Математика для менеджеров. Часть I. Учебное пособие

2 5 0,

4 0.

Ɋɟɲɟɧɢɟ ɋɨɫɬɚɜɢɦ ɥɢɧɟɣɧɭɸ ɤɨɦɛɢɧɚɰɢɸ ɢ ɩɪɢɪɚɜɧɹ

ɟɦ ɟɟ ɤ 0 : A B C 0; (2,4) (5,1) (2,1) (0,0).

ȼɵɩɨɥɧɢɜ ɞɟɣɫɬɜɢɹ ɧɚɞ ɜɟɤɬɨɪɚɦɢ ɢ ɩɪɢɪɚɜɧɹɜ ɤɨɨɪɞɢ

ɧɚɬɵ ɪɚɜɧɵɯ ɜɟɤɬɨɪɨɜ ɩɨɥɭɱɢɦ 2 5 2 0,

4 8 0.

Ɋɟɲɢɦ ɫɢɫɬɟɦɭ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ 2 , 3 .

ȼ ɷɬɨɦ ɪɟɲɟɧɢɢ ɱɢɫɥɨ ȕ ɢɝɪɚɟɬ ɪɨɥɶ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ ɡɚɞɚɜɚɹ ɟɝɨ ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɨ ɛɭɞɟɦ ɩɨɥɭɱɚɬɶ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɢ ɤɨɬɨɪɵɟ ɜɦɟ ɫɬɟ ɫ ȕ ɞɚɸɬ ɬɨ ɢɥɢ ɢɧɨɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɫɢɫɬɟɦɵ Ɍɚɤ ɩɪɢ ȕ ɩɨɥɭ

ɱɢɦ Į ɢ Ȗ ɢɡ ɱɟɝɨ ɫɥɟɞɭɟɬ ɱɬɨ ɜɟɤɬɨɪɵ A,B,C ɞɚɸɬ ɧɭ

ɥɟɜɭɸ ɥɢɧɟɣɧɭɸ ɤɨɦɛɢɧɚɰɢɸ ɩɪɢ ɧɟɧɭɥɟɜɵɯ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚɯ ɬ ɟ ɨɧɢ ɥɢɧɟɣɧɨ ɡɚɜɢɫɢɦɵ

3.4. Ȼɚɡɢɫ Ɋɚɡɥɨɠɟɧɢɟ ɜɟɤɬɨɪɨɜ ɩɨ ɛɚɡɢɫɭ

Ȼɚɡɢɫɨɦ ɜ ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɟ Rn ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɥɸɛɚɹ ɫɢɫɬɟɦɚ ɢɡ n ɥɢɧɟɣɧɨ ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɵɯ ɜɟɤɬɨɪɨɜ Ʉɚɠɞɵɣ ɜɟɤɬɨɪ ɢɡ Rn ɧɟ ɜɯɨ ɞɹɳɢɯ ɜ ɛɚɡɢɫ ɦɨɠɧɨ ɩɪɟɞɫɬɚɜɢɬɶ ɜ ɜɢɞɟ ɥɢɧɟɣɧɨɣ ɤɨɦɛɢɧɚɰɢɢ ɛɚɡɢɫɧɵɯ ɜɟɤɬɨɪɨɜ ɬ ɟ ɪɚɡɥɨɠɢɬɶ ɩɨ ɛɚɡɢɫɭ

ɉɭɫɬɶ a1,a2 ,a3,...,an – ɛɚɡɢɫ ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɚ Rn ɢ

Ʉɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɵ ɪɚɡɥɨɠɟɧɢɹ Ȝ1, Ȝ2, …, Ȝn ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɤɨ

ɨɪɞɢɧɚɬɚɦɢ ɜɟɤɬɨɪɚ b ɜ ɛɚɡɢɫɟ ȼ ȿɫɥɢ ɡɚɞɚɧ ɛɚɡɢɫ ɬɨ ɤɨɷɮɮɢ ɰɢɟɧɬɵ ɜɟɤɬɨɪɚ ɨɩɪɟɞɟɥɹɸɬɫɹ ɨɞɧɨɡɧɚɱɧɨ

41

ɉɪɢɦɟɪ Ⱦɨɤɚɡɚɬɶ ɱɬɨɜɟɤɬɨɪɵ

(0, 135 ,75).

