Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Линейная алгебра дистанционные динамические расчетные проекты. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

		× x1 =				b	× a				11		× a			22	- b					× a		12	× a		21	- a					× a	11	×b		+ a	12	×b	× a	21
a11						1					11					22				1				12			21	12						11		2		12	1		21
a11																						a11 × a22						- a12 × a21
																						a11 × a22						- a12 × a21													Û
																					a11 ×b2 - b1 × a21																				Û
																x2 =					a11 ×b2 - b1 × a21
																x2 =
																					a11 × a22 - a12 × a21
																					a11 × a22 - a12 × a21
	× x1 - =				- 8 ×41 + 183
5	× x1 - =										41							.
											41							.
				x2		=		61
				x2		=
							41
a		× x		=		a11 ×(b1 × a22 - a12 ×b2 )																									× x1			= -		145
a		× x		=																																145
	11		1				a				× a					- a						× a						5
							a		11		× a				22	- a			12			× a	21													41 .
									11						22				12				21			Û										41 .
		x2		=		a11				×b2					- b1			× a21															x2	=	61
		x2		=																													x2	=
						a11 × a22 - a12 × a21																													41
						a11 × a22 - a12 × a21																													41
		=	b		× a		22			- a				12		×b							x1 = -							29
x1				1			22							12			2
			a11		× a22					- a12						× a21

																				Û								41				.
			a11			×				-					×	a21				Û									61			.
			a11			b2						b1				a21									x2 =				61
		= a			× a					- a						× a
x2		= a		11	× a		22			- a				12		× a		21										41
				11			22							12				21

Рассмотрим решение совместной системы линейных алгебраических уравнений, состоящей из трех уравнений и включающей три неизвестных:

+ a

= b

4 x

− 6 x

+ 7 x

= 6

11 1

a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2

2x1 + 3x2 − 4 x3 = −9 .

+ a32 x2

+ a33 x3

= b3

= 4

a31 x1

− 3x1 + 7 x2 − 5x3

1. Решение по формулам Крамера.

Значение каждой неизвестной определяется как отношение определителей матрицы, получаемой из матрицы коэффициентов при неизвестных, в которой соответствующий столбец заменяется столбцом свободных коэффициентов, и матрицы коэффициентов при неизвестных.

xn = An , A

где:

xn – неизвестная;

An – определитель матрицы, получаемой из матрицы

коэффициентов при неизвестных, в которой соответствующий столбец заменяется столбцом свободных коэффициентов;

–

определитель

матрицы

коэффициентов при

неизвестных.

a12

a13

- 6

a22

a23

- 9 3 - 4

= A1

a32

a33

7 - 5

a11

a12

a13

4 - 6 7

a21

a22

a23

- 4

a31

a32

a33

- 3 7 -

b1 × a22 × a33 + a12 × a23 × b3 + a13 × b2 × a32 -

a13 × a22 × b3 - b1 × a23 × a32 - a12 × b2 × a33

× a

+ a

× a

+ a

× a

a13 × a22 × a31 - a11 × a23 × a32

- a12 × a21 × a33

6 × 3 ×( -5 ) + 7 ×( -9 ) ×7 + ( -6 ) ×( -4 ) × 4 -

7 × 3 × 4 - 6 ×( -4 ) ×7 - ( -6 ) ×( -9 ) ×( -5 )

4 × 3 ×( -5 ) + 7 × 2 ×7 + ( -6 ) ×( -4 ) ×( -3 ) -

7× 3 ×( -3 ) - 4 ×( -4 ) ×7 - ( -6 ) × 2 ×( -5 )

=- 90 - 441 - 96 - 84 + 168 + 270 = - 81 = -1 - 60 + 98 -72 + 63 + 112 - 60 - 81

a11

a13

a21

a23

2 - 9 - 4

a31

a33

- 3 4 - 5

a11

a12

a13

4 - 6 7

a21

a22

a23

- 4

a31

a32

a33

- 3 7 - 5

a11 ×b2 × a33 + b1 × a23 × a31 + a13 × a21 ×b3 -

a13 ×b2 × a31 - a11 × a23 ×b3 - b1 × a21 × a33

a11 × a22 × a33 + a12 × a23 × a31 + a13 × a21 × a32 -

a13

× a22

× a31 - a11 × a23 × a32 - a12 × a21 × a33

4 ×

(- 9)×( -5 ) +7 × 2 × 4 + 6 ×( -4 )× (- 3)

7 × (- 9)× (- 3)- 4 ×( -4 )× 4 - 6 × 2 ×( -5 )

4 × 3 ×( -5 ) +7 × 2 ×7 + ( -6 )×( -4 )×( -3 ) -

7 × 3 ×( -3 ) - 4 ×( -4 )×7 - ( -6 )× 2 ×( -5 )

180 + 56 +72 - 189 + 64 + 60

243

= 3.

