Лекции по алгебре. В 2 частях. Ч.1. Учебное пособие

Неизвестные xk1 , . . . , xkr назовём главными, все остальные неизвестные — свободными. Заметим, что по определению мы имеем r главных неизвестных и (n − r) свободных неизвестных.

Введём обозначения для линейных комбинаций свободных неизвестных, входящих в каждое уравнение (3):

...,k

(здесь и всюду далее символ Xb означает отсутствие выражения X). Тогда

Придадим свободным неизвестным произвольные значения из F и подставим их в (4). Тогда из последнего уравнения однозначно найдём xkr , подставим это значение в (r − 1)-е уравнение и однозначно найдём xkr−1 . Продолжая так далее, подставим найденные значения в первое уравнение и однозначно найдём x1. Следовательно, система (2) (а потому и (1)) совместна. Найденные решения из (4) называются общим решением системы (1).

3. Определённость. Если система (3) содержит хотя бы одну свободную неизвестную, то она, очевидно, является неопределённой, т. е. если r < n, то система (3), а следовательно (2) и (1), являются неопределёнными. Пусть система (3) не содержит свободных неизвестных, т. е. r = n. Тогда в системе (4) n уравнений и отсутствуют ℓ1, . . . , ℓr. Следовательно, x1, . . . , xn определяются однозначно.

Таким образом, доказана

Теорема 1. Система (1) с ненулевой расширенной матрицей является:

1) совместной тогда и только тогда, когда dr+1 = 0 в ступенчатой системе (2). В этом случае свободным неизвестным можно придать произвольные значения, а главные неизвестные при этих условиях определяются однозначно;

21

2) определённой тогда и только тогда, когда r = n в ступенчатой системе (2).

Пример. Исследовать систему методом Гаусса:

2x1 + x2 = 0,

x1 + 2x2 + x3 = 0,

x2 + 2x3 = 4.

Решение. Приведём расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:

Значит, система является определённой, и x3 = 3, x2 = −2, x1 = 1.

§9. Векторные пространства

Произвольное множество элементов V ̸= называется векторным (или линейным) пространством над полем F , если на V заданы ассоциативная коммутативная бинарная операция + сложения и унарная операция · умножения на скаляр (т. е. для любого скаляра α F определено такое отображение fα : V 7→V , что fα(v) := α · v := αv V ), удовлетворяющие следующим аксиомам:

1) существует нулевой элемент (ноль) 0 V такой, что v + 0 = 0 + v = v для любого v V ; для любого v V существует w V такой, что v + w = w + v = 0 (элемент w называется противоположным к v и обозначается как −v);

2)для любых α, β F, u, v V выполняется:

a)(αβ) v = α (βv) (ассоциативность умножения на скаляр);

б) (α + β) v = αv + βv, α (u + v) = αu + αv (дистрибутивность);

в) 1v = v, где 1 F .

Элементы пространства V называются векторами, элементы из F называются скалярами.

Простейшие свойства операций векторного пространства.

1.В V существует только один нулевой элемент. Действительно, пусть 01 и 02 — два нулевых элемента из V , тогда 01 + 02 = 01 = 02. □

2.Для любого x V существует единственный y V такой, что x + y = y + x = 0. Действительно, пусть x + y1 = x + y2 = 0, тогда

22

(x + y1) + y2 = 0 + y2 = y2 = x + (y1 + y2) = x + (y2 + y1) = (x + y2) + y1 = 0 + y1 = y1. □

6. Для любых a, b V имеем −(−a) = a, −(a + b) = −a − b. Доказательство следует из пункта 2. □

7. Для любых α F, a V имеем −(αa) = (−α)a: αa + (−α)a = (α + (−α))a = 0a = 0 αa = −(−αa). □

Примеры векторных пространств.

1. E3 — множество векторов трёхмерного пространства над R с началом в точке 0 относительно операций векторного сложения и умножения на скаляр.

Докажем, что Fn с заданными операциями является линейным пространством.