Ɂɚɦɟɱɚɧɢɟ ȼ ɤɚɠɞɨɦ n-ɦɟɪɧɨɦ ɜɟɤɬɨɪɧɨɦ ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɟ ɦɨɠɧɨ ɜɵɛɪɚɬɶ ɛɟɫɱɢɫɥɟɧɧɨɟ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɪɚɡɥɢɱɧɵɯ ɛɚɡɢɫɨɜ ȼ ɪɚɡɥɢɱɧɵɯ ɛɚɡɢɫɚɯ ɨɞɢɧ ɢ ɬɨɬ ɠɟ ɜɟɤɬɨɪ ɢɦɟɟɬ ɪɚɡɥɢɱɧɵɟ ɤɨɨɪ ɞɢɧɚɬɵ ɧɨ ɟɞɢɧɫɬɜɟɧɧɵɟ ɜ ɜɵɛɪɚɧɧɨɦ ɛɚɡɢɫɟ

42

3.5. Ʉɜɚɞɪɚɬɢɱɧɵɟ ɮɨɪɦɵ

Ʉɜɚɞɪɚɬɢɱɧɨɣ ɮɨɪɦɨɣ ɞɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɵɯ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ x1,x2 ,...,xn ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ ɜɬɨɪɨɣ ɫɬɟɩɟɧɢ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ

ɷɬɢɯ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ ɧɟ ɫɨɞɟɪɠɚɳɢɣ ɫɜɨɛɨɞɧɨɝɨ ɱɥɟɧɚ ɢ ɱɥɟɧɨɜ ɩɟɪɜɨɣ ɫɬɟɩɟɧɢ

ɉɪɢɦɟɪ.

ɬɢɱɧɚɹ ɮɨɪɦɚ ɬɪɟɯ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ:

ȿɫɥɢ f (x1,x2 ,...,xn ) ɤɜɚɞɪɚɬɢɱɧɚɹ ɮɨɪɦɚ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ x1,x2 ,...,xn ɚ — ɤɚɤɨɟ-ɧɢɛɭɞɶ ɞɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɨɟ ɱɢɫɥɨ ɬɨ

f ( x1, x2 ,..., xn ) 2 f (x1,x2 ,...,xn ) .

Ⱦɚɞɢɦ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɤɜɚɞɪɚɬɢɱɧɨɣ ɮɨɪɦɵ ɜ ɨɛɳɟɦ ɜɢɞɟ

ȿɫɥɢ n ɬɨ f x1,x2 a11x12 2a12 x1x2 a22 x22 .

ȿɫɥɢ n ɬɨ

43

ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɱɟɫɤɢɦɢ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹɦɢ ɚ ɪɟɲɟɧɢɹ ɷɬɢɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ Ȝ – ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɱɟɫɤɢɦɢ ɱɢɫɥɚɦɢ

ɤɜɚɞɪɚɬɢɱɧɨɣ ɮɨɪɦɵ Ɍɚɤ ɤɚɤ Ⱥ - ɫɢɦɦɟɬɪɢɱɟɫɤɚɹ ɦɚɬɪɢɰɚ ɬɨ ɤɨɪɧɢ 1, 2 , 3

ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɞɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɵɦɢ ɱɢɫɥɚɦɢ

ɉɪɢɦɟɪ ɇɚɣɬɢ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɱɟɫɤɢɟ ɱɢɫɥɚ ɤɜɚɞɪɚɬɢɱɧɨɣ ɮɨɪɦɵ f(x,y) = 17x2 + 12xy + 8y2.

136 - 8Ȝ - 17Ȝ + Ȝ2 – 36 = 0; Ȝ2 - 25Ȝ + 100 = 0.

Ʉɨɪɧɢ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɹɜɥɹɸɳɢɟɫɹ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɱɟɫɤɢɦɢ ɱɢɫɥɚɦɢ ɪɚɜɧɵ

Ȝ1 = 5, Ȝ2 = 20.

