Лекции по алгебре. В 2 частях. Ч.1. Учебное пособие

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РФ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Механико-математический факультет

А. П. Пожидаев, С. Р. Сверчков, И. П. Шестаков

ЛЕКЦИИ ПО АЛГЕБРЕ

Часть 1

Учебное пособие

Издание второе, исправленное и дополненное

Новосибирск

2022

УДК 512.64 (075) ББК В14.5я73-1 П 466

Рецензенты:

кандидат физ.-мат. наук М. Е. Гончаров, доктор физ.-мат. наук П. С. Колесников.

П 466Пожидаев, А. П.

Лекции по алгебре: в 2 ч.: учеб. пособие / А. П. Пожидаев, С. Р. Сверчков, И. П. Шестаков ; Новосиб. гос. ун-т. — Новосибирск : ИПЦ НГУ, 2022. Ч.1. 98 с.

ISBN 978-5-4437-1356-4

ISBN 978-5-4437-1357-1(часть 1)

В пособии излагается основной курс высшей алгебры, читавшийся авторами в 1989–2022 гг. на одном из потоков первого курса механикоматематического факультета Новосибирского государственного университета. Часть 1 соответствует программе первого семестра, а часть 2

— второго. Для чтения и понимания текста от читателя требуется знание элементарных понятий теории множеств, отображений и принципа математической индукции.

Предназначено для студентов естественно-научных и инженерных специальностей, аспирантов и научных сотрудников.

512.64 (075) ББК В14.5я73-1

Рекомендовано к печати кафедрой алгебры и математической логики ММФ НГУ 31.08.2022

Оглавление

6Эквивалентность систем линейных уравнений при

3

3Подгруппы, циклические группы. Порядок элемента и

4Симметрическая группа. Разложение подстановки на

5Разложение на транспозиции, независимость чётности

4

Введение

Что такое алгебра? Ответить на этот вопрос однозначно, достаточно определённо и к тому же коротко нельзя. С одной стороны, истоки алгебры уходят вглубь веков — можно сказать, что она началась тогда, когда появились первые алгебраические операции — арифметические действия над N и Q+. С другой стороны, алгебра появилась, когда цифры стали заменяться буквами. Точка зрения на то, что является объектом исследования алгебры, постоянно менялась. Так, в VII–VIII вв. под алгеброй понималась наука о буквенных вычислениях, решение алгебраических уравнений и т. п. В VIII–XIX вв. алгебра — это алгебра многочленов, теория систем алгебраических уравнений с несколькими неизвестными, теория матриц и определителей. С середины XIX в. центр тяжести в исследованиях смещается на изучение произвольных алгебраических операций, что произошло вследствие расширения понятия числа: появились комплексные числа, кватернионы, октонионы. В конце XIX – начале XX вв. возникает общая аксиоматическая основа всех старых идей. В принципе, можно сказать, что предметом изучения современной алгебры являются множества с заданными на них алгебраическими операциями. Поэтому, если говорить о современной алгебре и её приложениях, нужно описать все основные её структуры: группы, кольца, поля и т. д. Это, в частности, в самом общем виде будет сделано нами в данном курсе лекций, а более подробное знакомство с алгеброй будет проходить по мере её изучения.

Говоря общими словами, алгебра по отношению ко всей математике занимает примерно такую же позицию, как математика по отношению к остальным наукам. Наряду с “математизацией” естествознания в наши дни не без основания говорят об “алгебраизации” математики, т. е. о проникновении идей и методов алгебры в самые различные разделы математики, а также физики. В настоящее время алгебраический язык стал играть роль “языка межнационального общения”, связывающего между собой различные дисциплины математики и физику.

5

Процесс применения алгебры похож на процесс применения математики. Чтобы методами математики изучить какое-либо явление естествознания, строят его математическую модель. Если она достаточно адекватно отражает свойства явления, то, изучая её методами математики, мы можем что-то говорить и о самом явлении. Аналогично различным объектам математического исследования можно сопоставить некоторый алгебраический объект, в той или иной мере отражающий свойства исходного объекта, и т. д. Выдающийся алгебраист И. Р. Шафаревич называет этот процесс “координатизацией”, имея в виду, что математические объекты координатизируются алгебраическими.

