Математика для менеджеров. Часть I. Учебное пособие

21.

26

24

21

10

5

9

3

22.

24

26

30

7

10

10

4

23.

29

23

23

5

8

9

3

24.

23

26

27

10

6

6

2

25.

27

26

22

10

7

7

3

26.

29

21

30

8

6

6

3

27.

22

23

28

7

9

6

2

28.

24

25

28

7

5

5

3

29.

24

25

24

6

6

7

2

30.

26

28

24

8

5

6

3

1)

lim

2x2

3x

1

ɩɪɢ ɚ)ɯ0

2,

ɛ)ɯ0 1,

ɜ)ɯ0 ;

2x2

5x 3

x x0

2)lim

ɯ 3 1

lim

arctg2x

2x

3 x 1

;

3)

;

4)

lim

.

x 4

16 x2

x 0

4x

x

2x

1

ȼɚɪɢɚɧɬ

1)

lim

3x2 14x 5

ɩɪɢ

ɚ)ɯ0 1,

ɛ)ɯ0 5,

ɜ)ɯ0 ;

x2 2x 15

x x0

2 4x

ɯ 3 2

x2 ctg 2x

4x

2)lim

;

3)

lim

;

4)

lim

.

x 1

x 1

x 0

sin3x

x

4x

1

ȼɚɪɢɚɧɬ

1)

lim

x2 x 2

ɩɪɢ

ɚ)ɯ0 2,

ɛ)ɯ0

1,

ɜ)ɯ0

;

2x2 x 1

x x0

2 2x 1

1 ɯ 1

x

3) limx ctg

x

2)

lim

;

2

;

4)

lim 1

.

x 0

4x

x 0

x

x 3

ȼɚɪɢɚɧɬ

1)

lim

x2

7x

10

ɩɪɢ

ɚ)ɯ0 1, ɛ)ɯ0

2,

ɜ)ɯ0 ;

2x2

9x 10

x x0

2)lim

x 3

lim

sin 2x

3x

1 x 1

;

3)

;

4)

lim

.

x 3

x 1 2

x 0

sin x

x 3x

2

ȼɚɪɢɚɧɬ

1)

lim

2x2 7x

4

ɩɪɢ ɚ)ɯ0 1,

ɛ)ɯ0 4,

ɜ)ɯ0 ;

2x2 13x

20

x x0

2 2x 1

2)

ɯ 3 3

lim

sin x

5x

lim

;

3)

;

4)

lim

.

x 6

x 6

x 0

arcsin x

x 5x

3

1)

lim

2x2

x 10

ɩɪɢ

ɚ)ɯ0

1,

ɛ)ɯ0 2,

ɜ)ɯ0

;

x

2

x 2

x x0

9x 4 x

lim

x

limsin 2x ctg x ;

2)

;

3)

4)

lim

.

x 0 2

x 4

x

0

x

9x 1

ȼɚɪɢɚɧɬ

1)

lim

2x

2

7x 4

ɩɪɢ

ɚ)ɯ0 1,

ɛ)ɯ0

4,

ɜ)ɯ0 ;

2x

2

13x

20

x x0

x 3 2x 1

lim

1 x

2

lim

sin3x

2)

;

3)

;

4)

lim

.

x 1 1

x

x

0

tg5x

x x 2

ȼɚɪɢɚɧɬ

1)

lim

x2

4x 21

ɩɪɢ

ɚ)ɯ0

2,

ɛ)ɯ0 3,

ɜ)ɯ0

;

2x

2

7x 3

x x0

x 3

1

ɯ

1

2(1 cosx)

x

2)

lim

;

3)

lim

;

4)

lim

.

x 0

x

x

0

x2

x x 1

ȼɚɪɢɚɧɬ

1)

lim

x

2 25

ɩɪɢ

ɚ)ɯ0 3,

ɛ)ɯ0 5,

ɜ)ɯ0

;

x2

8x 15

x x0

1

x 1

3) limsin3x ctg5x ;

3 2x

x

2)lim

;

4)

lim

.

x

x 0

x 0

x

1 2x

ȼɚɪɢɚɧɬ

Ɏɭɧɤɰɢɹ

ȼɚɪɢ

Ɏɭɧɤɰɢɹ

ɚɧɬ

3

˒˓ˋ ݔ < 0,

0˒˓ˋ ݔ < 0,

1.

16.

(ݔ) = ݔ

ݔ

(ݔ) = ݔ

+ 2˒˓ˋ 0 ݔ < 1,

˒˓ˋ 0 ݔ < 2,

2ݔ ˒˓ˋ ݔ 2.

4 ݔ ˒˓ˋ ݔ 1.

2.

1

˒˓ˋ ݔ < 0,

17.

2ݔ ˒˓ˋ ݔ < 0,

(ݔ) = ݔ

+ 1˒˓ˋ 0 ݔ 1,

(ݔ) = ݔ

˒˓ˋ 0 ݔ 1,

2ݔ ˒˓ˋ ݔ > 1.

