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Башкирский Государственный Аграрный Университет

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[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

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Математика для менеджеров. Часть I. Учебное пособие

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		11		20							4					5					6			8		14			10				2
	2		3				1						2						3				1		2		3					1
	2		3	34			1						2		34				3		34		1	34	2	34	3					1	34
		34		34						34					34						34			34		34			34				34
		11		20							4					5					6			8		14		10					2
	0		1				5						0						1				5		0		1				5
	0		1				5						0						1				5		0		1				5
		34		34							34				34						34			34		34		34					34
		34		34							34				34						34			34		34		34					34
		11		20							4					5					6			8		14				10			2
	4		2			1							4						2				1		4		2					1
	4		2	34		1							4		34				2				1	34	4	34	2					1	34
		34		34							34				34							34		34		34				34			34
																1			0	0
																	0		1	0
																	0		1	0	E.
																	0		0	1
																	0		0	1
						1		11						5					14
Ɉɬɜɟɬ A			1			1			20				6					10
																						.
					34																	.
					34				4				8						2
									4				8						2
						1.5 Ɋɚɧɝ ɦɚɬɪɢɰɵ
Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɩɪɹɦɨɭɝɨɥɶɧɭɸ ɦɚɬɪɢɰɭ
											a	11	a	12		...a			1n
												11		12					1n
							A				a	21a22...a2n
							A								...						.
															...

											am1am2...amn

ȿɫɥɢ ɜɵɛɪɚɬɶ ɜ ɷɬɨɣ ɦɚɬɪɢɰɟ ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɵɦ ɨɛɪɚɡɨɦ k ɫɬɪɨɤ ɢ k ɫɬɨɥɛɰɨɜ ɝɞɟ k PLQ m, n ɬɨ ɷɥɟɦɟɧɬɵ ɫɬɨɹɳɢɟ ɧɚ ɩɟɪɟɫɟɱɟɧɢɢ ɷɬɢɯ ɫɬɪɨɤ ɢ ɫɬɨɥɛɰɨɜ ɨɛɪɚɡɭɸɬ ɤɜɚɞɪɚɬɧɭɸ ɦɚɬ ɪɢɰɭ ɩɨɪɹɞɤɚ k Ɉɩɪɟɞɟɥɢɬɟɥɶ ɷɬɨɣ ɦɚɬɪɢɰɵ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɦɢɧɨ ɪɨɦ N-ɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ ɦɚɬɪɢɰɵ Ⱥ.

Ɋɚɧɝ ɦɚɬɪɢɰɵ– ɷɬɨ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɵɣ ɩɨɪɹɞɨɤ ɧɟ ɪɚɜɧɨɝɨ ɧɭɥɸ ɦɢɧɨɪɚ ɦɚɬɪɢɰɵ

ɂɧɵɦɢ ɫɥɨɜɚɦɢ ɪɚɧɝ ɦɚɬɪɢɰɵ Ⱥ ɪɚɜɟɧ r PLQ m, n),

ɟɫɥɢ

ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɯɨɬɹ ɛɵ ɨɞɢɧ ɦɢɧɨɪ r-ɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ ɦɚɬɪɢɰɵ Ⱥ ɧɟ ɪɚɜɧɵɣ ɧɭɥɸ

ɜɫɟ ɦɢɧɨɪɵ ɩɨɪɹɞɤɚ r ɢ ɜɵɲɟ ɪɚɜɧɵ ɧɭɥɸ ɢɥɢ ɧɟ ɫɭɳɟɫɬɜɭɸɬ

Ɋɚɧɝ ɧɭɥɟɜɨɣ ɦɚɬɪɢɰɵ ɦɚɬɪɢɰɵ ɫɨɫɬɨɹɳɟɣ ɢɡ ɧɭɥɟɣ ɫɱɢɬɚɟɬɫɹ ɪɚɜɧɵɦ ɧɭɥɸ

Ɋɚɡɧɨɫɬɶ PLQ m, n) – r ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɞɟɮɟɤɬɨɦ ɦɚɬɪɢɰɵ. ȿɫɥɢ ɞɟɮɟɤɬ ɦɚɬɪɢɰɵ ɪɚɜɟɧ ɧɭɥɸ ɬɨ ɦɚɬɪɢɰɚ ɢɦɟɟɬ

ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɨ ɜɨɡɦɨɠɧɵɣ ɪɚɧɝ ɉɪɢɦɟɪ Ɉɩɪɟɞɟɥɢɬɶ ɪɚɧɝ ɦɚɬɪɢɰɵ

3		1	1	0	4
	2	1	3	4	2

A .	1	0	2	2	3	.

