Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Линейная алгебра дистанционные динамические расчетные проекты. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Для квадратной матрицы первого порядка:

A 3 = A2 ´ A =

)´(a

) = (- 3)´(- 3) = (a × a

) = (a2

1×1

1×1 1×1

((- 3)2 )

= (9).

Возведение квадратной матрицы второго порядка во вторую

степень (квадрат):

G = F

g11

g12

f11

f12

= F ´ F =

2×2

2×2 3×3

g21

f21

f22

f21

f22

- 5

f11 × f11 + f

12 × f21

f11 ×

f12 + f12

× f22

- 8

× f11 + f22 × f21

f21 ×

- 8

f21

f12 + f22 × f22

(- 5)×(- 5)+ 3 ×4

(- 5)×3 + 3 ×(- 8)

- 39

×(- 5)+ (- 8)×4

- 44

4 ×3 + (- 8)×(- 8)

G = F

= F

´ F =

2×2

2×2 3×3

g21

g22

f21

f22

f21

f22

- 5

f11 × f11 + f12 × f21

f11

× f12 + f12

× f22

× f11 + f22 × f21

- 8

f21

f21 × f12 + f22 × f22

(- 5)×(- 5)+ 3×4

(- 5)×3 + 3

×(- 8)

- 39

×(- 5)+ (- 8)×4

4 ×3 + (- 8)×(-

- 44

Возведение квадратной матрицы второго порядка в третью степень (куб):

H = F			= G ´ F =
		3
		3			h11
2×2	2×2		2×2 3×3		h21
	37		- 39		- 5
=				´
	- 44		78
	- 44		78		4
37 ×(- 5)+ (- 39)×4
=	(- 44)×(- 5)+78 ×4
	(- 44)×(- 5)+78 ×4

h12	g	11	g12	f	11	f12	=
	=			´			=

h22	g21		g22	f21		f 22

3	g11 × f11 + g12 × f 21			g	11 × f12	+ g12	× f22	=
	=							=
			× f21	g
- 8	g21 × f11 + g22		× f21	g	21 × f12 + g22 × f 22
37 ×	3 +	(- 39)×(- 8)	341		423
(- 44)×			=			.
					-756
		3 +78 ×(- 8)	92		-756

Возведение квадратной третьего матрицы во вторую степень (квадрат):

							l	11	l	12	l	13	k	11	k	12	k	13
								11		12		13		11		12		13
L = K 2 = K ´ K = l21									l22		l23 = k21				k22		k23 ´
3×3		3×3		3×3 3×3					l32						k32
							l31		l32		l33		k31		k32		k33
k		k		k			- 5 4					2	- 5 4					2
	11		12		13				- 3						- 3				=
k	21	k22		k23		= 2			- 3		- 2		´ 2		- 3		- 2		=
		k32								4		1		6		4		1
k31		k32		k33			6			4		1		6		4		1

× k

+ k

× k

+ k

× k

= k21 × k11 + k22 × k21 + k23 × k31

× k11

+ k32 × k21 + k33 × k31

k31

× k

+ k

× k

+ k

× k

k21 × k13 + k22 × k23 + k23 × k33

k31 × k13 + k

32 × k23 + k

33 × k33


k11		× k12 + k12 × k22 + k13 × k32
k21		× k12	+ k22	× k22 + k23 × k32
k31		× k12	+ k32	× k22 + k33 × k32
(- 5)×( -5 ) + 4 ×					2 + 2 ×6
	×( -5 ) + (- 3)× 2				+ (- 2)×6
2
		6 ×( -5 ) + 4 × 2			+ 1×6

	(- 5)× 4 + 4 × (- 3)+ 2 × 4 (- 5)× 2 + 4 × (- 2)+ 2 ×1
2 × 4 + (- 3)×(- 3)+ (- 2)× 4 2 × 2 + (- 3)×(- 2)+ (- 2)×1 =
	6 × 4 + 4 × (- 3)+ 1× 4 6 × 2 + 4 × (- 2)+ 1×1
	6 × 4 + 4 × (- 3)+ 1× 4 6 × 2 + 4 × (- 2)+ 1×1
	- 5	- 24	- 16
	- 28
=	- 28	11	8	.
	- 16	16	5
	- 16	16	5

Возведение квадратной третьего матрицы в третью степень

(куб):