44

Ɍɟɦɚ 4 ɗɅȿɆȿɇɌɕ ȺɇȺɅɂɌɂɑȿɋɄɈɃ ȽȿɈɆȿɌɊɂɂ

Ɂɧɚɧɢɟ ɚɧɚɥɢɬɢɱɟɫɤɨɣ ɝɟɨɦɟɬɪɢɢ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɫɨɜɪɟɦɟɧ ɧɨɦɭ ɦɟɧɟɞɠɟɪɭ ɱɬɨɛɵ ɝɪɚɦɨɬɧɨ ɬɨɥɤɨɜɚɬɶ ɷɤɨɧɨɦɢɱɟɫɤɭɸ ɢɧɮɨɪɦɚɰɢɸ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɟɦɭɸ ɜ ɜɢɞɟ ɪɚɡɥɢɱɧɵɯ ɝɪɚɮɢɤɨɜ - ɷɬɨ ɤɪɢɜɵɟ ɢ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ ɛɟɡɪɚɡɥɢɱɢɹ ɤɪɢɜɵɟ ɩɨɬɪɟɛɢɬɟɥɶɫɤɨɝɨ ɛɸɞɠɟɬɚ ɢɧɜɟɫɬɢɰɢɨɧɧɨɝɨ ɫɩɪɨɫɚ ɤɪɢɜɵɟ Ɏɢɥɥɢɩɫɚ Ʌɚɮɮɟɪɚ Ʌɨɪɟɧɰɚ ɢ ɬ ɞ ɜɵɜɨɞɢɬɶ ɢɧɬɟɪɩɨɥɹɰɢɨɧɧɵɟ ɮɨɪɦɭɥɵ ɩɨ ɦɟɬɨ ɞɭ ɧɚɢɦɟɧɶɲɢɯ ɤɜɚɞɪɚɬɨɜ ɧɚɯɨɞɢɬɶ ɧɚɢɥɭɱɲɢɣ ɩɥɚɧ ɩɪɨɢɡɜɨɞ ɫɬɜɚ ɩɪɢ ɡɚɞɚɧɧɵɯ ɪɟɫɭɪɫɚɯ

Ʉɪɢɜɚɹ ɛɟɡɪɚɡɥɢɱɢɹ - ɤɪɢɜɚɹ ɩɨɤɚɡɵɜɚɸɳɚɹ ɪɚɡɥɢɱɧɵɟ ɤɨɦɛɢɧɚɰɢɢ ɞɜɭɯ ɩɪɨɞɭɤɬɨɜ ɢɦɟɸɳɢɯ ɨɞɢɧɚɤɨɜɨɟ ɩɨɬɪɟɛɢ ɬɟɥɶɫɤɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɢɥɢ ɩɨɥɟɡɧɨɫɬɶ ɞɥɹ ɩɨɬɪɟɛɢɬɟɥɹ

Ʉɪɢɜɚɹ ɩɨɬɪɟɛɢɬɟɥɶɫɤɨɝɨ ɛɸɞɠɟɬɚ - ɤɪɢɜɚɹ ɩɨɤɚɡɵ ɜɚɸɳɚɹ ɪɚɡɥɢɱɧɵɟ ɤɨɦɛɢɧɚɰɢɢ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜ ɞɜɭɯ ɬɨɜɚɪɨɜ ɤɨɬɨ ɪɵɟ ɩɨɬɪɟɛɢɬɟɥɶ ɦɨɠɟɬ ɤɭɩɢɬɶ ɩɪɢ ɞɚɧɧɨɦ ɭɪɨɜɧɟ ɟɝɨ ɞɟɧɟɠɧɨ ɝɨ ɞɨɯɨɞɚ