- 60 + 98 -72 + 63 + 112 - 60

a11

a12

- 6

a21

a22

- 9

= A3 =

a31

a32

- 3 7

a11

a12

a13

4 - 6 7

a21

a22

a23

- 4

a31

a32

a33

- 3 7 - 5

		a11 × a22 ×b3 + a12 ×b2 × a31 + b1 × a21 × a32 -
=		b1 × a22 × a31 - a11 ×b2 × a32 - a12 × a21 ×b3					=
		a11 × a22 × a33 + a12 × a23 × a31 + a13 × a21 × a32 -
		a13 × a22 × a31 - a11 × a23 × a32 - a12 × a21 × a33
	4 × 3 × 4 + (- 6 )× (- 9)×(- 3)+ 6 × 2 ×7 -
=	6 × 3 × (- 3)- 4 ×( -9 )×7 - (- 6 )× 2 × 4					=
		4 × 3 ×( -5 ) +7 × 2 ×7 + ( -6 )×( -4 )×( -3 ) -
	7 × 3 ×( -3 ) - 4 ×( -4 )×7 - ( -6 )× 2 ×( -5 )
=		48 - 162 + 84 + 54 + 252 + 48	=	324	= 4.

	- 60 + 98 -72 + 63 + 112 - 60 81

Проверка найденных значений неизвестных с помощью подстановки данных значений в исходную совместную систему линейных алгебраических уравнений:

a11

a21

a31

x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3

4 x1 - 6 x2 +7 x3 = 6

Û + - = -

2x1 3x2 4 x3 9.- 3x1 +7 x2 - 5x3 = 4

Для оптимизации записи подведем каждое из трех уравнений системы под общий знаменатель.

4 x1 - 6 x2 +7 x3			= 6		4 ×	( -1 ) - 6 × 3 +7 × 4 = 6

2x1 + 3x2 - 4 x3 = -9					2 ×( -1 ) + 3 × 3 - 4 × 4 = -9
			= 4			×( -1 ) +7 × 3 - 5 × 4 = 4
- 3x1 +7 x2 - 5x3					- 3
- 4 - 18 + 28 = 6				6 = 6
	- 16	= -9
- 2 + 9				- 9 = -9
	- 20	= 4			= 4
3 + 21				4

Проверка полностью выполнена.

2. Решение с помощью обратной матрицы.

Суть решения заключается в реализации алгоритма, отвечающего следующему выражению:

	x
		1
A´ X = B X = A −1 ´ B = x2 .
3×3 3×1 3×1 3×1 3×3 3×1
	x3

Рассмотрим алгоритм решения представленной совместной системы линейных алгебраических уравнений с использованием обратной матрицы.

1. Осуществляется нахождение матрицы, обратной матрице коэффициентов при неизвестных:

	a	a	a	4	- 6 7
	11	12	13
A = a21		a22	a23	= 2	3 - 4 .
3×3		a32
	a31	a32	a33	- 3	7 - 5

a. Осуществляется нахождение определителя матрицы.

a11

a12

a13

- 6

= A =

a21

a22

a23

- 4

a31

a32

a33

- 3 7

- 5

= a11 × a22 × a33 + a12 × a23 × a31 + a13 × a21 × a32 -

a13 × a22 × a31 - a11 × a23 × a32 - a12 × a21 × a33 =

4 × 3 ×( -5 ) + 7 × 2 ×7 + ( -6 ) ×( -4 ) ×( -3 ) -

7× 3 ×( -3 ) - 4 ×( -4 ) ×7 - ( -6 ) × 2 ×( -5 ) =

-60 + 98 - 72 + 63 + 112 - 60 = 81.

b. Осуществляется транспонирование матрицы.

	aT	aT
	11	12
A T	= a21T	a22T
2×2	T	T
	a31	a32

aT	a
13		11
a23T	= a12
T
a33	a13

a		a			4
	21		31		- 6
a22		a32		=	- 6
a23		a33			7
a23		a33			7

2- 3

37 .

-4 - 5

c. Осуществляется нахождение алгебраических дополнений.

