Линейная алгебра дистанционные динамические расчетные проекты. Учебное пособие
.pdfБиблиографический список
1. Богун, В. В. Применение динамической системы мониторинга дистанционных учебных проектов при решении совместных систем линейных алгебраических уравнений [Текст] / В. В. Богун // Ярославский педагогический вестник. –
2012. – 1. – С. 49–53. |
|
2. Геворкян, П. С. Высшая математика. Линейная |
алгебра |
и аналитическая геометрия [Текст] / П. С. Геворкян |
– М. : |
Физматлит, 2014. – 208 c. |
|
3.Горлач, Б. А. Линейная алгебра [Текст] : учеб. пособие /
Б. А. Горлач. – СПб. : Лань, 2012. – 480 c.
4.Ильин, В. А. Линейная алгебра [Текст] : учебник для вузов / В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. – М. : Физматлит, 2014. – 280 c.
5.Ильин, В. А. Линейная алгебра и аналитическая геометрия [Текст] : учебник / В. А. Ильин, Г. Д. Ким. – М. : Изд-во
«Проспект», 2015. – 400 с.
6.Ильязова, Д. З. Основы линейной алгебры и аналитической геометрии [Текст] : учеб. пособие / Д. З. Ильязова. – Ульяновск :
УлГТУ, 2016. – 237 с.
7.Казакова, Т. А. Линейная алгебра [Текст] : учеб. пособие /
Т. А. Казакова. – СПб. : Лань, 2016. – 384 c.
8.Кремер, Н. Ш. Высшая математика для экономистов [Текст] : учебник / Н. Ш. Кремер. – М : Юнити-Диана, 2014. – 479 с.
9.Кряквин, В. Д. Линейная алгебра в задачах и упражнениях [Текст] : учеб. пособие / В. Д. Кряквин. – СПб. : Лань, 2016. – 592 c.
10.Умнов, А. Е. Аналитическая геометрия и линейная алгебра [Текст] : учеб. пособие / А. Е. Умнов. – М. : МФТИ, 2011. – 544 с .
71
Итоговые контрольные вопросы
1.Определение матрицы и элементов матрицы общего вида. Основные виды матриц.
2.Алгоритмы реализации арифметических операций, выполняемых над матрицами общего вида.
3.Определение квадратной матрицы. Элементы и диагонали квадратных матриц различных порядков.
4.Арифметические оперции над квадратными матрицами.
5.Определители квадратных матриц. Нахождение значения определителя квадратной матрицы второго и треьего порядков.
6.Понижение порядка квадратно матрицы при вычислении определителей.
7.Алгоритм нахождения обратной матрицы.
8.Алгоритм нахождения обратной матрицы для квадратной матрицы второго и третьего порядков.
9.Системы линейных алгебраических уравнений. Матричная форма записи системы линейных алгебраических уравнений.
10.Решение систем линейных уравнений. Совместность систем линейных алгебраических уравнений.
11.Методы решения систем линейных алгебраических уравнений.
12.Решение совместных систем линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера.
13.Решение совместных систем линейных алгебраических уравнений с применением обратной матрицы.
14.Решение совместных систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.
72
Тестирование студентов
1. Матрица называется квадратной, если:
а) количество строк матрицы больше количества столбцов; б) количество строк матрицы равно количеству столбцов; в) количество строк матрицы меньше количества столбцов.
2.Какое условие говорит о наличии произведения двух матриц? а) количество строк первой матрицы равно количеству столб-
цов второй матрицы; б) количество столбцов первой матрицы равно количеству
столбцов второй матрицы; в) количество столбцов первой матрицы равно количеству
строк второй матрицы.
3.Для какой матрицы существует обратная к ней:
а) прямоугольной; б) квадратной; в) произвольной.
4.Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель:
а) равен нулю; б) отличен от нуля;
в) величина определителя не имеет значения.