Ʉɪɢɜɚɹ ɩɪɨɢɡɜɨɞɫɬɜɟɧɧɵɯ ɜɨɡɦɨɠɧɨɫɬɟɣ - ɤɪɢɜɚɹ ɩɨ ɤɚɡɵɜɚɸɳɚɹ ɪɚɡɥɢɱɧɵɟ ɤɨɦɛɢɧɚɰɢɢ ɞɜɭɯ ɬɨɜɚɪɨɜ ɢɥɢ ɭɫɥɭɝ ɤɨɬɨɪɵɟ ɦɨɝɭɬ ɛɵɬɶ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɵ ɜ ɭɫɥɨɜɢɹɯ ɩɨɥɧɨɣ ɡɚɧɹɬɨɫɬɢ ɢ ɩɨɥɧɨɝɨ ɨɛɴɟɦɚ ɩɪɨɢɡɜɨɞɫɬɜɚ ɜ ɷɤɨɧɨɦɢɤɟ ɫ ɩɨɫɬɨɹɧɧɵɦɢ ɡɚ ɩɚɫɚɦɢ ɪɟɫɭɪɫɨɜ ɢ ɧɟɢɡɦɟɧɧɨɣ ɬɟɯɧɨɥɨɝɢɟɣ

Ʉɪɢɜɚɹ ɢɧɜɟɫɬɢɰɢɨɧɧɨɝɨ ɫɩɪɨɫɚ - ɤɪɢɜɚɹ ɩɨɤɚɡɵɜɚɸɳɚɹ ɞɢɧɚɦɢɤɭ ɩɪɨɰɟɧɬɧɨɣ ɫɬɚɜɤɢ ɢ ɨɛɴɟɦ ɢɧɜɟɫɬɢɰɢɣ ɩɪɢ ɪɚɡɧɵɯ ɩɪɨɰɟɧɬɧɵɯ ɫɬɚɜɤɚɯ

Ʉɪɢɜɚɹ Ɏɢɥɥɢɩɫɚ - ɤɪɢɜɚɹ ɩɨɤɚɡɵɜɚɸɳɚɹ ɫɭɳɟɫɬɜɨɜɚ ɧɢɟ ɭɫɬɨɣɱɢɜɨɣ ɫɜɹɡɢ ɦɟɠɞɭ ɭɪɨɜɧɟɦ ɛɟɡɪɚɛɨɬɢɰɵ ɢ ɭɪɨɜɧɟɦ ɢɧɮɥɹɰɢɢ

Ʉɪɢɜɚɹ Ʌɚɮɮɟɪɚ - ɤɪɢɜɚɹ ɩɨɤɚɡɵɜɚɸɳɚɹ ɫɜɹɡɶ ɦɟɠɞɭ ɫɬɚɜɤɚɦɢ ɧɚɥɨɝɨɜ ɢ ɧɚɥɨɝɨɜɵɦɢ ɩɨɫɬɭɩɥɟɧɢɹɦɢ ɜɵɹɜɥɹɸɳɚɹ ɬɚɤɭɸ ɧɚɥɨɝɨɜɭɸ ɫɬɚɜɤɭ ɩɪɢ ɤɨɬɨɪɨɣ ɧɚɥɨɝɨɜɵɟ ɩɨɫɬɭɩɥɟɧɢɹ ɞɨɫɬɢɝɚɸɬ ɦɚɤɫɢɦɭɦɚ

ɍɠɟ ɩɪɨɫɬɨɟ ɩɟɪɟɱɢɫɥɟɧɢɟ ɬɟɪɦɢɧɨɜ ɩɨɤɚɡɵɜɚɟɬ ɤɚɤ ɜɚɠɧɨ ɞɥɹ ɷɤɨɧɨɦɢɫɬɨɜ ɭɦɟɧɢɟ ɫɬɪɨɢɬɶ ɝɪɚɮɢɤɢ ɢ ɪɚɡɛɢɪɚɬɶɫɹ ɜ ɫɜɨɣɫɬɜɚɯ ɩɪɨɫɬɟɣɲɢɯ ɤɪɢɜɵɯ ɤɚɤɨɜɵɦɢ ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɩɪɹɦɵɟ ɥɢ ɧɢɢ ɢ ɤɪɢɜɵɟ ɜɬɨɪɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ - ɨɤɪɭɠɧɨɫɬɶ ɷɥɥɢɩɫ ɝɢɩɟɪɛɨɥɚ ɩɚɪɚɛɨɥɚ Ʉɪɨɦɟ ɬɨɝɨ ɩɪɢ ɪɟɲɟɧɢɢ ɛɨɥɶɲɨɝɨ ɤɥɚɫɫɚ ɡɚɞɚɱ ɬɪɟ