M = K 3 =

L ´ K =

m21

m22

m23

= l21

l22

l23

3×3

3×3 3×3

m32

l32

m31

m33

l31

l33

k11

k12

k13

- 5 - 24

- 16

- 5 4

k21

k22

k23

- 28 11

´ 2

- 3

k32

- 16 16

k31

k33

l11 × k11 + l12			× k21	+ l13	× k31			l11 × k12	+ l12 × k22 + l13 × k32
= l21	× k11	+ l22	× k21	+ l23	× k31			l21 × k12	+ l22 × k22	+ l23 × k32
	× k11	+ l32	× k21	+ l33	× k31			l31 × k12	+ l32 × k22	+ l33 × k32
l31
l11 × k13 + l12 × k23 + l13 × k33							(- 5)×( -5 ) + (- 24)× 2 + (- 16 )×6
l21 × k13 + l22 × k23 + l23 × k33								(- 28)×( -5 ) + 11× 2 + 8 ×6
						=
								(- 16 )×( -5 ) + 16 × 2 + 5 ×6
l31 × k13 + l32 × k23 + l33 × k33

(- 5)×4 + (- 24)×(- 3)+ (- 16 )×4	(- 5)× 2 + (- 24)×(- 2)+ (- 16 )×
(- 28)×4 + 11×(- 3)+ 8 ×4	(- 28)× 2 + 11×(- 2)+ 8 ×1
(- 16 )×4 + 16 ×(- 3)+ 5 ×4	(- 16 )× 2 + 16 ×(- 2)+ 5 ×1

- 119		- 12	22
		- 113	-70
=	178			.
	142	- 92	- 59

Таким образом, при возведении квадратной матрицы любого порядка в любую степень в большинстве случаев результат последовательного перемножения квадратной матрицы саму на себя отличается от простого возведения квадратной матрицы

внеобходимую степень соответствующих элементов матрицы.

2.Нахождение определителя матрицы. Определитель

матрицы является определенной числовой характеристикой, которая характеризует матрицу, то есть, является попыткой сведения матрицы к определенному числу. Однако в силу имеющегося алгоритма нахождения данного числа для разных

матриц определители могут совпадать по числовому значению. Определитель используется для нахождения обратной матрицы.

Нахождения определителя квадратной матрицы первого порядка. Значение определителя квадратной матрицы первого порядка равно значению единственного элемента матрицы.

A = (a11 ) = -7 .

1×1

A = A = a11 = -7 = a11 = -7 .

Нахождения определителя квадратной матрицы второго порядка. Значение определителя квадратной матрицы второго порядка равно разности произведений элементов главной и побочной диагоналей матрицы.

b11	b12	7	- 8

B =		=	.
2×2 b21	b22	5	- 4

	B	= B =	b11	b12	=	7	- 8	= b ×b - b ×b =


			b21	b22		5	- 4	11	22	12	21	.
= 7 ×(- 4)-
			( -8 )×5		= 12.

Нахождения определителя квадратной матрицы третьего порядка. Значение определителя квадратной матрицы третьего порядка определяется как разность между компонентами согласно изображенному на рисунке правилу треугольников, при этом данное правило является расширением формулы разности произведений элементов главной и побочной диагоналей матрицы (рис. 13).

Рисунок 13. Иллюстрация правила треугольников

	c11	c12	c13	- 2 1		4
					- 5
C = c21		c22	c23	= 3	- 5	- 2 .
3×3		c32
	c31	c32	c33	- 8 6		3

c11

c12

c13

- 2

= C =

c21

c22

c23

3 - 5 - 2

= c11 ×c22 ×c33 +

c31

c32

c33

- 8

c12 ×c23 ×c31 + c13 ×c21 ×c32 - c13 ×c22 ×c31 - c11 ×c23 ×c32 - c12 ×c21 ×c33 =

= (- 2)×( -5 )×3 + 1×(- 2)×(- 8) + 4 ×3 ×6 - 4 ×( -5 )×(- 8) -

( -2 )×(- 2)×6 -1×3 ×3 = -75.

Нахождение определителя квадратных матриц может осуществляться с помощью понижения порядка квадратной матрицы. Осуществляется разложение искомой матрицы по любой строке или любому столбцу, используя алгебраические дополнения для соответствующих элементов.

Применение метода понижения порядка квадратной матрицы для квадратной матрицы второго порядка.

b11	b12	7	- 8

B =		=	.
2×2 b21	b22	5	- 4

Разложение квадратной матрицы второго порядка по первой строке:

	B	= B =	b11		b12			=	7	- 8	= b × A + b × A =


			b21		b22				5	- 4		11		11			12	21
			b21		b22				5	- 4
= b ×( -1 )1+1				×	b	+ b ×( -1 )1+2						×	b		= b ×b - b ×b =
= b ×( -1 )1+1				×	b	+ b ×( -1 )1+2						×	b		= b ×b - b ×b =
11					22		12							21		11	22	12	12

= 7 ×( -4 ) -( -8 )×5 = -28 -( -40 ) = 12.

