Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Линейная алгебра дистанционные динамические расчетные проекты. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

2.2. Решение систем линейных алгебраических уравнений

Наименование дистанционного динамического расчетного проекта: решение совместных систем линейных

алгебраических уравнений.

Раздел математики: линейная алгебра.

Цель реализации дистанционного динамического расчетного проекта: осуществить решение совместных систем

линейных алгебраических уравнений второго и третьего порядков по формулам Кремера, с использованием обратной матрицы и методом Гаусса.

2.2.1. Теоретический аспект

Общий вид системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с применением векторной формы записи.

a11 × x1 + a12 × x2 + ...+ a1n × xn

= b1

× x1 + a22

× x2

+ ...+ a2n × xn

= b2

a21

...

× x

+ a

× x

+ ...+ a

× x

= b

Система линейных алгебраических уравнений также может быть представлена в матричной форме и определяется как результат взаимосвязи между указанными ниже тремя матрицами.

Перечислим данные матрицы:

1. Матрица коэффициентов при неизвестных:

	a	a	...	a
	11	12		1n
	a21	a22	...	a2n
A =		...	...	...	.
m×n	...	...	...	...
		am2	...
	am1	am2	...	amn

2. Матрица неизвестных:

	x	x
	11	1
	x21	x2
X =		=	.
n×1	...	...

	xn	xn

3. Матрица свободных коэффициентов:

	b	b
	11	1
	b12	b2
B =		=	.
m×1	...	...

	bm1	bm

Система линейных алгебраических уравнений получается как результат приравнивания произведения матрицы коэффициентов при неизвестных и матрицы неизвестных матрице свободных коэффициентов:

		a
			11
		a21
A ´ X =
m×n	n×1	...

		am1
	a	× x	+ a
	11	1	12

=a21 × x1 + a22

am1 × x1 + am2

a		...	a				x
12			1n					1
a22		...	a2n		´		x2			=
...		... ...			´					=
...		... ...					...
am 2		...
am 2		...	amn				xn
× x	2	+ ...	+ a	× x		n			b
	2		1n			n				1
× x2 + ... + a2n × xn									b2
...								=
...									...

× x2 + ... + amn × xn									bm

= B .

m×1

Система линейных алгебраических уравнений называется совместной, если у нее есть хотя бы одно решение, и несовместной при отсутствии решений. Система линейных алгебраических уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение и неопределенной в случае наличия множества решений системы.

Рассмотрим алгоритмы решения совместной системы линейных алгебраических уравнений:

1.Применение формул Крамера.

2.Использование обратной матрицы.

3.Реализация метода Гаусса.

Рассмотрим решение совместной системы линейных алгебраических уравнений, состоящей из двух уравнений и включающей два неизвестных:

a11 × x1 + a12 × x2			= b1	5 × x1 - 3 × x2		= -8
	× x1	+ a22 × x2	= b2	Û	2 × x1 +7 × x2	.
a21						= 9

1. Решение по формулам Крамера.

Значение каждой неизвестной определяется как отношение определителей матрицы, получаемой из матрицы коэффициентов при неизвестных, в которой соответствующий столбец заменяется столбцом свободных коэффициентов, и матрицы коэффициентов при неизвестных.

xn = An , A

где:

xn – неизвестная;

An – определитель матрицы, получаемой из матрицы

коэффициентов при неизвестных, в которой соответствующий столбец заменяется столбцом свободных коэффициентов;

A –

определитель матрицы

коэффициентов при

неизвестных.

a12

- 8

- 3

× a22 - a12 ×b2

x1 =

a22

a11

a12

- 3

a11 × a22 - a12 × a21

a21

a22

( -8 )×7 -( -3 )×9

= -

5 ×7 -( -3 )× 2

a11

- 8

a11 × b2

- b1

× a21

a21

a11

a12

- 3

a11

× a22

- a12 × a21

a21

a22

5 × 9 - (- 8

)× 2

5 ×7 - ( -3 ) × 2 41

Проверка найденных значений неизвестных с помощью подстановки данных значений в исходную совместную систему линейных алгебраических уравнений:

a11 × x1 + a12

× x2 = b1

5 × x1 - 3 × x2

= -8

× x2 = b2

a21 × x1 + a22

2 × x1 +7 × x2 = 9

b × a

- a

× b

- b

× a

a11 ×

+ a12

= b1

a11 × a22

- a12 × a21

b1 × a22

- a12 × b2

a11 × b2 - b1 × a21

+ a

= b

a11 × a22

- a12 × a21

a11 × a22

- a12 × a21

× -

3 ×

= -8

2 ×

+ 7 ×

= 9

a11 × (b1 × a22 - a12 × b2 ) + a12 × (a11 × b2 - b1 × a21 )

= b1

(b1 × a22

a11

× a22

- a12

× a21

a21 ×

- a12

× b2 ) + a22

× (a11 × b2 - b1 × a21 )

= b2

a11 × a22

- a12 × a21

5 × (- 29) - 3 × 61

= -8

2 × (-

29) + 7 × 61

= 9

a11 × b1 × a22 - a11 × a12 × b2 + a12 × a11 × b2 - a12 × b1 × a21

= b1

a11 × a22

- a12 × a21

a21 × b1 × a22 - a21 × a12 × b2 + a22 × a11 × b2 - a22 × b1 × a21

= b2

a11 × a22

- a12 × a21

- 145 - 183

= -8

- 58 + 427 = 9

b1 ×(a11 × a22 - a12 × a21 )

= b

(- 41)×8

= -8

a11

× a22

- a12

× a21

)

×(a

× a

- a

× a

41×9

= b2

= 9

a11 × a22 - a12 × a21

= b1

- 8 = -8

= b2

Проверка полностью выполнена.