45

ɛɭɟɬɫɹ ɜɵɞɟɥɢɬɶ ɧɚ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ ɨɛɥɚɫɬɶ ɨɝɪɚɧɢɱɟɧɧɭɸ ɤɚɤɢɦɢɥɢɛɨ ɤɪɢɜɵɦɢ ɑɚɳɟ ɜɫɟɝɨ ɷɬɢ ɡɚɞɚɱɢ ɮɨɪɦɭɥɢɪɭɸɬɫɹ ɬɚɤ ɧɚɣɬɢ ɧɚɢɥɭɱɲɢɣ ɩɥɚɧ ɩɪɨɢɡɜɨɞɫɬɜɚ ɩɪɢ ɡɚɞɚɧɧɵɯ ɪɟɫɭɪɫɚɯ Ɂɚɞɚɧɢɟ ɪɟɫɭɪɫɨɜ ɢɦɟɟɬ ɨɛɵɱɧɨ ɜɢɞ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜ ɉɨɷɬɨɦɭ ɩɪɢ ɯɨɞɢɬɫɹ ɢɫɤɚɬɶ ɧɚɢɛɨɥɶɲɟɟ ɢɥɢ ɧɚɢɦɟɧɶɲɟɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɩɪɢɧɢ ɦɚɟɦɵɟ ɧɟɤɨɬɨɪɨɣ ɮɭɧɤɰɢɟɣ ɜ ɨɛɥɚɫɬɢ ɡɚɞɚɧɧɨɣ ɫɢɫɬɟɦɨɣ ɧɟ ɪɚɜɟɧɫɬɜ

4 Ɉɫɧɨɜɧɵɟ ɮɨɪɦɭɥɵ ɜ ɞɟɤɚɪɬɨɜɵɯ ɩɪɹɦɨɭɝɨɥɶɧɵɯ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɚɯ

ɉɪɢ ɪɟɲɟɧɢɢ ɡɚɞɚɱ ɚɧɚɥɢɬɢɱɟɫɤɨɣ ɝɟɨɦɟɬɪɢɢ ɛɭɞɟɦ ɢɫ ɩɨɥɶɡɨɜɚɬɶ ɞɟɣɫɬɜɢɹ ɧɚɞ ɜɟɤɬɨɪɚɦɢ ɡɚɞɚɧɧɵɦɢ ɜ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɧɨɣ

ɩɪɢ ɭɦɧɨɠɟɧɢɢ ɜɟɤɬɨɪɚ a ɧɚ ɱɢɫɥɨ Ȝ ɩɨɥɭɱɢɦ ɜɟɤɬɨɪ

a ax , ay ;

ɩɪɢ ɫɤɚɥɹɪɧɨɦ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɢ ɜɟɤɬɨɪɨɜ a ɢ b ɩɨ

ɥɭɱɢɦ ɱɢɫɥɨ a b ax bx ay by .

Ɋɚɫɫɬɨɹɧɢɟ ɦɟɠɞɭ ɞɜɭɦɹ ɬɨɱɤɚɦɢ

Ⱦɚɧɵ ɬɨɱɤɢ Ⱥ (xA, yA) ɢ ȼ xȼyȼ Ɋɚɫɫɬɨɹɧɢɟ ɦɟɠɞɭ ɧɢɦɢ

46

ɍɝɨɥ ɦɟɠɞɭ ɞɜɭɦɹ ɜɟɤɬɨɪɚɦɢ

Ⱦɚɧɵ ɞɜɚ ɜɟɤɬɨɪɚ a ax ,ay ɢ b bx ,by Ʉɨɫɢɧɭɫ ɭɝɥɚ ɦɟɠɞɭ ɧɢɦɢ

Ⱦɟɥɟɧɢɟ ɨɬɪɟɡɤɚ ɜ ɡɚɞɚɧɧɨɦ ɨɬɧɨɲɟɧɢɢ

ɉɭɫɬɶ ɞɚɧɵ ɬɨɱɤɢ Ⱥ xȺyȺ ɢ ȼ xȼyȼ Ɍɪɟɛɭɟɬɫɹ ɧɚɣɬɢ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɵ ɬɨɱɤɢ ɋ x, y ɞɟɥɹɳɟɣ ɨɬɪɟɡɨɤ Ⱥȼ ɜ ɡɚɞɚɧɧɨɦ ɨɬ ɧɨɲɟɧɢɢ Ȝ