	2	3	3	4	1

Ɋɟɲɟɧɢɟ Ʌɟɜɵɣ ɦɢɧɨɪ ɱɟɬɜɟɪɬɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ ɞɚɧɧɨɣ ɦɚɬ ɪɢɰɵ ɪɚɜɟɧ

3	1	1	0	4
3	1	1	0	4
2	1	3	4	2	8.
1	0	2	2	3
2	3	3	4	1

ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ ɪɚɧɝ ɦɚɬɪɢɰɵ ɪɚɜɟɧ ȼ ɨɛɳɟɦ ɫɥɭɱɚɟ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɪɚɧɝɚ ɦɚɬɪɢɰɵ ɩɟɪɟɛɨɪɨɦ

ɜɫɟɯ ɦɢɧɨɪɨɜ ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨ ɬɪɭɞɨɟɦɤɨ Ⱦɥɹ ɨɛɥɟɝɱɟɧɢɹ ɷɬɨɣ ɡɚɞɚ ɱɢ ɢɫɩɨɥɶɡɭɸɬɫɹ ɩɪɟɨɛɪɚɡɨɜɚɧɢɹ ɫɨɯɪɚɧɹɸɳɢɟ ɪɚɧɝ ɦɚɬɪɢɰɵ

1.6 Ɍɟɨɪɟɦɚ ɨ ɧɟɢɡɦɟɧɧɨɫɬɢ ɪɚɧɝɚ ɦɚɬɪɢɰɵ ɩɪɢ ɟɟ ɷɥɟɦɟɧɬɚɪɧɵɯ ɩɪɟɨɛɪɚɡɨɜɚɧɢɹɯ

ɗɥɟɦɟɧɬɚɪɧɵɟ ɩɪɟɨɛɪɚɡɨɜɚɧɢɹ ɦɚɬɪɢɰ

1)Ɉɬɛɪɚɫɵɜɚɧɢɟ ɧɭɥɟɜɨɣ ɫɬɪɨɤɢ ɫɬɨɥɛɰɚ

2)ɍɦɧɨɠɟɧɢɟ ɜɫɟɯ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɫɬɪɨɤɢ ɫɬɨɥɛɰɚ ɦɚɬɪɢɰɵ ɧɚ ɱɢɫɥɨ ɧɟ ɪɚɜɧɨɟ ɧɭɥɸ

3)ɂɡɦɟɧɟɧɢɟ ɩɨɪɹɞɤɚ ɫɬɪɨɤ ɫɬɨɥɛɰɨɜ ɦɚɬɪɢɰɵ

4)ɉɪɢɛɚɜɥɟɧɢɟ ɤ ɤɚɠɞɨɦɭ ɷɥɟɦɟɧɬɭ ɨɞɧɨɣ ɫɬɪɨɤɢɫɬɨɥɛɰɚ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɯ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɞɪɭɝɨɣ ɫɬɪɨɤɢɫɬɨɥɛɰɚ ɭɦɧɨɠɟɧɧɵɯ ɧɚ ɥɸɛɨɟ ɱɢɫɥɨ

5)Ɍɪɚɧɫɩɨɧɢɪɨɜɚɧɢɟ ɦɚɬɪɢɰɵ

Ɇɚɬɪɢɰɚ Ⱥ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɫɬɭɩɟɧɱɚɬɨɣ ɟɫɥɢ ɨɧɚ ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ

a		a	....a	..a
	11	12	1r	1k
	0	a22 ....a2r ...a2k			, ɝɞɟaii 0,i 1,2,...,r; r k .
A					, ɝɞɟaii 0,i 1,2,...,r; r k .
...
	0	0.	...arr ...ark
	0	0.	...arr ...ark

Ɍɟɨɪɟɦɚ Ɋɚɧɝ ɦɚɬɪɢɰɵ ɧɟ ɢɡɦɟɧɹɟɬɫɹ ɩɪɢ ɷɥɟɦɟɧɬɚɪɧɵɯ ɩɪɟɨɛɪɚɡɨɜɚɧɢɹɯ ɦɚɬɪɢɰɵ ɢ ɪɚɜɟɧ ɱɢɫɥɭ ɧɟɧɭɥɟɜɵɯ ɫɬɪɨɤ ɫɬɭ ɩɟɧɱɚɬɨɣ ɦɚɬɪɢɰɵ ɩɨɥɭɱɟɧɧɨɣ ɢɡ ɞɚɧɧɨɣ ɩɭɬɟɦ ɷɥɟɦɟɧɬɚɪɧɵɯ ɩɪɟɨɛɪɚɡɨɜɚɧɢɣ

1.7 ɂɫɩɨɥɶɡɨɜɚɧɢɟ ɦɚɬɪɢɰ ɜ ɷɤɨɧɨɦɢɤɟ

ɉɨɧɹɬɢɟ ɦɚɬɪɢɰɵ ɱɚɫɬɨ ɢɫɩɨɥɶɡɭɟɬɫɹ ɜ ɩɪɚɤɬɢɱɟɫɤɨɣ ɞɟ ɹɬɟɥɶɧɨɫɬɢ ɇɚɩɪɢɦɟɪ ɞɚɧɧɵɟ ɨ ɜɵɩɭɫɤɟ ɩɪɨɞɭɤɰɢɢ ɧɟɫɤɨɥɶɤɢɯ ɜɢɞɨɜ ɜ ɤɚɠɞɨɦ ɤɜɚɪɬɚɥɟ ɝɨɞɚ ɢɥɢ ɧɨɪɦɵ ɡɚɬɪɚɬ ɧɟɫɤɨɥɶɤɢɯ ɜɢ ɞɨɜ ɪɟɫɭɪɫɨɜ ɧɚ ɩɪɨɢɡɜɨɞɫɬɜɨ ɩɪɨɞɭɤɰɢɢ ɧɟɫɤɨɥɶɤɢɯ ɬɢɩɨɜ ɭɞɨɛɧɨ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɜ ɜɢɞɟ ɦɚɬɪɢɰ