5.Присоединенная матрица строится из:
а) алгебраических дополнений; б) миноров; в) определителей.
6. Произведение матрицы |
1 |
8 |
6 |
на транспонированную |
|
|
|
||
|
|
2 |
|
|
|
3 |
4 |
|
по отношению к ней матрицу равно:
73
а) |
|
130 |
43 |
; |
|
б) |
43 |
101 |
; в) |
101 |
43 |
; г) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
43 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
72 |
|
|
|
43 |
29 |
|
43 |
29 |
|
||
43 |
|
29 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
101 |
|
43 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. Матрицу |
2 |
3 |
|
возвели в степень n и получилась матрица |
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
35
42
126
. Чему равно n?
161
а) 4; б) 3; в) 2; г) 5.
2 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
8. Значение определителя матрицы 5 |
3 |
2 |
равно |
|
|
1 |
4 |
3 |
|
|
|
|||
а) 36; б) 30; в) 46; г) 40.
9. Найдите x, если известно, что определитель матрицы
|
5 |
− 3 |
0 |
|
|
|
|
|
|
x − 3 |
2 |
4 |
равен 14? |
|
|
7 |
x − 5 |
6 |
|
|
|
|||
|
а) 3; |
б) 4; |
в) 7; г) 2. |
|
10. Найдите x и y, если известно, что определитель матрицы
|
|
5 |
− 3 |
0 |
|
|
|
− 3 |
|
|
|
x |
2 |
4 равен 25 и определитель матрицы |
|||
|
|
7 |
x − 5 |
6 |
|
|
|
|
|||
0 |
− 2 |
y + 5 |
|
||
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
4 |
равен –12? |
||
|
3 |
5 |
x |
|
|
|
|
|
|||
а) x = 3, y = 3; б) x = 2, y = –1; в) x = –1, y = 3; г) x = 3, y = –1.
74
11. Система линейных уравнений называется определенной, если она имеет:
а) бесчисленное множество решений; б) не имеет решений; в) единственное решение.
12.Система линейных уравнений совместна и имеет единственное решение, если:
а) определитель матрицы коэффициентов при неизвестных отличен от нуля;
б) определитель матрицы коэффициентов при неизвестных равен нулю;
в) величина определителя матрицы коэффициентов при неизвестных не имеет значения.
13.Какая из матриц не входит в состав системы линейных уравнений:
а) матрица коэффициентов при неизвестных; б) присоединенная матрица; в) матрица неизвестных.
14.Какая система линейных уравнений не может быть решена с применением обратной матрицы?
а) количество уравнений системы больше количества неизвестных;
б) количество уравнений системы меньше количества неизвестных;
в) количество уравнений системы равно количеству неизвестных.
15.Какой метод решения может применяться при неравенстве количства уравнений количеству неизвестных:
а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса;
в) с применением обратной матрицы.
16.Какая из систем уравнений не может быть решена методом Крамера?
