟɥɟ ɱɚɫɬɧɨɝɨ ɩɪɢɦɟɧɹɬɶ ɧɟɥɶɡɹ ɉɪɟɨɛɪɚɡɭɟɦ ɞɚɧɧɨɟ ɜɵɪɚ ɠɟɧɢɟ ɩɨɦɧɨɠɢɜ ɱɢɫɥɢɬɟɥɶ ɢ ɡɧɚɦɟɧɚɬɟɥɶ ɧɚ ɜɵɪɚɠɟɧɢɟ ɫɨɩɪɹ ɠɟɧɧɨɟ ɡɧɚɦɟɧɚɬɟɥɸ ɩɨɥɭɱɢɦ

6 Ȼɟɫɤɨɧɟɱɧɨ ɦɚɥɵɟ ɮɭɧɤɰɢɢ

Ɏɭɧɤɰɢɹ f(x ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɨ ɦɚɥɨɣ ɩɪɢ ɯ ɚ ɝɞɟ ɚ ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɱɢɫɥɨɦ ɢɥɢ ɨɞɧɨɣ ɢɡ ɜɟɥɢɱɢɧ , + ɢɥɢ - ,

ɟɫɥɢlimf(x) 0.

x a

ɉɪɢɦɟɪ Ɏɭɧɤɰɢɹ f(x) = xn ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɨ ɦɚɥɨɣ ɩɪɢ ɯ ɢ ɧɟ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɨ ɦɚɥɨɣ ɩɪɢ ɯ ɬ ɤ

limf(x) 1.

x 1

Ɍɟɨɪɟɦɚ Ⱦɥɹ ɬɨɝɨ ɱɬɨɛɵ ɮɭɧɤɰɢɹ f(x ɩɪɢ ɯ ɚ ɢɦɟɥɚ ɩɪɟɞɟɥ ɪɚɜɧɵɣ Ⱥ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɢ ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨ ɱɬɨɛɵ ɜɛɥɢɡɢ ɬɨɱ ɤɢ ɯ ɚ ɜɵɩɨɥɧɹɥɨɫɶ ɭɫɥɨɜɢɟ

f(x) = A + (x),

78

ɝɞɟ ɯ – ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɨ ɦɚɥɚɹ ɩɪɢ ɯ ɚ ɯ ɩɪɢ ɯ ɚ

ɋɜɨɣɫɬɜɚ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɨ ɦɚɥɵɯ ɮɭɧɤɰɢɣ

1)ɋɭɦɦɚ ɮɢɤɫɢɪɨɜɚɧɧɨɝɨ ɱɢɫɥɚ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɨ ɦɚɥɵɯ ɮɭɧɤɰɢɣ ɩɪɢ ɯ ɚ ɬɨɠɟ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɨ ɦɚɥɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ ɩɪɢ ɯ ɚ.

2)ɉɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɟ ɮɢɤɫɢɪɨɜɚɧɧɨɝɨ ɱɢɫɥɚ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɨ ɦɚɥɵɯ ɮɭɧɤɰɢɣ ɩɪɢ ɯ ɚ ɬɨɠɟ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɨ ɦɚɥɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ ɩɪɢ ɯ ɚ.

3)ɉɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɟ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɨ ɦɚɥɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɧɚ ɮɭɧɤɰɢɸ ɨɝɪɚɧɢɱɟɧɧɭɸ ɜɛɥɢɡɢ ɬɨɱɤɢ ɯ ɚ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɨ ɦɚɥɨɣ ɮɭɧɤɰɢɟɣ ɩɪɢ ɯ ɚ.

4)ɑɚɫɬɧɨɟ ɨɬ ɞɟɥɟɧɢɹ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɨ ɦɚɥɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɧɚ ɮɭɧɤɰɢɸ ɩɪɟɞɟɥ ɤɨɬɨɪɨɣ ɧɟ ɪɚɜɟɧ ɧɭɥɸ, ɟɫɬɶ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɨ ɦɚɥɚɹ

6.5.Ȼɟɫɤɨɧɟɱɧɨ ɛɨɥɶɲɢɟ ɮɭɧɤɰɢɢ ɢ ɢɯ ɫɜɹɡɶ ɫ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɨ

ɦɚɥɵɦɢ

Ɏɭɧɤɰɢɹ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɨ ɛɨɥɶɲɨɣ ɩɪɢ ɯ ɚ ɝɞɟ

ɚ – ɱɢɫɥɨ ɢɥɢ ɨɞɧɚ ɢɡ ɜɟɥɢɱɢɧ , + ɢɥɢ - ɟɫɥɢ limf(x) .

x a

ɋɜɨɣɫɬɜɚ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɨ ɛɨɥɶɲɢɯ ɮɭɧɤɰɢɣ

1)ɋɭɦɦɚ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɨ ɛɨɥɶɲɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɩɪɢ ɯ ɚ ɢ ɨɝɪɚɧɢɱɟɧ ɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɟɫɬɶ ɬɨɠɟ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɨ ɛɨɥɶɲɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ ɩɪɢ ɯ ɚ