ɉɪɢɦɟɪ ȼ ɧɟɤɨɬɨɪɨɣ ɨɬɪɚɫɥɢ m ɡɚɜɨɞɨɜ ɜɵɩɭɫɤɚɸɬ n ɜɢɞɨɜ ɩɪɨɞɭɤɰɢɢ Ɇɚɬɪɢɰɚ A mxnɡɚɞɚɟɬ ɨɛɴɟɦɵ ɩɪɨɞɭɤɰɢɢ ɧɚ

ɤɚɠɞɨɦ ɡɚɜɨɞɟ ɜ ɩɟɪɜɨɦ ɤɜɚɪɬɚɥɟ ɦɚɬɪɢɰɚ B mxn– ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɟɧ

ɧɨ ɜɨ ɜɬɨɪɨɦ a ij, b ij) – ɨɛɴɟɦɵ ɩɪɨɞɭɤɰɢɢ j-ɝɨ ɬɢɩɚ ɧɚ i-ɦ ɡɚ ɜɨɞɟ ɜ -ɦ ɢ -ɦ ɤɜɚɪɬɚɥɚɯ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɟɧɧɨ

2		3	7	3		0	2
	1	2	2		2	4	1

A	4	1	5	B	4	3	2	.

	2	1	3		5	2	4

ɇɚɣɬɢ

a)ɨɛɴɟɦɵ ɩɪɨɞɭɤɰɢɢ

b)ɩɪɢɪɨɫɬ ɨɛɴɟɦɨɜ ɩɪɨɢɡɜɨɞɫɬɜɚ ɜɨ ɜɬɨɪɨɦ ɤɜɚɪɬɚɥɟ ɩɨ ɫɪɚɜɧɟɧɢɸ ɫ ɩɟɪɜɵɦ ɩɨ ɜɢɞɚɦ ɩɪɨɞɭɤɰɢɢ ɢ ɡɚɜɨɞɚɦ

c)ɫɬɨɢɦɨɫɬɧɨɟ ɜɵɪɚɠɟɧɢɟ ɜɵɩɭɳɟɧɧɨɣ ɩɪɨɞɭɤɰɢɢ ɡɚ ɩɨɥɝɨɞɚ ɜ ɞɨɥɥɚɪɚɯ ɟɫɥɢ Ȝ – ɤɭɪɫ ɞɨɥɥɚɪɚ ɩɨ ɨɬɧɨɲɟɧɢɸ ɤ ɪɭɛɥɸ

Ɋɟɲɟɧɢɟ

a)Ɉɛɴɟɦɵ ɩɪɨɞɭɤɰɢɢ ɡɚ ɩɨɥɭɝɨɞɢɟ ɨɩɪɟɞɟɥɹɸɬɫɹ

ɫɭɦɦɨɣ ɦɚɬɪɢɰ A	ɢ	B
5		3	9
	3	6	3
	3	6	3	ɝɞɟ c ij=a ij+b ij – ɨɛɴɟɦ ɩɪɨɞɭɤ
C A B	8	4	7
	8	4	7
	7	3	7
	7	3	7

ɰɢɢ j-ɝɨ ɬɢɩɚ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɧɨɣ ɡɚ ɩɨɥɭɝɨɞɢɟ i-ɦ ɡɚɜɨɞɨɦ

b)ɩɪɢɪɨɫɬ ɜɨ ɜɬɨɪɨɦ ɤɜɚɪɬɚɥɟ ɩɨ ɫɪɚɜɧɟɧɢɸ ɫ ɩɟɪɜɵɦ

	1		3	5
		1	2	1
ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɪɚɡɧɨɫɬɶɸ ɦɚɬɪɢɰ					.
	D B A	0	2	3

		3	1	1

Ɉɬɪɢɰɚɬɟɥɶɧɵɟ ɷɥɟɦɟɧɬɵ dij ɩɨɤɚɡɵɜɚɸɬ ɱɬɨ ɧɚ ɞɚɧɧɨɦ ɡɚɜɨɞɟ i ɨɛɴɟɦ ɩɪɨɢɡɜɨɞɫɬɜɚ j-ɝɨ ɩɪɨɞɭɤɬɚ ɭɦɟɧɶɲɢɥɫɹ ɩɨɥɨɠɢ ɬɟɥɶɧɵɟ dij – ɭɜɟɥɢɱɢɥɫɹ ɧɭɥɟɜɵɟ dij – ɧɟ ɢɡɦɟɧɢɥɫɹ

c) ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɟ ȜC =Ȝ( A B ɞɚɟɬ ɜɵɪɚɠɟɧɢɟ ɫɬɨɢ ɦɨɫɬɢ ɨɛɴɟɦɨɜ ɩɪɨɢɡɜɨɞɫɬɜɚ ɡɚ ɤɜɚɪɬɚɥ ɜ ɞɨɥɥɚɪɚɯ ɩɨ ɤɚɠɞɨɦɭ ɡɚɜɨɞɭ ɢ ɤɚɠɞɨɦɭ ɩɪɟɞɩɪɢɹɬɢɸ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɭɸ ɦɚɬɪɢɰɭ ɧɟ ɜɵɩɢɫɵɜɚɟɦ