Самый наглядный пример: декартовы координаты, сводящие геометрические задачи к решению алгебраических уравнений. Здесь координатами служат числа, которые можно складывать и умножать. Однако в других случаях для такой “координатизации” обычных чисел с обычным сложением и умножением далеко не достаточно. Наоборот, сталкиваясь с новым типом объектов, мы вынуждены конструировать (или открывать) новые типы координатизирующих их “величин”. Построение и исследование возникающих таким образом “величин” с определёнными на них операциями — этим и характеризуется (конечно, очень приближённо) место алгебры в математике.

С этой точки зрения развитие любого раздела алгебры состоит из двух этапов. Первый — это рождение нового типа алгебраических объектов из некоторой проблемы координатизации; второй — их дальнейшая жизнь, т. е. систематическое развитие теории этого класса объектов, иногда тесно связанное, а иногда и совсем не связанное с той областью, в связи с которой объекты возникли. Здесь вновь ситуация такая же, как и у математики в целом.

Линейная алгебра. Основное внимание в данном курсе уделяется линейной алгебре. С широкой точки зрения содержание линейной алгебры состоит в разработке математического языка для выражения одной из самых общих естественно научных идей — идеи линейности. Возможно, её важнейшим частным случаем является принцип линейности малых приращений: почти всякий естественный процесс почти всюду в малом линеен (отметим, что под “почти” здесь стоит по сути — сейчас и фракталы рассматриваются как естественные объекты, и квантовые вычисления, которые нелинейны при любом “увеличении”). Этот принцип лежит в основе всего математического анализа и его приложений. Основные методы и понятия линейной алгебры являются на самом деле общими для многих разделов математики и её

6

приложений: математического и функционального анализа, линейных неравенств математической экономики, теории кодирования (над конечными полями), вычислительных методов линейной алгебры, полилинейной и общей алгебры. Краеугольным камнем в здании линейной алгебры лежит знакомая всем со школы векторная алгебра трёхмерного пространства, и на первых порах можно применять ко всем новым понятиям 3-мерную геометрическую интуицию.

Основной модельной задачей линейной алгебры является решение систем линейных уравнений. С изучения линейных уравнений мы и начинаем первую главу. Далее у нас естественно возникают матрицы, векторные пространства и линейные преобразования. Во второй главе мы рассматриваем основные алгебраические системы: группы, кольца и поля. В третьей главе изучаются многочлены. Четвёртая глава даёт более глубокий анализ линейных преобразований над алгебраически замкнутым полем, а пятая — линейных преобразований пространств со скалярным произведением над полями R и C. Шестая глава посвящена основам теории квадратичных форм, а седьмая — основам теории базисов Грёбнера — Ширшова, которые в случае коммутативных алгебр называются базисами Грёбнера и которые вновь возвращают нас к системам уравнений, однако на этот раз — к системам произвольных алгебраических уравнений над полями. Заключительная, восьмая глава посящена конструкции тензорного произведения, которая позволяет единообразно изложить многие аспекты линейной алгебры.

Обозначения: A B означает, что из утверждения A следует утверждение B; A B — эквивалентность утверждений A и B; квантор всеобщности служит заменой выражения “для всех”; — квантор существования; ! — существует единственный; N обозначает натуральные числа, N0 — натуральные числа с нулём, Z — целые числа, Q — рациональные, R — действительные, C — комплексные числа; i — мнимая единица в C; символ := означает равенство по определению; конец доказательства обозначается символом □.

Нумерация параграфов в каждой главе сквозная. Ссылка, например, на утверждение 1 означает утверждение 1 данного параграфа; ссылка, на утверждение 1 § 4 означает утверждение 1 параграфа 4 данной главы, а ссылка на утверждение 1 § 2.4 означает утверждение 1 четвёртого параграфа второй главы.