2. Решение с помощью обратной матрицы.

Суть решения заключается в реализации алгоритма, отвечающего следующему выражению:

	−1	x
A´ X = B X = A	−1	1
A´ X = B X = A		´ B =	.
2×2 2×1 2×1 2×1 2×2		2×1 x2

Рассмотрим алгоритм решения представленной совместной системы линейных алгебраических уравнений с использованием обратной матрицы.

1. Осуществляется нахождение матрицы, обратной матрице коэффициентов при неизвестных:

a11	a12	5	- 3

A =		=	.
2×2 a21	a22	2	7

a. Осуществляется нахождение определителя матрицы.

= A =

a11

a12

- 3

= a11 × a22 - a21 × a12

a21

a22

=5 ×7 - ( -3 )× 2 = 41.

b. Осуществляется транспонирование матрицы.

	T	aT		aT	a	a	21	5		2
			11	12	11		21
A =			T	T	=			=	- 3	.
2×2		a21		a22	a12	a22			- 3	7

c. Осуществляется нахождение алгебраических дополнений.

A11

= (- 1)1+1 ×

a22T

= (- 1)1+1 ×

a22

= (- 1)1+1 ×

= a22 = 7 .

A12

= (- 1)1+2 ×

a21T

= (- 1)1+2 ×

a12

= (- 1)1+2 ×

- 3

= -a12 = 3.

A = (- 1)2+1 ×

= (- 1)2+1 ×

= -a

= -2.

A = (- 1)2+2 ×

= (- 1)2+2 ×

= a

= 5.

d. Составляется присоединенная матрица.

- a

A =

A21

- a21

a11

2×2

a21

a22

A22

- 2

e. Формирование обратной матрицы.

−1

× A =

2×2		a21				a22					A 2×2				A a21			a22
																			7	3
	1		a			- a						1			7 3
																	41 41
				22																	.
=		×		22				12		=			×			=
=	A	×	- a			a		12		=			×			=
	A		- a			a					41				- 2 5				2	5
					21		11										-
					21		11										-		41	41
																			41	41
f. Проверка						правильности								нахождения			обратной матрицы
									1			0	= E .).
( A´ A −1 = A −1 ´ A =													= E .).
2×2 2×2			2×2			2×2									2×2
2×2 2×2			2×2			2×2			0			1			2×2

−1

a −1

A´ A −1 =

12 ´

−1

2×2 2×2

−1

a21

a22

a21

a22

a21

a22

a11

a12

a22

- a12

a11

a12

a21

a22

a21

a22

- a21

a11

- 3

(a11 × a22

- a12 × a21 )

- 2

a × a - a × a

- a × a

+ a × a

a21 × a22 - a22 × a21

- a21 × a12 + a22 × a11

× a

- a

× a

a11 × a22 - a12 × a21

5 ×7 + ( -3 )×( -2 )

5 × 3 + ( -3 )× 5

×7 +7

×( -2 )

2 × 3 +7 × 5

= E .

2×2

2.Осуществляется нахождение матрицы неизвестных,

которая

состоит

из

значений

необходимых

неизвестных,

с помощью

перемножения

матрицы,

обратной

матрице

коэффициентов при неизвестных, на матрицу свободных

коэффициентов:

−1

X =

´ B

−1

= A

2×1

2×2

2×1

- a12

- 8

- a21

a11

- 2

22 × b1 - a12 × b2

7 ×( -8 ) + 3 × 9

× a

- a

× a

)

- a

× b

+ a

× b

( -2 ) × ( -8 ) + 5 ×

				a22 × b1 - a12 × b2					29
	1		- 29				-


				= a11 × a22	- a12 × a21	=			41 .
=		´
=		´
	41			- a21 × b1 + a11 × b2				61
	41		61	- a21 × b1 + a11 × b2				61

					- a12 × a21
				a11 × a22	- a12 × a21			41

3. Метод Гаусса.

Суть метода заключается в последовательном удалении неизвестных в уравнениях исходной совместной системы линейных алгебраических уравнений, начиная с последнего уравнения, для получения системы треугольного вида, с последовательным нахождением значений неизвестных также начиная с последнего уравнения системы, включающего только одну неизвестную.