ɉɪɢɦɟɪ ɉɪɟɞɩɪɢɹɬɢɟ ɩɪɨɢɡɜɨɞɢɬ n ɬɢɩɨɜ ɩɪɨɞɭɤɰɢɢ ɢɫɩɨɥɶɡɭɹ m ɜɢɞɨɜ ɪɟɫɭɪɫɨɜ ɇɨɪɦɵ ɡɚɬɪɚɬ ɪɟɫɭɪɫɚ i – ɝɨ ɬɨɜɚɪɚ ɧɚ ɩɪɨɢɡɜɨɞɫɬɜɨ ɟɞɢɧɢɰɵ ɩɪɨɞɭɤɰɢɢ j-ɝɨ ɬɢɩɚ ɡɚɞɚɧɚ ɦɚɬɪɢɰɟɣ ɡɚɬɪɚɬ A m xn ɉɭɫɬɶ ɡɚ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɵɣ ɨɬɪɟɡɨɤ ɜɪɟɦɟɧɢ ɩɪɟɞ

ɩɪɢɹɬɢɟ ɜɵɩɭɫɬɢɥɨ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɩɪɨɞɭɤɰɢɢ ɤɚɠɞɨɝɨ ɬɢɩɚ xij ɡɚ ɩɢɫɚɧɧɨɟ ɦɚɬɪɢɰɟɣ X nx 1 .

2		5	3	100
	0	1	8

A	1	3	1	X 80

	2	2		110
			3

C PS

Ɉɩɪɟɞɟɥɢɬɶ S - ɦɚɬɪɢɰɭ ɩɨɥɧɵɯ ɡɚɬɪɚɬ ɪɟɫɭɪɫɨɜ ɤɚɠɞɨɝɨ ɜɢɞɚ ɧɚ ɩɪɨɢɡɜɨɞɫɬɜɨ ɜɫɟɣ ɩɪɨɞɭɤɰɢɢ ɡɚ ɞɚɧɧɵɣ ɩɟɪɢɨɞ ɜɪɟɦɟ ɧɢ

Ɋɟɲɟɧɢɟ Ɇɚɬɪɢɰɚ ɩɨɥɧɵɯ ɡɚɬɪɚɬ ɪɟɫɭɪɫɨɜ S ɨɩɪɟɞɟɥɹ ɟɬɫɹ ɤɚɤ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɟ ɦɚɬɪɢɰ A ɢ X ɬɨ ɟɫɬɶ S AX

ȼ ɭɫɥɨɜɢɢ ɞɚɧɧɨɣ ɡɚɞɚɱɢ

2		5	3	100	930
	0	1	8	100	960
	0	1	8		960	ɬɨ ɟɫɬɶ ɡɚ ɞɚɧɧɵɣ ɩɟɪɢɨɞ
S	1	3	1	80	450	ɬɨ ɟɫɬɶ ɡɚ ɞɚɧɧɵɣ ɩɟɪɢɨɞ
	1	3	1		450
	2	2		110	690
	2	2	3		690

ɜɪɟɦɟɧɢ ɛɭɞɟɬ ɢɡɪɚɫɯɨɞɨɜɚɧɨ ɟɞɢɧɢɰ ɪɟɫɭɪɫɨɜ -ɝɨ ɜɢɞɚɟɞɢɧɢɰ ɪɟɫɭɪɫɚ -ɝɨ ɜɢɞɚ ɟɞɢɧɢɰ ɪɟɫɭɪɫɚ -ɝɨ ɜɢɞɚɟɞɢɧɢɰ ɪɟɫɭɪɫɚ -ɝɨ ɜɢɞɚ

ɉɪɢɦɟɪ ɉɭɫɬɶ ɜ ɭɫɥɨɜɢɢ ɩɪɟɞɵɞɭɳɟɣ ɡɚɞɚɱɢ ɭɤɚɡɚɧɚ ɫɬɨɢɦɨɫɬɶ ɤɚɠɞɨɝɨ ɜɢɞɚ ɪɟɫɭɪɫɨɜ ɜ ɪɚɫɱɟɬɟ ɧɚ ɟɞɢɧɢɰɭ Ɉɧɚ ɡɚ ɞɚɟɬɫɹ ɦɚɬɪɢɰɟɣ P1xm Ɉɩɪɟɞɟɥɢɬɶ ɩɨɥɧɭɸ ɫɬɨɢɦɨɫɬɶ ɜɫɟɯ ɡɚ ɬɪɚɱɟɧɧɵɯ ɡɚ ɞɚɧɧɵɣ ɨɬɪɟɡɨɤ ɜɪɟɦɟɧɢ ɪɟɫɭɪɫɨɜ ɟɫɥɢ P = (10,20,10,10).