Ⱦɥɹ ɪɟɲɟɧɢɹ ɡɚɞɚɱɢ ɜɨɫɩɨɥɶɡɭɟɦɫɹ ɞɟɣɫɬɜɢɟɦ ɭɦɧɨɠɟ ɧɢɹ ɜɟɤɬɨɪɚ ɧɚ ɱɢɫɥɨ ɉɟɪɟɩɢɲɟɦ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟ CBAC ɜ ɜɢɞɟ

|AC_ Ȝ_CB_ Ɍɚɤɨɟ ɫɨɨɬɧɨɲɟɧɢɟ ɞɥɢɧ ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɩɨɥɭɱɟɧɨ ɩɪɢ ɜɵɩɨɥɧɟɧɢɢ ɞɟɣɫɬɜɢɹ:

ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɵ ɫɟɪɟɞɢɧɵ ɨɬɪɟɡɤɚ ɧɚɯɨɞɹɬɫɹ ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɚɦ

ɍɫɥɨɜɢɹ ɩɚɪɚɥɥɟɥɶɧɨɫɬɢ ɢ ɩɟɪɩɟɧɞɢɤɭɥɹɪɧɨɫɬɢ ɜɟɤɬɨ

ɪɨɜ

47

Ɍɚɤ ɤɚɤ ɫɤɚɥɹɪɧɨɟ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɟ ɞɜɭɯ ɩɟɪɩɟɧɞɢɤɭɥɹɪɧɵɯ ɜɟɤɬɨɪɨɜ a ax ,ay ɢ b bx ,by ɪɚɜɧɨ ɬɨ ɭɫɥɨɜɢɟɦ ɩɟɪɩɟɧ

ɞɢɤɭɥɹɪɧɨɫɬɢ ɨɬɥɢɱɧɵɯ ɨɬ ɧɭɥɹ ɜɟɤɬɨɪɨɜ ɛɭɞɟɬ ɪɚɜɟɧɫɬɜɨ

axbx ayby 0.

ɟɦ ɜɟɤɬɨɪ b a ɨɞɧɨɝɨ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɹ ɫ a ɩɪɢ Ȝ! ɢ ɩɪɨɬɢɜɨɩɨ ɥɨɠɧɨɝɨ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɹ ɩɪɢ Ȝ ɇɨ ɜɫɟɝɞɚ ɜɟɤɬɨɪɵ a ɢ b ɛɭ ɞɭɬ ɩɚɪɚɥɥɟɥɶɧɵ

ɉɨɷɬɨɦɭ ɭɫɥɨɜɢɟɦ ɩɚɪɚɥɥɟɥɶɧɨɫɬɢ ɜɟɤɬɨɪɨɜ a ɢ b ɛɭɞɟɬ ɩɪɨɩɨɪɰɢɨɧɚɥɶɧɨɫɬɶ ɢɯ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɯ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ

ɉɪɢɦɟɪ ɇɚɣɬɢ ɞɥɢɧɭ ɦɟɞɢɚɧɵ ɋȿ ɜ ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢɤɟ Ⱥȼɋ ɫ ɜɟɪɲɢɧɚɦɢ Ⱥ (3,3), ȼ (–1,1), ɋ (0,1).

Ɋɟɲɟɧɢɟ Ɍɚɤ ɤɚɤ ȿ – ɫɟɪɟɞɢɧɚ ɨɬɪɟɡɤɚ Ⱥȼ ɬɨ ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɟɢɦɟɟɦ

ɤɚɤɢɟ ɩɟɪɩɟɧɞɢɤɭɥɹɪɧɵ ɦɟɠɞɭ ɫɨɛɨɣ"

Ɋɟɲɟɧɢɟ ȼɟɤɬɨɪɵ a ɢ b ɩɟɪɩɟɧɞɢɤɭɥɹɪɧɵ ɬɤ

a b 2 2 4 1 0. ȼɟɤɬɨɪɵ a ɢ d ɩɚɪɚɥɥɟɥɶɧɵ ɬ ɤ

a 2d .