Ноль: 0 = (0, . . . , 0) . Действительно, 0 + X = X + 0 для любого

X Fn.

Противоположный элемент: для любого X = (x1, . . . , xn) существует −X = (−x1, . . . , −xn). Действительно, X+(−X) = (−X)+X = 0.

Дистрибутивность: α (X + Y ) = α (x1 + y1, . . . , xn + yn) = (αx1 +

αy1, . . . , αxn + αyn) = (αx1, . . . , αxn) + (αy1, . . . , αyn) = αX + αY ;

(α + β) X = ((α + β) x1, . . . , (α + β) xn) = (αx1 + βx1, . . . , αxn + βxn) =

(αx1, . . . , αxn) + (βx1, . . . , βxn) = αX + βX.

Остальные аксиомы проверяются аналогично.

Аналогично определяется и F n — линейное пространство столбцов.

23

3. Пространство решений однородной системы линейных уравнений.

Рассмотрим однородную систему линейных уравнений:

Обозначим Vs = {(λ1, . . . , λn) : (λ1, . . . , λn) − решение (2)} . Определим на Vs операции по правилу (1). Заметим, что Vs ̸= ,

так как 0 = (0, . . . , 0) Vs. Покажем, что операции на Vs, заданные правилом (1), определены корректно.

Пусть X = (x1, . . . , xn) , Y = (y1, . . . , yn) Vs, т. е. при подстановке X и Y в (2) уравнения обращаются в равенства. Тогда для i = 1, . . . , m

имеем:

Так как по определению Vs Fn и операции на Vs определены так же, как и на Fn, то и остальные аксиомы векторного пространства выполнены на Vs. Таким образом, множество решений Vs однородной системы линейных уравнений является линейным пространством.

§10. Подпространство, линейная зависимость

Пусть V — векторное пространство над F и a1, . . . , an V . Мно-

жество L (a1, . . . , an) := a1, . . . , an = {α1a1 + . . . + αnan : αi F } называется линейной оболочкой системы векторов a1, . . . , an. Непустое

подмножество U векторного пространства V называется подпространством в V , если U — векторное пространство над F с теми же операциями, что определены в пространстве V .

Лемма 1. U — подпространство в V αa + βb U для всех

α, β F, a, b U.

Доказательство. Необходимость очевидна. Обратно, положим α = β = 1. Тогда a + b U для любых a, b U. Далее, положим β = 0.

24

Тогда αa U для любых α F, a U. Остальные аксиомы выполнены в силу того, что V — векторное пространство. □

Следствие. L = L(a1, . . . , an) — подпространство в V . Доказательство. Заметим, что L ̸= . Далее, для любых α, β F

nn

иa = P αiai, b = P βiai L справедливо равенство:

i=1 i=1

Векторы a1, . . . , an U называются линейно зависимыми, если существуют такие α1, . . . , αn F , одновременно не равные нулю, что

n

P αiai = 0. Векторы a1, . . . , an U линейно независимы, если из ра-

i=1

n

венства P αiai = 0 следует, что α1 = α2 = . . . = αn = 0.

i=1

Примеры. 1. ℓ1 = (1, 0, . . . , 0) , . . . , ℓn = (0, 0, . . . , 1) линейно независимы в Fn.

2. векторы a и 2a линейно зависимы для любого a V .

Теорема 1. 1. Если некоторая подсистема системы векторов a1, . . . , an линейно зависима, то a1, . . . , an линейно зависимы.

2. Если a1, . . . , an линейно независимы, то любая их подсистема линейно независима.

3. Если a1, . . . , an линейно зависимы, то существует i такой, что ai L (a1, . . . aˆi . . . , an).

4. Если ai L (a1, . . . aˆi . . . , an), то a1, . . . , an линейно зависимы. 5. Если a1, . . . , an линейно независимы, но a1, . . . , an, b линейно за-

2. Следует из 1).

25

.. . + βnan = 0.