Более подробное изложение сведений из данного пособия и дополнительный материал можно найти в следующих изданиях:

7

1.Аржанцев И. В. Базисы Грёбнера и системы алгебраических уравнений. М.: МЦНМО, 2003;

2.Бардаков В. Г. Лекции по алгебре Ю. И. Мерзлякова. Новосибирск: НГУ, 2012;

3.Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. М.: Наука, 1976;

4.Васильев А. В., Мазуров В. Д. Высшая алгебра. Новосибирск: НГУ, 2010;

5.Винберг Э. Б. Курс алгебры. М.: Факториал, 1999;

6.Кострикин А. И. Введение в алгебру. М.: Физ.-мат. лит., Ч. I-III, 2000;

7.Курош А. Г. Курс высшей алгебры. СПб., 2003;

8.Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 2005;

9.Прасолов В. В. Многочлены. М.: МЦНМО, 2000;

10.Чуркин В. А. Жорданова классификация конечномерных линейных операторов. Новосибирск: НГУ, 1991.

Благодарности: А. В. Васильеву, М. Е. Гончарову, В. Н. Желябину, П. С. Колесникову.

8

Глава 1. Векторные пространства.

Матрицы и определители

Глава начинается с изучения линейных уравнений, однако предварительно вводится понятие поля и, в частности, строится поле комплексных чисел, чтобы в дальнейшем рассматривать системы линейных уравнений в более общей ситуации (для простоты читатель всегда может понимать под полем действительные числа). Далее естественно возникают матрицы, векторные пространства и линейные преобразования, затем вводится понятие определителя матрицы, даются его основные свойства и приложения к решению систем линейных уравнений.

§1. Определение и примеры полей

Декартово произведение A × B множеств A и B есть множество всех упорядоченных пар (a, b), где a A, b B. Таким образом, A × B = {(a, b) : a A, b B}. Декартова n-я степень множества A есть множество A×n := An = {(a1, . . . , an) : ai A}.

Пример. Пусть A = {1, 2} , B = {3, 7, 8}. Тогда

A × A = {(1, 1) , (1, 2) , (2, 1) , (2, 2)} ;

A × B = {(1, 3) , (1, 7) , (1, 8) , (2, 3) , (2, 7) , (2, 8)} .

Пусть X — некоторое множество. Отображение f : X × X → X называется бинарной операцией на X, т. е. f — бинарная операция, если для любых x1, x2 X однозначно определён элемент f (x1, x2) X. Запишем x y вместо f(x, y). Бинарная операция на X называется ассоциативной, если (a b) c = a (b c) для любых a, b, c X, и коммутативной, если a b = b a для любых a, b X.

9

Множество F называется полем, если на нём определены две ассоциативные и коммутативные бинарные операции + (сложение) и · (умножение, символ которого часто не ставится) такие, что:

1)существует такой элемент 0 F , что для любого a F выполняется равенство a + 0 = a; краткая запись: ( 0 F : a F ) a + 0 = a; элемент 0 называется нулём, нулевым или нейтральным;

2)для любого элемента a F существует такой b F , что a + b = 0 (b обозначается как −a и называется противоположным к a);

3)существует такой элемент 1 F (1 ̸= 0), что для любого a F выполнено a · 1 = a; (элемент 1 называется единицей);

4)для любого ненулевого a F существует такой b F , что a·b = 1 (элемент b называется обратным к a и обозначается a−1);

5)(a + b)c = ac + bc для любых элементов a, b, c F .

Примеры полей:

•Q; +, · — поле рациональных чисел;

•R; +, · — поле действительных чисел;

•{0, 1}; +, · , где операции стандартны, кроме 1 + 1 = 0;

√√

•Q( 2) = {a + b .2 : a, b Q}

Заметим, что N и Z полями не являются. Всюду далее символом F мы будем обозначать некоторое поле. Элементы поля часто называются

скалярами.

§2. Поле комплексных чисел: конструкция в виде пар из R

Пусть C = {(a, b) : a, b R}. Определим на C операции:

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d), (a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc).

Теорема 1. C; +, · является полем.

Доказательство. Заметим, что 0 = (0, 0) и 1 = (1, 0) являются со-

ответственно нулём и единицей в C. Элемент (a2+a b2 , a2−+bb2 ) является обратным к (a, b) ̸= 0. Далее доказательство состоит в очевидной про-

10