ɉɪɢɦɟɪ. ɇɚɣɬɢ ɝɟɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɨɟ ɦɟɫɬɨ ɬɨɱɟɤ ɭɞɚɥɟɧɧɵɯ ɨɬ ɬɨɱɤɢ Ⱥ ɚ b ɧɚ ɨɞɧɨ ɢ ɬɨɠɟ ɪɚɫɫɬɨɹɧɢɟ R.

48

Ɋɟɲɟɧɢɟ ȿɫɥɢ Ɇ ɯ ɭ) – ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɚɹ ɬɨɱɤɚ ɢɫɤɨɦɨɝɨ ɝɟɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɨɝɨ ɦɟɫɬɚ ɬɨ ɜɫɟɝɞɚ _ȺɆ_ R ɢɥɢ

(x a)2 (y b)2 R ,

(ɯ-ɚ)2 + (ɭ-b)2 = R2 – ɢɫɤɨɦɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ

4. Ʌɢɧɢɢ ɢ ɢɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ

ɉɨɧɹɬɢɹ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɥɢɧɢɢ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɞɚɥɶɧɟɣɲɢɦ ɪɚɡɜɢɬɢɟɦ ɦɟɬɨɞɚ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ ȿɫɥɢ ɬɨɱɤɚ ɜ ɚɧɚɥɢɬɢɱɟɫɤɨɣ ɝɟɨɦɟɬɪɢɢ ɧɚ ɩɥɨɫ ɤɨɫɬɢ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɞɜɭɦɹ ɱɢɫɥɚɦɢ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɚɦɢ ɬɨɱɤɢ ɬɨ ɥɢɧɢɹ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟɦ ɫɜɹɡɵɜɚɸɳɢɦ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɵ ɥɸɛɨɣ ɬɨɱɤɢ ɥɢɧɢɢ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɥɢɧɢɢ ɋɨɫɬɚɜɥɟɧɢɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɥɢɧɢɢ ɡɚɤɥɸɱɚ ɟɬɫɹ ɜ ɚɥɝɟɛɪɚɢɱɟɫɤɨɣ ɡɚɩɢɫɢ ɫɜɨɣɫɬɜɚ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɸɳɟɝɨ ɷɬɭ ɥɢ ɧɢɸ ɤɚɤ ɝɟɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɨɟɦɟɫɬɨ ɬɨɱɟɤ

Ɍɨɱɤɚ ɩɟɪɟɫɟɱɟɧɢɹ ɞɜɭɯ ɥɢɧɢɣ ɡɚɞɚɧɧɵɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹɦɢ ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɧɚɣɞɟɧɚ ɩɭɬɟɦ ɪɟɲɟɧɢɹ ɫɢɫɬɟɦɵ ɨɛɪɚɡɨɜɚɧɧɨɣ ɢɡ ɷɬɢɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ

ɇɚ ɩɪɢɦɟɪɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɨɤɪɭɠɧɨɫɬɢ ɯ–ɚ)2 + (ɭ–b)2 = R2 ɜɢɞɧɨ ɱɬɨ ɤɪɨɦɟ ɬɟɤɭɳɢɯ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ ɯ ɢ ɭ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɦɨɠɟɬ ɫɨ ɞɟɪɠɚɬɶ ɟɳɟ ɢ ɧɟɤɨɬɨɪɵɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɨɫɬɚɸɳɢɟɫɹ ɧɟɢɡɦɟɧɧɵɦɢ ɞɥɹ ɞɚɧɧɨɣ ɮɢɤɫɢɪɨɜɚɧɧɨɣ ɥɢɧɢɢ ɧɨ ɢɡɦɟɧɹɸɳɢɟɫɹ ɩɪɢ ɩɟɪɟɯɨ ɞɟ ɤ ɞɪɭɝɨɣ ɥɢɧɢɢ ɬɨɝɨ ɠɟ ɬɢɩɚ ȼ ɧɚɲɟɦ ɩɪɢɦɟɪɟ ɷɬɨ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɚ, b ɢ R ɢɦɟɸɳɢɟ ɞɥɹ ɤɚɠɞɨɣ ɨɤɪɭɠɧɨɫɬɢ ɫɜɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ Ɍɚɤɢɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚɦɢ ɨɧɢ ɨɩɪɟɞɟɥɹɸɬ ɮɨɪɦɭ ɢ ɪɚɡɦɟɪɵ ɥɢɧɢɢ ɧɚɩɪɢɦɟɪ ɩɚɪɚɦɟɬɪ R ɜ ɭɪɚɜɧɟɧɢɢ ɨɤɪɭɠɧɨɫɬɢ ɚ ɬɚɤɠɟ ɩɨɥɨɠɟɧɢɟ ɟɟ ɧɚ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɫɢɫɬɟɦɵ ɤɨɨɪ ɞɢɧɚɬ ɤɚɤ ɧɚɩɪɢɦɟɪ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɵ ɚ ɢ b ɰɟɧɬɪɚ ɨɤɪɭɠɧɨɫɬɢ