5.Существуют такие α1, . . . , αn, α F , одновременно не равные

нулю, что P αiai + αb = 0. Следовательно, α ̸= 0 и b = −α1 P αiai.

§11. Базис и размерность: существование и свойства

Пусть V — векторное пространство над F . Пространство V называется конечномерным, если существуют a1, . . . , an V такие, что V = L (a1, . . . , an). Набор векторов a1, . . . , an называется базисом пространства V , если a1, . . . , an линейно независимы и V = L (a1, . . . , an).

Предложение 1. 1. Пусть V = L (a1, . . . , an). Тогда для любого

Примеры. 1. ℓ1, . . . , ℓn — (стандартный) базис Fn.

i

2. Пусть ai = P ℓk, где 1 ≤ i ≤ n. Тогда a1, . . . , an — базис Fn.

26

Доказательство. Система совместна, так как имеет нулевое решение. Приведём её к ступенчатому виду методом Гаусса. По теореме 1 § 8 получим, что система примет вид

неизвестных равно (n − r) ≥ (n − m) > 0, т. е. существует ненулевое

nn

Доказательство. Пусть b1 = P α1iai, . . . , bm = P αmiai, где αij

одинакового числа r ≤ n векторов (это число называется размерностью пространства V над F и обозначается dimF V = r).

Доказательство. Существование. Так как V ̸= 0, то существует

ненулевой x1 V . Если V = L(x1), то x1 — базис V ; если V ̸= L(x1), то существует x2 V, x2 / L(x1). По теореме 1 § 10 x1, x2 линейно незави-

симы. Если V = L(x1, x2), то x1, x2 — базис V . Если V ̸= L(x1, x2), то продолжаем процесс. По лемме 2 число линейно независимых векто-

ров ≤ n, поэтому через r шагов, где r ≤ n, получим: x1, . . . , xr линейно независимы и xr+1 L(x1, . . . , xr) для любого xr+1 V . Следовательно, V = L(x1, . . . , xr) и x1, . . . , xr — базис V .

27

Единственность. Пусть V = L(x1, . . . , xr) = L(y1, . . . , ys), где x1, . . . , xr линейно независимы и y1, . . . , ys линейно независимы. По

[x]a1,...,an := (α1, . . . , αn) Fn называется координатами вектора x

в базисе a1, . . . , an.

§12. Изоморфизм векторных пространств одной размерности

Пусть A, B — множества, φ : A → B — отображение. Образом отображения φ называется множество Im φ := {φ (a) : a A} B. Отображение φ сюръективно (отображение на), если Im φ = B, т. е. для любого b B существует a A такой, что φ (a) = b; φ инъективно (отображе-

ние в; вложение), если φ (a1) ̸= φ (a2) для любых a1, a2 A, a1 ̸= a2; φ биективно (взаимно однозначно), если φ — однозначное отображение

на, т. е. φ — сюръективное и инъективное отображение.

Векторные пространства U и V называются изоморфными, если существует такое взаимно однозначное отображение φ : U 7→V , что

φ (αa + βb) = αφ (a) + βφ (b) для любых α, β F , a, b U. Отображение φ называется изоморфизмом. Обозначение: U ≈ V .

Теорема 1. Если dimF V = n, то V ≈ Fn.

Доказательство. Пусть V = L(a1, . . . , an), где a1, . . . , an — базис

n

V . Пусть x = P αiai V , где α1, . . . , αn F . Построим φ : V → Fn

i=1

по правилу: φ (x) = [x]a1,...,an . Тогда для любого (α1, . . . , αn) Fn

n

существует такой x = P αiai, что φ(x) = (α1, . . . , αn), т. е. φ — отоб-

i=1

ражение на. Более того, если x, y V , x ̸= y, то [x]a1,...,an ̸= [y]a1,...,an . Следовательно, φ — это однозначное отображение и в итоге φ взаимно

28

§13. Базис подпространства векторного пространства

Лемма 1. Пусть V = L(a1, . . . , an) и ai1 , . . . , air — любой максимальный набор линейно независимых векторов из системы a1, . . . , an.