Ɋɟɲɟɧɢɟ ɋɬɨɢɦɨɫɬɶ ɜɫɟɯ ɡɚɬɪɚɱɟɧɧɵɯ ɪɟɫɭɪɫɨɜ C ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɤɚɤ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɟ ɦɚɬɪɢɰ P ɢS ɬɨ ɟɫɬɶ

ɢɥɢ C PAX .

930

C 10, 20, 10, 10 960 3990 ɞɟɧ ɟɞ

450690

ɂɡ ɩɪɢɜɟɞɟɧɧɵɯ ɩɪɢɦɟɪɨɜ ɦɨɠɧɨ ɜɢɞɟɬɶ ɱɬɨ ɞɟɣɫɬɜɢ ɬɟɥɶɧɨ ɦɚɬɪɢɰɵ ɢɦɟɸɬ ɲɢɪɨɤɨɟ ɩɪɢɦɟɧɟɧɢɟ ɜ ɡɚɞɚɱɚɯ ɫ ɷɤɨɧɨ ɦɢɱɟɫɤɢɦ ɫɨɞɟɪɠɚɧɢɟɦ ɋ ɩɨɦɨɳɶɸ ɦɚɬɪɢɱɧɵɯ ɨɩɟɪɚɰɢɢ ɦɨɠ ɧɨ ɨɛɥɟɝɱɢɬɶ ɪɚɫɱɟɬɵ ɧɚ ɩɪɟɞɩɪɢɹɬɢɹɯ ɩɨɞɫɱɢɬɚɬɶ ɨɛɴɟɦ ɩɪɨ ɞɭɤɰɢɢ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɜɵɩɭɫɤɚɟɦɨɣ ɩɪɨɞɭɤɰɢɢ ɢ ɦɧɨɝɨɟ ɞɪɭɝɨɟ

ɌȿɆȺ ɋɂɋɌȿɆɕ ɅɂɇȿɃɇɕɏ ɍɊȺȼɇȿɇɂɃ

Ʌɢɧɟɣɧɵɟ ɦɨɞɟɥɢ ɫɜɨɞɹɳɢɟɫɹ ɤ ɫɢɫɬɟɦɚɦ ɚɥɝɟɛɪɚɢɱɟɫɤɢɯ ɥɢɧɟɣɧɵɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɢɥɢ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜ F ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨ ɜɵɫɨɤɨɣ ɬɨɱɧɨɫɬɶɸ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɬ ɨɩɢɫɵɜɚɟɦɵɦ ɢɦɢ ɹɜɥɟɧɢɹɦ ɫ ɢɯ ɩɨ ɦɨɳɶɸ ɪɟɲɚɸɬɫɹ ɦɧɨɝɢɟ ɭɩɪɚɜɥɟɧɱɟɫɤɢɟ ɡɚɞɚɱɢ

2.1. ɋɢɫɬɟɦɵ ɥɢɧɟɣɧɵɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɢ ɮɨɪɦɵ ɢɯ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɢɹ

ɋɢɫɬɟɦɚ P ɥɢɧɟɣɧɵɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɫ Q ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɵɦɢ ɩɟ

ɪɟɦɟɧɧɵɦɢ x1,x2 ,...,xn			ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ
	a11x11 a		12x2	... a1n x1n	b1;
		a22x2		... a2n xn	b2 ;
	a21x1	a22x2		... a2n xn	b2 ;
			...
			...
		am2x2 ... amn xn bm .
	am1x1	am2x2 ... amn xn bm .
Ɂɞɟɫɶ	aij ɢ			bi –	ɡɚɞɚɧɧɵɟ	ɱɢɫɥɚ

(i 1,2,...,m; j 1,2,...,n) ɤɨɬɨɪɵɟ ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɟɧ

ɧɨ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚɦɢ ɩɪɢ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɵɯ ɢ ɫɜɨɛɨɞɧɵɦɢ ɱɥɟɧɚɦɢ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɉɟɪɜɵɣ ɢɧɞɟɤɫ ɭ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɨɜ ɩɪɢ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɵɯ ɨɡɧɚɱɚɟɬ ɧɨɦɟɪ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɜɬɨɪɨɣ ɢɧɞɟɤɫ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ ɧɨɦɟɪɭ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɨɝɨ xj .