2ݔ ˒˓ˋ ݔ > 1.

3.

2ݔ ˒˓ˋ ݔ < 0,

18.

(ݔ) =

ݔ ˒˓ˋ ݔ < 1,

(ݔ) = ݔ ˒˓ˋ 0 < ݔ 1,

ݔ ˒˓ˋ 1 ݔ < 2,

ݔ + 1 ˒˓ˋ ݔ > 1.

4 ݔ ˒˓ˋ ݔ > 2.

4.

ݔ

+ 1˒˓ˋ ݔ 1,

19.

ݔ ˒˓ˋ ݔ 0,

˒˓ˋ 0 < ݔ 2,

(ݔ) = 2ݔ ˒˓ˋ 1 < ݔ 3,

(ݔ) = ݔ

ݔ + 2 ˒˓ˋ ݔ > 3.

ݔ + 1 ˒˓ˋ ݔ > 2.

5.

ݔ

˒˓ˋ ݔ < 0,

20.

ݔ

˒˓ˋ ݔ < 0,

1

1

(ݔ) = ݔ 2 ˒˓ˋ 0 ݔ 2,

(ݔ) = ݔ + ˒˓ˋ 0 ݔ 4,

0˒˓ˋ ݔ > 2.

ݔ + 3 ˒˓ˋ ݔ > 4.

6.

0˒˓ˋ ݔ < 0,

21.

ξ

1 ݔ

˒˓ˋ ݔ 0,

(ݔ) = 2ݔ ˒˓ˋ 0 ݔ 1,

(ݔ) = 0˒˓ˋ 0 < ݔ 2,

2 ݔ ˒˓ˋ ݔ > 1.

ݔ 2 ˒˓ˋ ݔ > 2.

7.

(ݔ) =

ݔ

ݔ ˒˓ˋ ݔ < 0,

22.

ݔ + 1˒˓ˋ ݔ < 0,

˒˓ˋ 0 ݔ < 2,

(ݔ) = (ݔ + 1) ˒˓ˋ0 < ݔ 2,

3 ˒˓ˋ ݔ > 2.

ݔ + 4 ˒˓ˋ ݔ > 2.

8.

1

˒˓ˋ ݔ < 0,

23.

ݔ ˒˓ˋ ݔ < 1,

(ݔ) =

ݔ

(ݔ) = ݔ 2˒˓ˋ 1 ݔ < 3,

ݔ ˒˓ˋ 0 < ݔ 1,

4 ݔ ˒˓ˋ ݔ 3.

ݔ + 1 ˒˓ˋ ݔ > 1.

1

9.

(ݔ) =

ݔ

0˒˓ˋ ݔ < 0,

24.

ݔ

˒˓ˋ ݔ < 0,

˒˓ˋ 0 ݔ < 2,

(ݔ) = ݔ

˒˓ˋ 0 ݔ 2,

2+ ݔ ˒˓ˋ ݔ > 2.

ݔ 4 ˒˓ˋ ݔ > 2.

10.

ݔ

ݔ + 1˒˓ˋ ݔ < 0,

25.

2ݔ 2 ˒˓ˋ ݔ 1,

(ݔ) =

1˒˓ˋ 0 ݔ 1,

(ݔ) = ݔ

˒˓ˋ 1 < ݔ < 0,

1

ݔ

˒˓ˋ ݔ > 1.

ݔ ˒˓ˋ ݔ 0.

ȼɚɪɢɚɧɬ

Ɏɭɧɤɰɢɹ

ȼɚɪɢ

Ɏɭɧɤɰɢɹ

ɚɧɬ

ݔ + 4 ˒˓ˋ ݔ < 1,

2

˒˓ˋ ݔ < 0,

11.

(ݔ) = ݔ

26.

(ݔ) = ݔ

ݔ

+ 2 ˒˓ˋ 1 ݔ < 1,

˒˓ˋ 0 ݔ 1,

2ݔ ˒˓ˋ ݔ 1.

ݔ ˒˓ˋ ݔ > 1.

12.

2ݔ ˒˓ˋ ݔ < 0,

27.

ݔ

(ݔ) =

1˒˓ˋ ݔ < 0,

ݔ ˒˓ˋ 0 ݔ < 1,

(ݔ) = ݔ ˒˓ˋ 0 ݔ 2,

ݔ ˒˓ˋ ݔ > 1.

4 ˒˓ˋ ݔ > 2.

ݔ + 2 ˒˓ˋ ݔ 1,

1

˒˓ˋ ݔ < 0,

13.

(ݔ) = ݔ

28.

(ݔ) = ݔ

ݔ

+ 1 ˒˓ˋ 1 < ݔ 1,

˒˓ˋ 0 ݔ < 2,

3 ݔ ˒˓ˋ ݔ > 1.