75
7 x + 3 y − 4 = 0 |
x + 2 y − 1 = 0 |
|||
а) |
= 0 |
; б) |
|
; |
2x − 5 y − 7 |
2x + 4 y − 1 = 0 |
|||
3x + y − 1 = 0 |
3x + 4 y − 1 = 0 |
|||
в) |
; |
г) |
− 5x + y − 6 |
. |
7 x − y + 1 = 0 |
|
= 0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
− x |
2 |
= −4 |
|
|
|
||
|
17. Решением системы уравнений |
|
= −5 |
являются |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x1 + x2 |
|
|
|
||||||
следующие значения неизвестных: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
а) x1 = 3, x2 = 1; |
б) x1 = −2, x2 = 3 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
в) x1 = −3, x2 = 1 ; г) x1 = 2, x2 = −3 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х + 3 у + z = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
несовместна при: |
|
|
|
|
|
|||||
|
18. Система 2x − y − 2z = 3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x + 2 y + az = 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
а) а = - 2; |
|
|
б) а = 1; |
в) а = 0; |
г) а = - 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
19. |
|
|
|
|
Решение |
системы |
|
линейных |
|
|
уравнений |
||||||||||||
|
х + х |
+ 2х |
3 |
|
= −1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2х1 − х2 + 2х3 |
= −4, имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
4 х + х + 4 х = −2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
а) (–1,–2,2); |
б) (2, –1,2); |
в) (–2,2,1); |
|
г) (1,2, –2). |
||||||||||||||||||
|
20. |
|
|
|
|
|
|
|
Решением |
матричного |
|
|
|
|
уравнения |
|||||||||
1 2 |
|
х |
|
х |
|
|
|
3 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
= |
является матрица: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
х3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3 4 |
|
|
х4 |
|
5 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
|||||||
|
|
1 |
|
|
− 1 2 |
− 1 |
|
− 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
; |
|
2 |
|
2 |
||||||||||||||||||
|
а) |
3 |
|
|
|
1 |
|
б) |
; |
в) |
|
|
; г) |
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
− 1 3 |
|
2 |
|
3 |
|
7 |
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|||
76
Заключение
В заключении предлагается краткое описание представленного учебного пособия и сформулирован общий вывод. Во введении представлена краткая информация
о применении информационно-коммуникационных технологий
в образовательном процессе с точки зрения повышения мотивации к обучению и формирования практического мышления студентов вузов.
Рассмотрены различные дидактические и методические аспекты организации самостоятельной деятельности учащихся с точки зрения выполнения студентами расчетных проектов и показано отсутствие возможностей реализации подобной деятельности при использовании современных систем дистанционного обучения. Представлены основные особенности разработанной автором дистанционной системы динамических расчетных проектов.
Впервой главе представлено краткое описание
дистанционной системы динамических расчетных проектов с точки зрения рассмотрения правил работы студентов с данной информационной системой при выполнении расчетных проектов в процессе реализации самостоятельной учебной деятельности.
Во второй главе пособия приведено описание дистанционных
динамических расчетных |
проектов по линейной алгебре |
в рамках дистанционной |
системы динамических расчетных |
проектов. Для каждого расчетного проекта представлены наименование проекта, раздела высшей математики, теоретический аспект, описание демоверсии расчетного проекта и контрольные вопросы по тематике расчетного проекта.
Таким образом, в данном пособии представлены необходимые дидактические и методические компоненты для реализации студентами вузов расчетных проектов по линейной алгебре в рамах разработанной автором дистанционной системы динамических расчетных проектов.
Учебное пособие предназначено для всех участников образовательного процесса в вузе (студенты, преподаватели, методисты и т. д.) с дидактической, математической
иинформационной точек зрения, которые используют
различные системы дистанционного обучения при реализации
обучения математике и другим дисциплинам естественнонаучного цикла.
77
Библиографический список
1.Богун В. В. Реализация расчетных проектов при организации дистанционного обучения математике [Текст] / В. В. Богун // Компьютерные инструменты в образовании. – 2011. –
6.– С. 33–37.
2.Богун, В. В. Проблемы и перспективы реализации единой среды дистанционного обучения студентов педагогических вузов [Текст] / В. В. Богун, Е. И. Смирнов, А. А. Кузнецов //
Информатика и образование. – 2010. – 7. – С. 74–82. |
|
||
3. Богун, |
В. В. |
Информационные |
особенности |
динамической системы мониторинга дистанционных учебных проектов [Текст] / В. В. Богун // Ярославский педагогический вестник. – 2011. – 1. – С . 185–193.
4. Богун, В. В. Использование динамической системы мониторинга дистанционных учебных проектов при изучении линейных операций над матрицами [Текст] / В.В. Богун // Ярославский педагогический вестник. – 2011. – 3. – С . 152–159.
5.Богун, В. В. Применение динамической системы мониторинга дистанционных учебных проектов при решении совместных систем линейных алгебраических уравнений [Текст] / В. В. Богун // Ярославский педагогический вестник. – 2012. – 1. – С. 49–53.