Ɋɟɲɟɧɢɟɦ ɫɢɫɬɟɦɵ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɧɚɛɨɪ Q ɱɢ ɫɟɥ x1 1,x2 2 ,...,xn n ɩɪɢ ɩɨɞɫɬɚɧɨɜɤɟ ɤɨɬɨɪɵɯ ɜ

ɷɬɭ ɫɢɫɬɟɦɭ ɤɚɠɞɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɞɚɧɧɨɣ ɫɢɫɬɟɦɵ ɩɪɟɜɪɚɳɚɟɬɫɹ ɜ ɬɨɠɞɟɫɬɜɨ

Ɇɚɬɪɢɱɧɚɹ ɮɨɪɦɚ ɫɢɫɬɟɦɵ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ

ȼɜɟɞɟɦ ɞɥɹ ɫɢɫɬɟɦɵ ɥɢɧɟɣɧɵɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɫɥɟɞɭɸɳɢɟ ɦɚɬɪɢɰɵ

a	11	...a	12	...a	1n		x	1		b	1
	11		12		1n			1			1
a	21...a22 ...a2n						x	2		b	2	.
A		...				,	X		,	B
		...					...			...

am1...am2 ...amn							xn			bm

Ɇɚɬɪɢɰɚ Ⱥ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɦɚɬɪɢɰɟɣ ɫɢɫɬɟɦɵ X – ɦɚɬɪɢɰɚ– ɫɬɨɥɛɟɰ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɵɯ B – ɦɚɬɪɢɰɚ-ɫɬɨɥɛɟɰ ɫɜɨɛɨɞɧɵɯ ɱɥɟɧɨɜ Ɉɩɪɟɞɟɥɢɬɟɥɶ ɦɚɬɪɢɰɵ Ⱥ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɟɥɟɦ

ɫɢɫɬɟɦɵ.

ɋɢɫɬɟɦɭ ɩɪɟɞɫɬɚɜɢɦ ɜ ɦɚɬɪɢɱɧɨɣ ɮɨɪɦɟ Ⱥ ɏ ȼ ɤɨɬɨ ɪɚɹ ɷɤɜɢɜɚɥɟɧɬɧɚ ɢɫɯɨɞɧɨɣ Ⱦɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɨ ɟɫɥɢ ɩɟɪɟɦɧɨɠɢɬɶ ɦɚɬɪɢɰɵ Ⱥ ɢ ɏ ɢ ɩɪɢɪɚɜɧɹɬɶ ɷɥɟɦɟɧɬɵ ɦɚɬɪɢɰɵ-ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɹ ɤ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɦ ɷɥɟɦɟɧɬɚɦ ɦɚɬɪɢɰɵ ȼ ɬɨ ɩɨɥɭɱɢɦ ɫɢɫɬɟɦɭ ɥɢɧɟɣɧɵɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ

2.2. Ɋɟɲɟɧɢɟ ɫɢɫɬɟɦɵ ɥɢɧɟɣɧɵɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɦɟɬɨɞɨɦ ɨɛɪɚɬɧɨɣ ɦɚɬɪɢɰɵ

Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɫɢɫɬɟɦɭ ɥɢɧɟɣɧɵɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɜ ɦɚɬɪɢɱɧɨɣ

ɮɨɪɦɟ Ⱥ ɏ ȼ. ɍɦɧɨɠɢɦ ɨɛɟ ɱɚɫɬɢ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ Ⱥ ɏ ȼ ɫɥɟɜɚ ɧɚ ɦɚɬɪɢɰɭ Ⱥ-1 ɩɨɥɭɱɢɦ Ⱥ-1 Ⱥ ɏ Ⱥ-1 ȼ ɢɥɢ Ⱥ-1 Ⱥ ɏ Ⱥ-1 ȼ Ɍɚɤ ɤɚɤ Ⱥ-1 Ⱥ ȿ ɬɨ ȿ ɏ Ⱥ-1 ȼ ɢɥɢ ɏ Ⱥ-1 ȼ.

ɗɬɚ ɮɨɪɦɭɥɚ ɞɚɟɬ ɪɟɲɟɧɢɟ ɫɢɫɬɟɦɵ ɜ ɦɚɬɪɢɱɧɨɣ ɮɨɪɦɟ ɦɟɬɨɞɨɦ ɨɛɪɚɬɧɨɣ ɦɚɬɪɢɰɵ.

ɉɪɢɦɟɪ Ɋɟɲɢɬɶ ɫɢɫɬɟɦɭ

x1 2x2 x3 0,

3x1 x2 2x3 2, ɢɫɩɨɥɶɡɭɹ ɨɛɪɚɬɧɭɸ ɦɚɬɪɢɰɭ

x1 x2 4x3 4,

Ɋɟɲɟɧɢɟ ɇɚɣɞɟɦɨɛɪɚɬɧɭɸɦɚɬɪɢɰɭɤɦɚɬɪɢɰɟɫɢɫɬɟɦɵ

1 2 1 .

A 3 1 2

1 1 4


Ɉɩɪɟɞɟɥɢɬɟɥɶ ɦɚɬɪɢɰɵ Ⱥ:					1	2		1
					1	2		1
					3	1		2
					1	1		4
1 1	1	2	1 2	3 2			1 3		3 1
1 1	1	2	1 2	3 2			1 3		3 1
1 1	1 4		2 1	1 4	1 1				1 1	2 2 14 4 26

Ɍɚɤ ɤɚɤ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɟɥɶ ɦɚɬɪɢɰɵ Ⱥ ɨɬɥɢɱɟɧ ɨɬ ɬɨ ɨɛɪɚɬ ɧɚɹ ɦɚɬɪɢɰɚ ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɇɚɣɞɟɦ ɟɟ ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɟ

		1		A	A	A
	1	1		11	21	31
A			A12		A22	A32	ɜɵɱɢɫɥɢɜ ɩɪɟɞɜɚɪɢɬɟɥɶɧɨ ɚɥɝɟɛɪɚɢ
A			A12		A22	A32	ɜɵɱɢɫɥɢɜ ɩɪɟɞɜɚɪɢɬɟɥɶɧɨ ɚɥɝɟɛɪɚɢ
		A			A	A
				13	23	33

								1		2			7		3
						1		1
ɱɟɫɤɢɟ ɞɨɩɨɥɧɟɧɢɹ ɉɨɥɭɱɢɦ A										14			3		5	.
ɱɟɫɤɢɟ ɞɨɩɨɥɧɟɧɢɹ ɉɨɥɭɱɢɦ A								26		14			3		5	.
								26		4 1					7
										4 1					7
ɇɚɣɞɟɦ ɦɚɬɪɢɱɧɨɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɫɢɫɬɟɦɵ
			1			2		7 3		0					1	26		1
	1		1												1
X A		B			14			3 5			2						26	1 .
X A		B	26		14			3 5			2				26		26	1 .
			26		4		1		7		4				26		26
					4		1		7		4						26	1
Ɉɬɜɟɬ ɯ1 = 1; ɯ2 = 1; ɯ3 = 1.
		2.3. Ɍɟɨɪɟɦɚ Ʉɪɚɦɟɪɚ
Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɫɢɫɬɟɦɭ n ɥɢɧɟɣɧɵɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɫ n ɧɟɢɡ
ɜɟɫɬɧɵɦɢ
										a11a12...a1n
										a11a12...a1n
ɉɭɫɬɶ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɟɥɶ ɫɢɫɬɟɦɵ										a21a22...a2n						0.
											...
										an1an2...ann
Ɍɨɝɞɚ ɫɢɫɬɟɦɚ ɢɦɟɟɬ ɟɞɢɧɫɬɜɟɧɧɨɟ ɪɟɲɟɧɢɟ
		x1		1	,x2			2	,xn			n		,
		x1			,x2				,xn					,

ɝɞɟ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɟɥɶ ǻk(k=1,2,…n ɩɨɥɭɱɟɧ ɢɡ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɟɥɹ ǻ ɩɭ ɬɟɦ ɡɚɦɟɧɵ k-ɝɨ ɫɬɨɥɛɰɚ ɫɬɨɥɛɰɨɦ ɫɜɨɛɨɞɧɵɯ ɱɥɟɧɨɜ ɫɢɫɬɟɦɵ ɉɪɢɦɟɪ Ɋɟɲɢɬɶ ɫɢɫɬɟɦɭ ɥɢɧɟɣɧɵɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɩɨ ɩɪɚɜɢɥɭ

Ʉɪɚɦɟɪɚ

2x1 x2 x3 1,x1 2x2 x3 2,3x1 3x2 x3 2.

Ɋɟɲɟɧɢɟ ȼɵɱɢɫɥɢɦ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɟɥɢ ǻ ǻ1 ǻ2 ǻ3.

	2				1	1				2			1		1					1 1					1				1		2		2 2		3 1 3 3 6


	1				2 1				2
	3				3	1				3		1								3			1						3 3
	3				3	1
2 4 9 7,
				1	1		1				2		1		1						2		1							2			2	2 3 2 2 6 4


				2	2 1.			1																				1
1											3 1										2		1							2 3
				2	3		1				3 1										2		1							2 3
				2	3		1
1 4 10 7,
			2		1	1			2 1					1 1								1				2		2 2 2 1 3 2 6 8 4 4 0,


2			1		2	1	2					1							1
			3		2	1			2		1			3		1						3		2
			3		2	1
			2 1			1			2 2				1				1 2							1			1 2					2 4 6 2 6 3 6 20 4 9 7.


3		1			2 2		2
			3 3			2			32								3		2								3 3
			3 3			2	1				7 1;														2							0				3	7	1.
Ɍɨɝɞɚ x1							1											x2							2							0	0;		x3	3	7
Ɍɨɝɞɚ x1																		x2													7		0;		x3
											7																				7						7
					Ɉɬɜɟɬ ɯ1						ɯ2					ɯ3= -1.

2.4. Ɋɟɲɟɧɢɟ ɫɢɫɬɟɦ ɥɢɧɟɣɧɵɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɦɟɬɨɞɨɦ Ƚɚɭɫɫɚ

ɉɭɫɬɶ ɞɚɧɚ ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɚɹ ɧɟ ɨɛɹɡɚɬɟɥɶɧɨ ɤɜɚɞɪɚɬɧɚɹ ɫɢɫɬɟɦɚ ɥɢɧɟɣɧɵɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ

a11x11	a12x2		... a1n x1n	b1;
	a22x2	... a2n xn		b2 ;
a21x1	a22x2	... a2n xn		b2 ;
	...
	...
	am2x2		... amn xn bm .
am1x1	am2x2		... amn xn bm .