Разложение квадратной матрицы второго порядка по второму столбцу:

= B =

b11

b12

7 - 8

= b12 × A21 + b22 × A22 = b12 ×( -1 )2+1 ×

b21

b22

- 4

b22 ×( -1 )1+1 ×

b11

= -b12 ×b21 + b11 ×b22 = b11 ×b22 - b12 ×b21 = 7 ×( -4 ) -

( -8 )×5 = -28 -( -40 ) = 12.

Применение метода понижения порядка квадратной матрицы

для квадратной матрицы третьего порядка.

- 2 1

- 5

C = c21

c22

c23 =

- 2 .

3×3

c32

c31

c33

- 8 6

Разложение квадратной матрицы второго порядка по второй

строке:

c11

c12

c13

- 2

= C =

c21

c22

c23

3 - 5 - 2

= c21 × A21 + c22 × A22 +

c31

c32

c33

- 8

c23 × A23 = c21 ×( -1 )2+1 ×

c12

c13

+ c22

×( -1 )2+2 ×

c11

c13

c32

c33

c31

c33

×( -1 )2+3 ×

c11

c12

= -c

× (c × c

- c × c

) + c

× (c × c

- c × c

) -

c31

c32

c23 × (c11 × c32 - c12 × c31 ) = -c21 × c12 × c33 + c21 × c13 × c32 + c22 × c11 × c33 -

c22 × c13 × c31 - c23 × c11 × c32

+ c23 × c12 × c31 = c11 × c22 × c33

+ c12 × c23 × c31 +

c13

× c21 × c32

- c13 × c22 × c31

- c11 × c23 × c32

- c12 × c21 × c33 =

= (- 2)×( -5 ) × 3 + 1 × (- 2)× (- 8) + 4 × 3 ×6 - 4 ×( -5 ) × (- 8) -

( -2 ) × (- 2)×6 - 1 × 3 × 3 = -75.

Разложение квадратной матрицы третьего порядка по первому столбцу:

c11

c12

c13

- 2

= C =

c21

c22

c23

3 - 5 - 2

= c11 × A11 + c21 × A21 +

c31

c32

c33

- 8

c31 × A31 = c11 ×( -1 )2+1 ×

c12

c13

+ c22

×( -1 )2+2 ×

c11

c13

+ c23 ×

c32

c33

c31

c33

( -1 )2+3 ×

c11

c12

= -c

(c ×c

- c ×c

)+ c

(c ×c

- c ×c

c31

c32

c23 ×(c11 ×

c32 - c12 ×c31 ) = -c21 ×c12 ×c33 + c21 ×c13 ×c32 + c22 ×c11 ×c33 -

c22 ×c13 ×c31 - c23 ×c11 ×c32 + c23 ×c12 ×c31 = c11 ×c22 ×c33 +

c12 ×c23 ×c31 + c13 ×c21

×c32

- c13

×c22 ×c31 - c11 ×c23 ×c32 - c12 ×c21 ×c33

= (- 2)×( -5 )×3 + 1×(- 2)×(- 8)+ 4 ×3 ×6 - 4 ×( -5 )×(- 8)

( -2 )×(- 2)×6 - 1×3 ×3 = -75

3. Нахождение обратной матрицы.

Операция нахождения обратной матрицы для квадратной матрицы любого порядка осуществляется согласно следующему алгоритму:

−Осуществляется нахождение определителя матрицы. Если определитель равен 0, то матрица является вырожденной и для нее обратная матрица не существует. В обратном случае матрица является невырожденной и для нее существует обратная матрица.

−Осуществляется транспонирование матрицы – строки матрицы заменяются столбцами.

−Осуществляется нахождение для каждого элемента транспонируемой матрицы алгебраических дополнений.

−Составляется присоединенная матрица, элементы которой являются соответствующими полученными алгебраическими дополнениями.

−Обратная матрица определяется как произведение присоединенной матрицы и числа, обратного определителю.

− Проверка правильности нахождения обратной матрицы. Произведение исходной матрицы на обратную и обратной матрицы на исходную равно единичной матрице.

Осуществим нахождение обратной матрицы для квадратной матрицы второго порядка:

d11	d12	4	- 3

D =		=	.
2×2 d21	d22	6	- 5

– Осуществляется нахождение определителя матрицы.

= D =

d11

d12

4 - 3

= d11 × d

22 - d21 × d12

d21

d22

6 - 5

=4 ×( -5 ) -( -3 )×6 = -2.

