Линейная алгебра дистанционные динамические расчетные проекты. Учебное пособие

полей для ввода значений, но с отображением последнего указанного студентом неправильного значения коэффициента, окрашиваемого в красный цвет (рис. 10).

Рисунок 10. Результаты проверки информационной системы указанных студентом значений результатов вычислений

В дистанционной системе присутствует возможность многократного изменения студентом значений коэффициентов промежуточных и итоговых результатов (рис. 11) и автоматизированной проверки указанных значений данных параметров информационной системой в рамках расчетной работы (рис. 12), то есть выполняемая студентом расчетная работа предоставляется в режиме редактирования без учета временных и пространственных ограничений.

Рисунок 11. Редактирование студентом неправильно указанных значений результатов вычислений

12

Рисунок 12. Результаты повторной проверки системой указанных студентом значений результатов вычислений

Необходимо отметить, что в текстовые поля вводятся округленные значения точно рассчитанных значений результатов вычислений в формате с точностью до двух знаков после запятой (например, указывается значение 0.67, хотя дальше при расчетах используется точное значение дроби 2/3).

Библиографический список

1.Богун, В. В. Реализация расчетных проектов при организации дистанционного обучения математике [Текст] / В. В. Богун // Компьютерные инструменты в образовании. – 2011. – 6. – С. 33–37.

2.Богун, В. В. Проблемы и перспективы реализации единой среды дистанционного обучения студентов педагогических вузов [Текст] / В. В. Богун, Е. И. Смирнов, А. А. Кузнецов //

Информатика и образование. – 2010. – 7. – С. 74–82.

3.Богун, В. В. Информационные особенности динамической системы мониторинга дистанционных учебных проектов [Текст] / В. В. Богун // Ярославский педагогический вестник. – 2011. – 1. – С . 185–193.

4.Богун, В. В. Применение дистанционных учебных проектов при обучении математике [Текст] / В. В. Богун //

Высшее образование в России. – 2013. – 5. – С . 114–119.

13

2. Дистанционные динамические расчетные проекты по линейной алгебре

В данной главе представлено описание динамических расчетных проектов по линейной алгебре [4, 5, 8–18, 21], которые выполняются студентами в рамках дистанционной системы динамических расчетных проектов при реализации самостоятельной деятельности учащихся. Описание каждого дистанционного динамического расчетного проекта включает наименование проекта, теоретический аспект и описание демоверсии расчетного проекта с целью ознакомления учащихся с алгоритмами решения задач в рамках расчетного проекта и их реализации на программном уровне.

При изучении школьного курса алгебры учащиеся рассматривают реализацию арифметических операций над отдельными числами без их объединения в определенные структуры или системы, тогда как при изучении математики в вузе осуществляются арифметические операции над числами, объединяемые в прямоугольные таблицы, называемыми матрицами. В настоящее время при решении прикладных и профессиональноориентированных задач применяются расчеты именно над определенными наборами чисел, которые представляются в виде матриц различных видов.

2.1. Арифметические операции над матрицами

Наименование дистанционного динамического расчетного проекта: выполнение арифметических операций

над матрицами.

Раздел математики: линейная алгебра.

Цель реализации дистанционного динамического расчетного проекта: осуществить расчет значений необходи-

мых параметров матриц при выполнении арифметических операций.

2.1.1. Теоретический аспект

Матрица представляет собой прямоугольную таблицу чисел, состоящую из определенного количества строк и столбцов.

14

расположение которого определяется индексами строки m и столбца n, на пересечении которых он располагается.

Квадратная матрица – матрица, в которой количество строк равно количеству столбцов. Порядок квадратной матрицы определяется количеством строк или столбцов.

Квадратная матрица первого порядка:

A = (a11 ) = (− 6 ).

1×1

Квадратная матрица второго порядка:

Квадратная матрица третьего порядка:

В любой квадратной матрице независимо от ее порядка выделяют главную (для элементов индексы строки и столбца совпадают) и побочную диагонали (противоположная главной диагонали).

15

Частные виды квадратных матриц:

– Диагональная матрица – квадратная матрица, все элементы которой, не принадлежащие главной диагонали, равны 0, на главной диагонали элементы отличны от 0.

– Единичная матрица – диагональная матрица, все элементы которой на главной диагонали равны 1. Можно провести аналогию между единичной матрицы для матриц и числом единица для чисел. Действительно, число единица получается как результата умножения любого действительного числа на число, обратное ему, и наоборот. Аналогично единичная матрица получается в результате умножения любой квадратной матрицы на обратную ей матрицу, и наоборот.

5 ×5−1 = 5−1 ×5 = 5 × 1 = 1 . 5

Квадратная матрица первого порядка:

Арифметические операции над матрицами

1. Сложение матриц. Матрицы должны иметь одинаковую размерность, результатом сложения матриц является матрица аналогичной размерности, значения элементов которой

16

определяются как сумма элементов исходных матриц, имеющих соответствующие индексы строки и столбца.

2. Вычитание матриц. Матрицы также должны иметь одинаковую размерность, результатом вычитания матриц является матрица аналогичной размерности, значения элементов которой определяются как разность элементов исходных матриц, имеющих соответствующие индексы строки и столбца.

3. Транспонирование матрицы. Транспонированная матрица получается из исходной матрицы в результате взаимной замены элементов строк и столбцов матрицы.

Исходная матрица:

17

Транспонированная матрица:

4. Умножение матрицы на число. Размерность итоговой матрицы совпадает с размерностью исходной матрицы, при этом значение каждого элемента итоговой матрицы определяется как произведение соответствующего элемента исходной матрицы и заданного числа.

5. Умножение матриц.

Операция умножения матриц состоит из двух этапов:

∙необходимо проверить наличие произведения матриц (количество столбцов первой матрицы должно быть равно количеству строк второй матрицы);

∙при выполнении условия выше непосредственно реализуется операция умножения матриц, при этом размерность результирующей матрицы определяется количеством строк первой матрицы и количеством столбцов второй матрицы, а значение каждого элемента данной матрицы определяется как сумма произведений элементов исходных матриц, индексы которых соот-

ветствуют необходимым значениям строки первой матрицы и столбца второй матрицы.

18

Произведение матриц существует:

A × B = C .

m×n n×l m×l

Произведение матриц отсутствует:

B× A .

n×l m×n

19

6. Деление матриц. Может применяться только для квадратных матриц, поскольку необходимо нахождение обратной матрицы.

Операции над квадратными матрицами 1. Возведение матрицы в степень. Операция выполняется

только для квадратных матриц с целью наличия произведения матриц, так как для обычной прямоугольной матрицы операций возведения матриц в степень не выполняется в силу ложного

заключается в последовательном перемножении матрицы саму на себя, поэтому значения элементов результирующей матрицы, в большинстве случаев отличаются от значений соответствующих элементов, возведенных в необходимую степень. Исключением является возведение в степень квадратной матрицы первого порядка, поскольку она состоит только из одного элемента и демонстрирует возведение в степень только одного числа.

Возведение квадратной матрицы первого порядка во вторую степень (квадрат):

A 2 = A´ A = (a )´(a ) = (- 3)´(- 3) = (a ×a ) = (a2 )=

× × × 11 11 11 11 11 1 1 1 1 1 1

((- 3)2 )= (9).

20