2+ ݔ ˒˓ˋ ݔ > 2.

14.

(ݔ) =

1

˒˓ˋ ݔ < 0,

29.

.

˒˓ˋ ݔ < 0,

ݔ

(ݔ) =

˒˓ˋ0

ݔ < 2,

ݔ ˒˓ˋ 0 ݔ < 2,

(ݔ 1)

ݔ 3 ˒˓ˋ ݔ 2.

ݔ + 1 ˒˓ˋ ݔ 2.

2

˒˓ˋ ݔ < 0,

ݔ

+ 1˒˓ˋ ݔ < 1,

15.

(ݔ) = ݔ

ݔ

30.

2˒˓ˋ 0 ݔ < 3,

(ݔ) = 2˒˓ˋ 1 > ݔ 2,

3+ ݔ ˒˓ˋ ݔ 3.

3ݔ ˒˓ˋ ݔ > 2.

Ɂɚɞɚɧɢɟ 13

1. ɋɨɫɬɚɜɢɬɶ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɤɚɫɚɬɟɥɶɧɨɣ ɢ ɧɨɪɦɚɥɢ ɤ ɝɪɚɮɢɤɭ

ɮɭɧɤɰɢɢ

ݕ = ݔ

+

ɩɪɨɯɨɞɹɳɟɣ ɱɟɪɟɡ ɬɨɱɤɭ

ɫ ɚɛɫɰɢɫɫɨɣ

ݔ

.

ɋɞɟɥɚɬɶ

ɱɟɪɬɟɠ

ȼɚ

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

ɪɢ

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

ɚɧɬ

1

2

1

-1

3

-2

1

2

-3

1

2

-1

1

2

2

2

1

-1

2

0

-2

0

0

1

1-

3

1

2

1

1

3

-1

1

2

1

1

-2

1

1

-1

1

1

1

1

-2

ݔ

2.

Ɍɟɥɨ ɞɜɢɠɟɬɫɹ ɩɪɹɦɨɥɢɧɟɣɧɨ ɩɨ ɡɚɤɨɧɭ

Ɉɩɪɟɞɟɥɢɬɶ ɫɤɨɪɨɫɬɶ ɢ ɭɫɤɨɪɟɧɢɟ ɩɪɢ

ɡɚɞɚɧɧɨɦ

ݐ

ݐ + 1

ݐ .

ȼɚ

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

ɪɢ

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

ɚɧɬ

2

1

-1

3

-2

1

2

-3

1

2

2

-1

1

2

2

1

-1

2

0

-2

0

0

1

1

3

3

1

2

1

1

ݐ

3

2

2

1

1

2

1

1

2

1

1

1

1

1

-2

ȼɚ

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

ɪɢ

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

ɚɧɬ

2

1

1

3

2

1

2

3

1

2

2

1

1

2

2

1

1

2

0

2

0

0

1

1

3

3

1

2

1

1

3

4

2

1

1

5

1

1

2

1

1

1

1

1

-2

˔

30 55

62

23 85

56

45

74

65

84

25

24

22

35

32

5

10

15

5

20

25

15

30

40

35

12

5

7

12

15

ݔ

ȼɚɪɢɚɧɬ

ɚ y arcsin

2x ;

ɜ y (x3 20)sinx.

ȼɚɪɢɚɧɬ

ɚ y ln cosx ;

ɛ y tgx3 .

ȼɚɪɢɚɧɬ

sin x cosx

ɚ y

arctgx

;

ɜ y

.

x2

x

ȼɚɪɢɚɧɬ

cos4x

ɚ y lnx e x ;

ɛ y

.

ȼɚɪɢɚɧɬ

sin x

ɚ y esin 2x

ln x ;

ɛ y

sin4x tgx .

ȼɚɪɢɚɧɬ

ɚ y e x lnx ;

ɛ y (1 x2 )arctgx .

ȼɚɪɢɚɧɬ

ɚ y 2x2 arctg

x ; ɛ y x cos3x .

ȼɚɪɢɚɧɬ

arctgx

ɚ y ln(x2 5x ex ) ;

ɛ y

.

2x x

ȼɚɪɢɚɧɬ

Ɏɭɧɤɰɢɹ

ȼɚɪɢɚɧɬ

Ɏɭɧɤɰɢɹ

ȼɚɪɢɚɧɬ

Ɏɭɧɤɰɢɹ

1

y

x2

11

y

x2 1

21

y

3

2 x2

x 5

x2 9

2

y

2x2

12

y

x2 3

22

y ex x

2x 3

x2 3

3

y

x2

13

y

x2 4

23

y

x2 1

x 1

x2 1

2x2 1

4

y

1

14

y

x2 12

24

y

x2 4

x2 1

x2 1

x 2

5

y

1

15

y

x2

1

25

y

x2 3

x

1 x2

x2