Тогда ai1 , . . . , air — базис V .

Доказательство. Если r = n, то a1, . . . , an — базис V по опреде-

лению. Пусть r < n. Для любого i, 1 ≤ i ≤ n, векторы ai1 , . . . , air , ai линейно зависимы. По теореме 1 § 10 ai L(ai1 , . . . , air ). Следова-

тельно, V = L (a1, . . . , an) L (ai1 , . . . , air ) L (a1, . . . , an) = V , откуда V = L (ai1 , . . . , air ) и ai1 , . . . , air — базис V . □

Лемма 2. Пусть V — векторное пространство размерности n над F , a1, . . . , ar линейно независимы в V и r < n. Тогда существуют такие ar+1, . . . , an V , что a1, . . . , an — базис пространства V .

Доказательство. Так как r < n, то L(a1, . . . , ar) ̸= V . Выберем

произвольный ar+1 / L (a1, . . . , ar) V . По теореме 1 § 10 a1, . . . , ar+1 линейно независимы. Если L (a1, . . . , ar+1) = V , то a1, . . . , ar+1 — базис V ; если это не так, то повторяем процесс. За (n−r) шагов найдём базис

a1, . . . , an. □

Теорема 1 (о размерности подпространства). Подпространство U конечномерного пространства V является конечномерным, т. е. для любого подпространства U пространства V существует базис b1, . . . , br в U, U = L(b1, . . . , br), и r ≤ n.

Доказательство. Если U = 0, то U = L(0) — конечномерное пространство. Пусть U ̸= 0. Рассмотрим M =

{(b1, . . . , br) : r N, b1, . . . , br линейно независимы} . Тогда M ̸= : так как U ̸= 0, то существует a U такой, что a ̸= 0. Следовательно,

(a) M. Далее, r ≤ n в силу леммы 2 § 11.

Выберем произвольный набор (b1, . . . , br) M, где r — максимальное число. Докажем, что b1, . . . , br — базис U. По определению множества M для любого b U векторы b1, . . . , br, b линейно зависимы. Тогда,

по теореме 1 § 9 b L (b1, . . . , br). Следовательно, U L (b1, . . . , br) U. Поэтому U = L (b1, . . . , br), b1, . . . , br — базис U и r ≤ n. □

Следствие. Пусть U ≤ V и dim U = dim V , тогда U = V . Доказательство. Имеем U V . Если U ̸= V , то мы можем допол-

29

1)Если U = 0, то базиса нет и U = L(0).

2)Если U ̸= 0, то существует ненулевой x1 U. Если U = L(x1), то x1 — базис U. Если U ̸= L(x1), то существует x2 U такой, что x2 / L(x1). Следовательно, по теореме 1 § 11 x1, x2 линейно независимы. Повторим процедуру и за r ≤ n шагов получим U = L (x1, . . . , xr) , где

x1, . . . , xr — базис U.

§14. Сумма и пересечение подпространств

Пусть U1, . . . , Uk — подпространства V . Тогда

k

\

Ui := U1 ∩ . . . ∩ Uk := {a V : a U1, . . . , a Uk}

i=1

называется пересечением пространств U1, . . . , Uk;

k

X

Ui := U1 + . . . + Uk := {a V : a = a1 + . . . + ak : ai Ui}

i=1

называется суммой пространств U1, . . . , Uk.

kk

Задача. В общем случае U1 SU2 не является подпространством в V .

Теорема 1. Пусть U1, U2 — подпространства в V . Тогда dim (U1 + U2) = dim U1 + dim U2 − dim (U1 ∩ U2).

Доказательство. Пусть dim U1 = n1, dim U2 = n2, dim (U1 ∩ U2) = m. Пусть a1, . . . , am — базис U1 ∩ U2. Так как U1 ∩ U2 U1, то по лемме

30