T A11 = (- 1)1+1 × a22T

a32

A12 = (- 1)1+2 × a21T

a31T

A13 = (-1)1+3 × a21T

a31T

A21 = (- 1)2+1 × a12T

a32T

A22 = (-1)2+2 × a11T

a31T

A23 = (-1)2+3 × a11T

a31T

A31 = (-1)3+1 × a12T

a22T

A32 = (- 1)3+2 × a11T

a21T

T A33 = (- 1)3+3 × a11T a21

aT	= (- 1)		×		3		7	= 3 ×( -5 ) -7 ×( -4 ) = 13.
a33T	= (- 1)		×	- 4			- 5	= 3 ×( -5 ) -7 ×( -4 ) = 13.
23	1+1
						-6
aT		= (- 1)		×			7		= -((-6 )×(- 5)-7 ×7 ) = 19.
aT							7
a33T						7	- 5
23		1+2

a22T = (-1)1+3 a32T

a13T = (- 1)2+1 a33T

a13T = (- 1)2+2 a33T

a12T = (-1)2+3 a32T

a13T = (-1)3+1 a23T

a13T = (-1)3+2 a23T

a12T = (-1)3+3 a22T

×-6 3 = (-6 )×(- 4)- 3 ×7 = 3. 7 - 4

×2 - 3 = -(2 ×(- 5)- (- 3)×(- 4)) = 22.

-4 - 5

×		4 - 3			= 4 ×(- 5)- (- 3)×7 = 1.

		7	- 5
×	4		2	= -(4 ×(- 4)- 2 ×7 ) = 30.

	7		- 4
× 2			- 3 = 2 ×7 - (- 3)×3 = 23.

×4 - 3 = -(4 ×7 - (- 3)×(-6 )) = -10.

-6 7

×4 2 = 4 ×3 - 2 ×(-6 ) = 24.

-6 3

d. Составляется присоединенная матрица.

A11

A12

A13

a11

a12

a13

A22

A23

= a21

a22

a23

= A21

= 22

30 .

3×3

~ ~

A32

A33

- 10

a31

a32

a33

A31

e. Формирование обратной матрицы.

		−1	−1	−1													~		~		~
		a11	a12	a13												a11			a12		a13
	−1	−1	−1	−1			1					~		1			~		~		~
A		= a21	a22	a23		=					×	A	=			× a21			a22		a23	=
								A

3×3		−1	−1	−1						3×3				A			~		~ ~
		a31	a32	a33												a31			a32		a33
											13			19				1
		13		3
			19									48		48			16
	1		19				1					48		48			16
	1						1					11			1			5
=		× 22	1	30	=				×											.
=		× 22	1	30	=				×			24		48				8		.
	81		- 10			81						24		48				8
		23	- 10	24								23		-	5			1

															24			2
											48				24			2

f. Проверка правильности нахождения обратной матрицы.

a11

a12

a13

a11−1

a12−1

a13−1

a22−1

A´ A −1 = a21

a22

a23

´ a21−1

a23−1 =

3×3 3×3

a32

−

a31

a33

a31

a32

a33

a11

a12

a13

a11

a12

a13

a21

a22

a23

a21

a22

a23

a32

a31

a33

a31

a32

a33

- 6 7

13 19

´ 2

3 -

4 ´ 22

- 3

7 -

- 10

4 ×13 + (- 6 )× 22 +7 × 23 4

×19 + (- 6 )×1 +7 ×(- 10)

2 ×13 + 3 × 22 + (- 4)× 23 2

×19 + 3 ×1 + (- 4)×(- 10)

(- 3)×13 +7 × 22 + (- 5)× 23 (- 3)×19 +7 ×1 + (- 5)×(- 10)

4 × 3 + (-

6 )× 30 +7 × 24

0 0

2 ×3 + 3 ×

30 + (- 4)× 24 =

´ 0

81 0

= 0

1 0

= E .

3×3

(- 3)×3 +7 ×30 + (- 5)× 24

0 81

0 1

2. Осуществляется нахождение матрицы неизвестных, которая состоит из значений необходимых неизвестных, с помощью перемножения матрицы, обратной матрице коэффициентов при неизвестных, на матрицу свободных коэффициентов:

a −1

A −1 ´ B =

X =

x2 =

a21−1

a22−1

a23−1

´ b2 =

3×1

3×3

3×1

−1

a31

a32

a33

a11

a12

a13

a21

a22

a23

´ b2

´ 22

30 ´

- 9

- 10 24

a31

a32

a33

×b1

×b2

×b3

a11

a12

a13

a21

×b1

a22

×b2

a23

×b3

´ b2

×b1

×b2

×b3

a31

a32

a33

13 ×6 + 19 ×(- 9)+ 3 × 4

- 81

- 1

22 ×6 + 1× (- 9)+ 30 × 4

243

6 + (- 10)× (- 9)+ 24 × 4

324

23 ×

3. Метод Гаусса.