Схема, иллюстрирующая суть метода Гаусса для совместной системы линейных алгебраических уравнений, состоящей из двух уравнений:

◊ + ◊ = ◊		◊ + ◊ = ◊	.
			.
◊ + ◊ = ◊	___ ◊ = ◊

Рассмотрим алгоритм реализации метода Гаусса для совместной системы линейных алгебраических уравнений, состоящей из двух уравнений:

a11 × x1 + a12 × x2			= b1	5 × x1 - 3 × x2		= -8
	× x1	+ a22 × x2	= b2	Û	2 × x1 +7 × x2	.
a21						= 9

1. Необходимо все компоненты второго уравнения умножить на коэффициент, равный отношению коэффициентов при первом неизвестном для первого и второго уравнений, взятого с

обратным знаком ( k21 = - a11 ).

a21

Получим следующую запись исходной системы:

					a11	a × x +a × x = b																Û									5× x -3× x = -8
´k21			= -		a11				11		1			12		2				1		Û		´k				= -		5			1			2	.
							a			× x + a × x = b																21						2× x		+7 × x = 9
					a

									21		1			22		2				2										2			1			2
					21																									2
							a	11		× x + a					12	× x	2		= b
								11			1				12		2					1
-	a			× a21 × x1							-		a			× a22			× x2 =						-		a			×b2		Û
-		11		× a21 × x1					+		-			11		× a22			× x2 =						-			11		×b2
		11												11														11


	a21												a21														a21
	a21												a21														a21
					5 × x -					3 × x				= -8
	5					1				5		2									5 .
	5									5											5 .

-			× 2 × x1 + -								×7 × x2 = -												× 9
-			× 2 × x1 + -								×7 × x2 = -												× 9
	2									2											2
	2									2											2

				a11 × x1 + a12									× x2 = b1														5 × x1 - 3 × x2 = -8
							a11 × a22											a11 ×b2															35				45 .
	- a11 × x1 -						a11 × a22						× x2 = -					a11 ×b2						Û				-	5 × x			-	35	× x		= -	45 .
																																			2

									a21										a21												1		2				2
									a21										a21														2				2

2. Необходимо первое уравнение системы сложить со вторым уравнением и результат сложения записать вместо второго уравнения системы с последующей подгонкой левой и правой частей второго уравнения под общий знаменатель с целью последующей его ликвидации. В результате получим первое уравнение с двумя неизвестными, а второе уравнение с одним неизвестным (система уравнений треугольного вида).

Получим следующую запись системы:

							a11 × x1 + a12 × x2 = b1
												a11 × a22						a11 ×b2	Û
Å 1,2	a		× x	- a		× x	+ a		× x		-	a11 × a22	× x			= b	-	a11 ×b2
	a	11	× x	- a	11	× x	+ a	12	× x	2	-		× x		2	= b	-
		11	1		11	1		12		2		a21			2	1		a21
												a21						a21
					5 × x1 - 3 × x2 = -8
									35					45 .
Å 1,2		× x1 - 5 × x1				- 3 × x2 -			35		× x2 = -8 -			45 .
	5
	5								2					2
									2					2

a11 × x1 + a12 × x2 = b1

5 × x1 - 3 × x2 = -8

a11 × a22

a11 ×b2

45 .

a12

× x2 = b1 -

3 +

× x2

= -8 -

a11 × x1 + a12 × x2 = b1

5 × x1 - 3 × x2 = -8

× a21

- a11

× a22

b1 × a21 - a11 ×b2

61 .

a12

× x2

× x

a21

				a11 × x1 + a12 × x2 = b1											5 × x1 - 3 × x2					= -8
		× a		- a		× a		)× x		= b × a		- a		×b	Û	41	× x		=	.
(a			21		11		22		2		21		11					2		61
	12									1				2

3. Необходимо из второго уравнения как уравнения с одним неизвестным получить значение второго неизвестного, а затем с помощью подстановки найденного значения второго неизвестного в первое уравнение получить значение первого неизвестного как из уравнения с одним неизвестным.

Получим следующую запись системы:

a11 × x1 + a12 × x2 = b1			5 × x -		3 × x = -8
		a11 ×b2 - b1 × a21		1		2
	=		Û		=	61	.
x2				x2
		a11 × a22 - a12 × a21
						41

a × x + a						×			a11 ×b2 - b1 × a21											= b						61
a × x + a						×														= b						61
	11	1	12					a		× a				- a			× a				1	5 × x1		-	3 ×		= -8
								a		× a		22		- a		12	× a	21								41		.
						11						22				12		21			Û					41		.
		x2 =					a11 ×b2 - b1 × a21																	x2	=	61
		x2 =																						x2	=
					a11 × a22 - a12 × a21																					41
					a11 × a22 - a12 × a21																					41
a		× x = b			-				a12 × a11 ×b2 - a12 ×b1 × a21														× x1		- = -8 +			183
a		× x = b			-																							183
	11	1	1							a			× a			- a			× a			5
										a	11		× a		22	- a			× a		21							41 .
											11				22		12				21	Û						41 .
		x2		=					a11 ×b2					- b1		× a21									x2	=	61
		x2		=																					x2	=
							a11 × a22 - a12 × a21																				41
							a11 × a22 - a12 × a21																				41

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]