ɉɪɢɦɟɪ. ɇɚɣɬɢ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɥɢɧɢɢ ɤɚɠɞɚɹ ɬɨɱɤɚ ɤɨɬɨɪɨɣ ɪɚɜɧɨɭɞɚɥɟɧɚ ɨɬ ɩɪɹɦɨɣ ɯ = – ɢ ɬɨɱɤɢ F (2,3).

Ɋɟɲɟɧɢɟ ɉɭɫɬɶ Ɇ ɯ ɭ) – ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɚɹ ɬɨɱɤɚ ɢɫɤɨɦɨɣ

ɥɢɧɢɢ

Ɋɚɫɫɬɨɹɧɢɟ ɨɬ ɬɨɱɤɢ Ɇ ɞɨ ɩɪɹɦɨɣ ɯ = – ɟɫɬɶ ɞɥɢɧɚ ɩɟɪɩɟɧ ɞɢɤɭɥɹɪɚ MN, ɨɩɭɳɟɧɧɨɝɨ ɢɡ Ɇ ɧɚ ɩɪɹɦɭɸ Ɉɩɪɟɞɟɥɢɦ ɤɨɨɪɞɢɧɚ ɬɵ ɬɨɱɤɢ N Ɉɱɟɜɢɞɧɨ ɱɬɨ ɚɛɫɰɢɫɫɚ ɬɨɱɤɢ N ɪɚɜɧɚ – ɚ ɨɪɞɢɧɚɬɚ ɬɨɱɤɢ N ɪɚɜɧɚ ɨɪɞɢɧɚɬɟ ɬɨɱɤɢ Ɇ ɬɟ N(–2,ɭ ɉɨ ɭɫɥɨɜɢɸ ɡɚɞɚɱɢ

49

|MN|=|MF_ ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ ɞɥɹ ɥɸɛɨɣ ɬɨɱɤɢ Ɇ ɯ ɭ ɩɪɢɧɚɞɥɟɠɚ ɳɟɣ ɢɫɤɨɦɨɣɥɢɧɢɢ ɫɩɪɚɜɟɞɥɢɜɨ ɪɚɜɟɧɫɬɜɨ

(x 2)2 (y y)2 (x 2)2 (y 3)2

4 ɍɪɚɜɧɟɧɢɟ ɩɪɹɦɨɣ ɥɢɧɢɢ ɜ ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɟ R2

ȼ ɞɟɤɚɪɬɨɜɨɣ ɫɢɫɬɟɦɟ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ ɩɪɹɦɚɹ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɚ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟɦ ɩɟɪɜɨɣ ɫɬɟɩɟɧɢ ɢ ɧɚɨɛɨɪɨɬ ɜɫɹɤɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɩɟɪ ɜɨɣ ɫɬɟɩɟɧɢ Ⱥɯ+ȼɭ+ɋ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɟɬ ɧɟɤɨɬɨɪɭɸ ɩɪɹɦɭɸ Ɋɚɡ ɥɢɱɧɵɟ ɜɢɞɵ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɩɪɹɦɨɣ ɫ ɭɝɥɨɜɵɦ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɨɦ ɤɚɧɨɧɢɱɟɫɤɨɟ ɢ ɬ ɩ ɹɜɥɹɸɬɫɹ

50