6.Богун, В. В. Применение дистанционных учебных проектов при обучении математике [Текст] / В. В. Богун //
Высшее образование в России. – 2013. – 5. – С . 114–119.
7. Богун, В. В. Формирование практического мышления студентов вузов при реализации дистанционного расчетного проекта по аналитической геометрии [Текст] / В. В. Богун // Дистанционное и виртуальное обучение. – 2013. – 5. – С. 93– 106.
8.Геворкян, П. С. Высшая математика. Линейная алгебра и аналитическая геометрия [Текст] / П. С. Геворкян. – М. :
Физматлит, 2014. – 208 c.
9.Горлач, Б. А. Линейная алгебра [Текст] : учеб. пособие /
Б. А. Горлач. – СПб. : Лань, 2012. – 480 c.
78
10.Ильин, В. А. Линейная алгебра [Текст] : учебник для вузов / В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. – М. : Физматлит, 2014. – 280 c.
11.Ильин, В. А. Линейная алгебра и аналитическая геометрия [Текст]: учебник / В. А. Ильин, Г. Д. Ким. – М. : Изд-
во «Проспект», 2015. – 400 с .
12.Ильязова, Д. З. Основы линейной алгебры и аналитической геометрии [Текст] : учеб. пособие / Д. З. Ильязова. – Ульяновск : УлГТУ, 2016. – 237 с.
13.Казакова, Т. А. Линейная алгебра [Текст] : учеб. пособие /
Т. А. Казакова. – СПб. : Лань, 2016. – 384 c.
14.Кремер, Н. Ш. Высшая математика для экономистов [Текст] : учебник / Н. Ш. Кремер. – М. : Юнити-Диана, 2014. – 479 с.
15.Кряквин, В. Д. Линейная алгебра в задачах и упражнениях [Текст] : учеб. пособие / В. Д. Кряквин. – СПб. : Лань, 2016. – 592 c.
16.Маркова, А. К. Формирование мотивации учения [Текст] : кн. для учителя / А. К. Маркова, Т. А. Матис, А. Б. Орлов. – М. : Просвещение, 1990. – 192 с .
17.Плотникова, Е. Г. Линейная алгебра и аналитическая геометрия [Текст] : учебник и практикум для прикладного бакалавриата / А. П. Иванов, В. В. Логинова, А. В. Морозова, Е. Г. Плотникова, под ред. Е. Г. Плотниковой. – М. : Издательство Юрайт, 2016. – 340 с.
18.Ратафьева, Л. С. Аналитическая геометрия и линейная алгебра [Текст] : учеб. пособие / Л. И. Брылевская, И. А. Лапин, Л. С. Ратафьева. – СПб . : СПбГУ ИТМО, 2008. – 156 с .
19.Роберт, И. В. Информационные и коммуникационные технологии в образовании [Текст] : учеб. пособие / И. В. Роберт, С. В. Панюкова, А. А. Кузнецов, А. Ю. Кривцова. – М. : Дрофа, 2008. – 312 с.
20.Теплов, Б. М. Ум полководца [Текст] : учеб. пособие / Б. М Теплов. – М. : Педагогика, 1990. – 208 с.
21.Умнов, А. Е. Аналитическая геометрия и линейная алгебра [Текст] : учеб. пособие / А. Е. Умнов. – М. : МФТИ, 2011. – 544 с.
79
Учебное издание
Богун Виталий Викторович
Издано в авторской редакции
Технический редактор, компьютерная верстка А.Д. Матлахова
Обложка Я.А. Кирсанов, С.С. Сизиумова, фотобанк Freepik
Подписано к использованию 26.08.2025. Объем данных 7 Мб.
ООО Компания «Ай Пи Ар Медиа» 8 800 555 22 35 (бесплатный звонок по России)
E-mail: sales@iprmedia.ru