2)ɉɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɟ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɨ ɛɨɥɶɲɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɧɚ ɮɭɧɤɰɢɸ

ɨɝɪɚɧɢɱɟɧɧɭɸ ɜɛɥɢɡɢ ɬɨɱɤɢ ɯ ɚ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɨ ɛɨɥɶ ɲɨɣ ɮɭɧɤɰɢɟɣ ɩɪɢ ɯ ɚ

3)ɑɚɫɬɧɨɟ ɨɬ ɞɟɥɟɧɢɹ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɨ ɛɨɥɶɲɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɧɚ ɮɭɧɤ ɰɢɸ ɩɪɟɞɟɥ ɤɨɬɨɪɨɣ ɧɟ ɪɚɜɟɧ ɧɭɥɸ ɟɫɬɶ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɛɟɫɤɨ ɧɟɱɧɨ ɛɨɥɶɲɚɹ

ɋɜɹɡɶ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɨ ɛɨɥɶɲɢɯ ɢ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɨ ɦɚɥɵɯ ɮɭɧɤɰɢɣ

ɨɫɭɳɟɫɬɜɥɹɟɬɫɹ ɜ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɢ ɫɨ ɫɥɟɞɭɸɳɟɣ ɬɟɨɪɟɦɨɣ Ɍɟɨɪɟɦɚ ȿɫɥɢ f(x) ɩɪɢ ɯ ɚ ɟɫɥɢ ɯ ɢ ɧɟ ɨɛɪɚɳɚ

ɟɬɫɹ ɜ ɧɨɥɶ ɬɨ

y f(1x) .

79

6.6. ɋɪɚɜɧɟɧɢɟ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɨ ɦɚɥɵɯ ɮɭɧɤɰɢɣ

ɉɭɫɬɶ ɯ ɯ ɢ ɯ – ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɨ ɦɚɥɵɟ ɮɭɧɤɰɢɢ ɩɪɢ ɯ ɚ Ȼɭɞɟɦ ɨɛɨɡɧɚɱɚɬɶ ɷɬɢ ɮɭɧɤɰɢɢ , ɢ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɟɧɧɨ ɗɬɢ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɨ ɦɚɥɵɟ ɮɭɧɤɰɢɢ ɦɨɠɧɨ ɫɪɚɜɧɢɜɚɬɶ ɩɨ ɛɵɫɬɪɨɬɟ ɢɯ ɭɛɵɜɚɧɢɹ ɬ ɟ ɩɨ ɛɵɫɬɪɨɬɟ ɢɯ ɫɬɪɟɦɥɟɧɢɹ ɤ ɧɭɥɸ

ɇɚɩɪɢɦɟɪ ɮɭɧɤɰɢɹ f(x) = x10 ɫɬɪɟɦɢɬɫɹ ɤ ɧɭɥɸ ɛɵɫɬɪɟɟ ɱɟɦ ɮɭɧɤɰɢɹ f(x) = x.

Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ȿɫɥɢ lim 0 ɬɨ ɮɭɧɤɰɢɹ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ

x a

ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɨ ɦɚɥɨɣ ɛɨɥɟɟ ɜɵɫɨɤɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ ɱɟɦ ɮɭɧɤɰɢɹ .

ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɨ ɦɚɥɵɦɢ ɨɞɧɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ.

Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ȿɫɥɢ lim 1, ɬɨ ɮɭɧɤɰɢɢ ɢ ɧɚɡɵɜɚ

x a

ɸɬɫɹ ɷɤɜɢɜɚɥɟɧɬɧɵɦɢ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɨ ɦɚɥɵɦɢ Ɂɚɩɢɫɵɜɚɸɬ ~ .

ɉɪɢɦɟɪ ɋɪɚɜɧɢɦ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɨ ɦɚɥɵɟ ɩɪɢ ɯ ɮɭɧɤɰɢɢ f(x) = x10 ɢ f(x) = x.

lim x10 limx9 0

x 0 x x 0

ɬ ɟ ɮɭɧɤɰɢɹ f(x) = x10 – ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɨ ɦɚɥɚɹ ɛɨɥɟɟ ɜɵɫɨɤɨɝɨ ɩɨ ɪɹɞɤɚ ɱɟɦ f(x) = x.

6 Ɂɚɦɟɱɚɬɟɥɶɧɵɟ ɩɪɟɞɟɥɵ

ɉɟɪɜɵɣ ɡɚɦɟɱɚɬɟɥɶɧɵɣ ɩɪɟɞɟɥ ɦɨɠɧɨ ɩɪɢɦɟɧɹɬɶ ɜ ɪɹɞɟ

ɫɥɭɱɚɟɜ ɞɥɹ ɪɚɫɤɪɵɬɢɹ ɧɟɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɫɬɟɣ ɜɢɞɚ 0 .

0

80