Суть метода заключается в последовательном удалении неизвестных в уравнениях исходной совместной системы линейных алгебраических уравнений, начиная с последнего уравнения, для получения системы треугольного вида, с последовательным нахождением значений неизвестных также начиная с последнего уравнения системы, включающего только одну неизвестную.

Схема, иллюстрирующая суть метода Гаусса для совместной системы линейных алгебраических уравнений, состоящей из трех уравнений:

◊ + ◊ + ◊ = ◊	◊ + ◊ + ◊ = ◊		◊ + ◊ + ◊ = ◊

◊ + ◊ + ◊ = ◊	__ ◊ + ◊ = ◊		__ ◊ + ◊ = ◊ .
		__ ◊ + ◊ = ◊		_____ ◊ = ◊
◊ + ◊ + ◊ = ◊

Рассмотрим алгоритм реализации метода Гаусса для совместной системы линейных алгебраических уравнений, состоящей из трех уравнений:

+ a

= b

4 x

-6 x

+7 x

= 6

a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2

Û 2x1

+ 3x2 - 4 x3 = -9.

+ a32 x2

+ a33 x3

= b3

- 5x3 = 4

a31 x1

- 3x1 +7 x2

1. Необходимо все компоненты второго (третьего) уравнения умножить на коэффициент, равный отношению коэффициентов при первом неизвестном для первого и второго (третьего) уравнения, взятого с обратным знаком, то есть k21 ( k31 ).

Получим следующую запись исходной системы:

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1												4 x1 -6 x2 +7 x3 = 6
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 Û 2x1 + 3x2 - 4 x3 = -9.
a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3												- 3x1 +7 x2 - 5x3 = 4
			4 x1 - 6 x2 +7 x3 = 6
					+ 3x2 - 4 x3						= -9
´ k21 = -2 2x1					+ 3x2 - 4 x3						= -9
		4	- 3x +7 x						- 5x			= 4
´ k31	=				1			2			3
´ k31	=	3			1			2			3
		3
				4 x1 - 6 x2						+7 x3 = 6
				4 x1 - 6 x2						+7 x3 = 6
(- 2)× 2x1 + (- 2)× 3x2 -										(- 2)× 4 x3 = (- 2)× (- 9)
		-	4	× 3x1 +		4	×7 x2 -				4	×5x3 =	4	× 4

			3			3					3		3
			3			3					3		3

		- 6 x2 +7 x3 = 6
	4 x1	- 6 x2 +7 x3 = 6
	- 4 x1	- 6 x2 + 8 x3 = 18 .
	- 4 x1	- 6 x2 + 8 x3 = 18 .
		28			20		16
- 4 x1 +			x2	-		x3 =
- 4 x1 +		3	x2	-	3	x3 =	3
		3			3		3

2. Необходимо первое уравнение системы сложить со вторым (третьим) уравнением и результат сложения записать вместо второго (третьего) уравнения системы с последующей подгонкой левой и правой частей второго (третьего) уравнения под общий знаменатель с целью последующей его ликвидации. В результате получим первое уравнение с тремя неизвестными, а второе и третье уравнения с двумя неизвестными.

Получим следующую запись системы:

				4 x1 - 6 x2 +7 x3 = 6
				4 x1 - 6 x2 +7 x3 = 6
Å				- 4x1 - 6 x2 + 8x3									= 18
Å	1,2			- 4x1 - 6 x2 + 8x3									= 18
						28					20			16
Å	-			4x1 +				x2		-		x3 =
	-			4x1 +		3		x2		-	3	x3 =		3
	1,3					3					3			3
						4x1 - 6 x2 +7 x3 = 6
						4x1 - 6 x2 +7 x3 = 6
	4 x1	- 4 x1 - 6 x2 - 6 x2 +7 x3 + 8 x3 = 6 + 18
	4 x1	- 4 x1 - 6 x2 - 6 x2 +7 x3 + 8 x3 = 6 + 18
									28						20						16
4 x1 - 4 x1 - 6 x2							+				x2	+7 x3		-			x3		=	6 +
4 x1 - 4 x1 - 6 x2							+		3		x2	+7 x3		-		3	x3		=	6 +	3
									3							3					3

				4x1 - 6 x2 +7 x3 = 6
					- 12x2 + 15x3 = 24
					- 12x2 + 15x3 = 24
			28								20							16
			28								20							16
	- 6 +				× x2		+ 7			-			× x3	=		6 +
	- 6 +				× x2		+ 7			-	3		× x3	=		6 +		3
				3							3							3

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]