ɇɚɣɬɢ ɪɟɲɟɧɢɹ ɫɢɫɬɟɦɵ ɢɥɢ ɞɨɤɚɡɚɬɶ ɨɬɫɭɬɫɬɜɢɟ ɪɟɲɟ ɧɢɣ ɫɢɫɬɟɦɵ ɩɨɡɜɨɥɹɟɬ ɦɟɬɨɞ Ƚɚɭɫɫɚ ɋɭɬɶ ɞɚɧɧɨɝɨ ɦɟɬɨɞɚ ɡɚ ɤɥɸɱɚɟɬɫɹ ɜ ɬɨɦ ɱɬɨ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ ɷɥɟɦɟɧɬɚɪɧɵɯ ɩɪɟɨɛɪɚɡɨɜɚɧɢɣɩ ɫɬɪ. 22) ɫɢɫɬɟɦɚ ɩɪɟɨɛɪɚɡɭɟɬɫɹ ɤ ɫɬɭɩɟɧɱɚɬɨɦɭ ɜɢɞɭ ɉɪɢ ɷɬɨɦ ɷɥɟɦɟɧɬɵ ɨɫɧɨɜɧɨɣ ɦɚɬɪɢɰɵ ɫɢɫɬɟɦɵ ɫɬɨɹɳɢɟ ɧɢɠɟ ɝɥɚɜ ɧɨɣ ɞɢɚɝɨɧɚɥɢ ɫɬɚɧɨɜɹɬɫɹ ɪɚɜɧɵɦɢ ɧɭɥɸ Ɂɚɬɟɦ ɢɡ ɩɨɫɥɟɞɧɟɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɧɚɯɨɞɹɬ ɨɞɧɭ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɭɸ ɩɟɪɟɦɟɧɧɭɸ ɬɭ ɤɨɬɨɪɚɹ

ɫɬɨɢɬ ɧɚ ɝɥɚɜɧɨɣ ɞɢɚɝɨɧɚɥɢ ɉɨɞɫɬɚɜɥɹɹ ɧɚɣɞɟɧɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɨɣ ɜ ɩɪɟɞɵɞɭɳɟɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɧɚɯɨɞɹɬ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɜɬɨɪɨɣ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɨɣ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ ɢ ɬ ɞ

ɉɪɢ ɷɥɟɦɟɧɬɚɪɧɵɯ ɩɪɟɨɛɪɚɡɨɜɚɧɢɹɯ ɫɢɫɬɟɦɚ ɧɟ ɬɟɪɹɟɬ ɢɦɟɸɳɢɯɫɹ ɭ ɧɟɟ ɪɟɲɟɧɢɣ ɢ ɧɟ ɩɪɢɨɛɪɟɬɚɟɬ ɧɨɜɵɯ ɪɟɲɟɧɢɣ

Ɇɚɬɪɢɰɭ ɩɨɥɭɱɟɧɧɭɸ ɢɡ ɦɚɬɪɢɰɵ ɫɢɫɬɟɦɵ Ⱥ ɞɨɛɚɜɥɟ ɧɢɟɦ ɫɬɨɥɛɰɚ ɫɜɨɛɨɞɧɵɯ ɱɥɟɧɨɜ ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɪɚɫɲɢɪɟɧɧɨɣ ɦɚɬ ɪɢɰɟɣ:

	a		a		...	a		b

		11	12		...		1n	1
	a	21	a	22		a	2n	b	2
A										.
	...		...		... ...			...
					...
	am1		am2			amn		bm

ɉɪɢɦɟɪ. Ɋɟɲɢɬɶ ɫɢɫɬɟɦɭ ɥɢɧɟɣɧɵɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɦɟɬɨɞɨɦ

Ƚɚɭɫɫɚ

3x		y 2z 11,
	2x	3y 2z 10,

		2y 3z 2.
3x

Ɋɟɲɟɧɢɟ Ɂɚɩɢɲɟɦ ɪɚɫɲɢɪɟɧɧɭɸ ɦɚɬɪɢɰɭ ɫɢɫɬɟɦɵ

	3	1	2	11

	2	3 2		10
					.
		2	3	2
3

Ʉɨ ɜɬɨɪɨɦɭ ɭɪɚɜɧɟɧɢɸ ɭɦɧɨɠɟɧɧɨɦɭ ɧɚ ɩɪɢɛɚɜɢɦ ɩɟɪɜɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɭɦɧɨɠɟɧɧɨɟ ɧɚ –2. Ʉ ɬɪɟɬɶɟɦɭ ɭɪɚɜɧɟɧɢɸ ɩɪɢɛɚɜɢɦ ɩɟɪɜɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɉɨɥɭɱɢɦ:

3	1	2	11

0	11 10		52	.

0	1	5	13

ɉɨɦɟɧɹɟɦ ɦɟɫɬɚɦɢ ɜɬɨɪɨɟ ɢ ɬɪɟɬɶɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɚ ɡɚɬɟɦ ɩɪɢɛɚɜɢɦ ɤ ɬɪɟɬɶɟɦɭ ɭɪɚɜɧɟɧɢɸ ɜɬɨɪɨɟ ɭɦɧɨɠɟɧɧɨɟ ɧɚ – 11:

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