–Осуществляется транспонирование матрицы.

	T	d T		d T		d	11	d		4		6
			11		12		11		21
D =			T	d	T	=		d		=	- 3	.
2×2		d	21	d	22	d12		d	22		- 3	- 5

– Осуществляется нахождение алгебраических дополнений.

A11

= (- 1)1+1 ×

d22T

= (- 1)1+1 ×

d22

= (- 1)1+1 ×

- 5

= d22 = -5 .

A12

= (- 1)1+2 ×

d21T

= (- 1)1+2 ×

d12

= (- 1)1+2 ×

- 3

= -d12 = 3.

A = (- 1)2+1 ×

d T

= (- 1)2+1 ×

= -d

= -6.

A = (- 1)2+2 ×

d T

= (- 1)2+2 ×

= d

= 4.

–

Составляется присоединенная матрица.

A11

A12

d22

- d12

- 5

2×2

- 6

A21

A22

- d21

d11

–

Формирование обратной матрицы.

−1

D −1 =

× D

−1

2×2

D 2×2

d22

- d12

- 5 3

2 .

(- 2)

- 6 4

- d

– Проверка правильности нахождения обратной матрицы

( D´ D	−1 = D	1	0	= E .).
		−1 ´ D =
2×2 2×2	2×2			2×2
		2×2 0	1

											d			11			d				d				−1			d			−1						1			d	11	d
D´ D −1 =														11				12 ´						11						12					=				´		11		12		´
D´ D −1 =																		12 ´							−1					12					=				´				12		´
2×2 2×2																									−1			d			−1							D				d
	~					~					d21						d22				d			21				d		22								D		d21		d	22
	~					~									1				d11				d12								d22							- d12
d						d						=			1		´		d11				d12					´			d22							- d12
	~					~						=					´											´													=
		11						12

d21						d22									D				d21				d22								- d21								d11
					1						4				- 3					- 5					3														1
=	-								´										´									=																´
=	-								´										´									=				(d11 × d22 - d12 × d21 )												´
					2
					2						6				- 5					- 6					4
d × d - d × d																				- d × d + d × d
		11				22							12				21				11					12							12					=
		11				22							12				21				11					12							12				11
d21 × d22 - d22 × d21																				- d21 × d12 + d22 × d11
	d			11			× d			22		- d			12	× d			21
				11						22					12				21										0
=			d11 × d22 - d12 × d																21																					=
=																					d				× d				- d							× d				=
												0									d	11			× d		22		- d					12		× d		21
												0										11					22							12				21
																					d11 × d22 - d12 × d21

		1	4	×( -5 ) + ( -3 ) ×( -6 )
=	-		´

		2		×( -5 ) + ( -5 ) ×( -6 )
			6

	1	- 2	0	1	0
=		´		=		= E
=		´		=		= E
	- 2					2×2
	- 2	0	- 2	0	1	2×2

4 × 3 + ( -3 ) × 4	=
	=

6 × 3 + ( -5 ) × 4

−1

D −1 ´ D =

−1

2×2 2×2

d21

d11

d12

d22

- d12

d11

d12

- d21

d21

d22

d11

d21

d22

- 3

- 5

(d11 × d22

- d12 × d21 )

- 6

d × d - d × d									d × d - d × d						=
			22	11		12	21	22		12		12	22		=
			22	11		12	21	22		12		12	22
	- d21 × d11 + d11 × d21							- d21 × d12 + d11 × d22
		d11 × d22 - d12 × d21
											0
				× d22	- d12 × d21						0
=		d11		× d22	- d12 × d21									=
=									d11 × d22 - d12 × d					=
					0				d11 × d22 - d12 × d				21

									d11 × d22 - d12 × d
									d11 × d22 - d12 × d				21

		1	- 5		3	4	- 3
=	-		´			´		=

		2		- 6
					4	6	- 5

× d

+ d

× d21

× d12

× d

d11

× d11 + d12

d11

+ d12

( -5 )× 4 + 3

×6 ( -5 )×( -3 ) + 3

×( -5 )

-6 )× 4 + 4

(

×6 ( -6 )×( -3 ) + 4 ×( -5 )

- 2

= E .

- 2

2×2

Осуществим нахождение обратной матрицы для квадратной матрицы третьего порядка (вычисления представлены в основном числовыми эквивалентами):

	f		11	f12	f13	4	5	- 2
							- 2
F = f			21	f22	f23	= 3	- 2	7 .
3×3		f31		f32			- 1
		f31		f32	f33	4	- 1	8

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]