Лекции по алгебре. В 2 частях. Ч.1. Учебное пособие

3 мы можем дополнить a1, . . . , am векторами b1, . . . , bk U1 до базиса

пространства U1, тогда m + k = n1. Аналогично a1, . . . , am, c1, . . . , cℓ —

базис U2, где m + ℓ = n2. Докажем, что a1, . . . , am, b1, . . . , bk, c1, . . . , cℓ

— базис U1 + U2. Покажем, что L := L(a1, . . . , am, b1, . . . , bk, c1, . . . , cℓ) =

U1 + U2.

Пусть u U1 + U2, u = u1 + u2, где u1 U1, u2 U2. Тогда

Пусть U1, U2 — подпространства в V . Сумма U1 + U2 называется прямой и обозначается U1 U2, если U1 ∩ U2 = 0.

Лемма 2. Пусть U1, U2 — подпространства в V и U = U1 + U2. Тогда U = U1 U2 для любого u U существуют единственные u1 U1, u2 U2 такие, что u = u1 + u2.

Доказательство. Если U = U1 U2 и u U, то u = u1 + u2 для некоторых u1 U1, u2 U2. Если при этом u = v1 + v2 для некоторых

v1 U1, v2 U2, то u1 − v1 = v2 − u2 U2 ∩ U1, т. е. u1 = v1, u2 = v2. Обратно если U1 ∩ U2 ̸= 0, то существует ненулевой u U1 ∩ U2, но

тогда u = u + 0 и u = 0 + u — два различных разложения элемента u.

□

31

§15. Пространства линейных отображений и матриц

Пусть U и V — векторные пространства над F . Отображение φ : U → V называется линейным, если φ (x + y) = φ (x) + φ (y), φ (αx) = αφ (x) для любых x, y U, α F . Данное эквивалентно тому, что φ (αx + βy) = αφ (x) + βφ (y) для любых α, β F, x, y U.

Примеры. 1. Нулевое: φ : Fn → Fm, для любого x Fn полагаем

φ(x) = 0 Fm. Обозначим это отображение через 0, φ := 0.

2.Единичное: φ : Fn → Fn, для любого x Fn полагаем φ (x) = x Fn. Обозначаем φ := id.

3.Проекция на i-ю координату: φ : Fn → F1, для любого x = (x1, . . . , xn) Fn полагаем φ (x) = xi. Обозначаем φ := P ri.

Обозначим через L(U, V ) (или LF (U, V )) множество всех линейных отображений из U в V . Определим операции на L(U, V ):

1)(φ + ψ) (x) = φ (x) + ψ (x) для любых φ, ψ L (U, V ) ;

2)(αφ) (x) = αφ (x) для любых α F, φ L (U, V ) .

Лемма 1. L(U, V ) с заданными операциями — это векторное пространство над F .

Доказательство. L (U, V ) ̸= , так как 0 L (U, V ). Проверим, что L (U, V ) замкнуто относительно операций: для любых φ, ψ L (U, V ),

Рассмотрим множество Mn,m(F ) матриц над F и определим на нём операции:

32

Матричной единицей Eij в Mn,m(F ) называется матрица, у которой на пересечении i-строки и j-столбца стоит 1, а остальные элементы нулевые.

Лемма 2. 1. Mn,m(F ) — векторное пространство над F . 2. Для 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m, матричные единицы Eij образуют базис

Mn,m (F ), и dimF Mn,m (F ) = n · m.

Доказательство. 1. Прямая проверка аксиом векторного простран-

§16. Изоморфизм пространств линейных отображений и матриц

Умножение строки на матрицу. Пусть X Fm, A Mm,n(F ). Положим

Тогда XA = (a11x1 + . . . + am1xm), . . . , (a1nx1 + . . . + amnxm) =

=(a11x1, . . . , a1nx1) + . . . + (am1xm, . . . , amnxm) =

=x1 (a11, . . . , a1n) + . . . + xm (am1, . . . , amn) = x1A1 + . . . + xmAm,

где Ai = (ai1, . . . , ain) — i-строка матрицы A, i = 1, . . . , m. Заметим, что для любых X Fm, A Mm,n (F ) верно XA Fn.

Для любой A Mm,n(F ) определим отображение φA : Fm → Fn по правилу: φA(X) = XA для любого X Fm.

33

Лемма 1. φA L (Fm, Fn) для любой A Mm,n(F ). Доказательство. Для любых α, β F, X, Y Fm, A

Mm,n(F ) имеем: φA (αX + βY ) = (αX + βY ) A = (αx1 + βy1) A1 + . . . +

Определим отображение L : Mm,n (F ) → L (Fm, Fn) по правилу: для A Mm,n (F ) положим L (A) = φA.

Теорема 1. L : Mm,n (F ) → L (Fm, Fn) — изоморфизм пространств

Mm,n (F ) и L (Fm, Fn).

Доказательство. Докажем, что L — это взаимно однозначное отображение.

Сюръективность. Для любых φ L (Fm, Fn) , X = (x1, . . . , xm)

Fm имеем:

X = (x1, . . . , xm) = (x1, 0, . . . , 0) + . . . + (0, . . . , 0, xm) =

m

Следовательно, по определению φ (X) = φA (X), и L (A) = φA = φ. Инъективность. Пусть A, B Mm,n(F ) и A ̸= B. Тогда существуют

i, j такие, что αij ̸= βij. Следовательно,

φA (ℓi) = 0 · A1 + . . . + 1 · Ai + . . . + 0 · Am = Ai,

φB (ℓi) = 0 · B1 + . . . + 1 · Bi + . . . + 0 · Bm = Bi.

Но Ai ̸= Bi, так как αij ̸= βij. Значит, φA (ℓi) ̸= φB (ℓi) и φA ̸= φB, откуда следует L(A) = φA ̸= L(B) = φB.

34

Сохранение операций. Для любых α, β F , A, B Mm,n (F ), X Fm имеем:

L (αA + βB) = φ(αA+βB), αL (A) = αφA, βL (B) = βφB.

φ (ℓm)

матрицей преобразования φ в стандартном базисе ℓ1, . . . , ℓm пространства Fm и обозначается через [φ].

Определим отображение [ ] : L(Fm, Fn) → Mm,n(F ) правилом:

[ ](φ) = [φ].

Лемма 2. Отображение [ ] является биективным.

Доказательство. Заметим, что для любой A Mm,n (F ) справедливо

т. е. [ ] сюръективно. Далее, если φ, ψ L (Fm, Fn) и φ ̸= ψ, то по

теореме 1 φ = φA, ψ = φB, для некоторых различных A, B Mm,n (F ), и φA ̸= φB. Тогда [φ] = [φA] = A ̸= B = [φB] = [ψ]. Таким образом, отображение [ ] является инъективным. □

§17. Суперпозиция отображений и произведение матриц

Суперпозиция двух отображений ψ : U → V и φ : V → W есть отображение ψ ◦ φ : U → W , определённое по правилу: (ψ ◦ φ) (x) =

35

φ (ψ (x)) для любого x U, т. е.

ψ◦φ

Лемма 1. 1. Для любых φ1 : V1 → V2, φ2 : V2 → V3, φ3 : V3 → V4

справедливо равенство φ1 ◦ (φ2 ◦ φ3) = (φ1 ◦ φ2) ◦ φ3 — суперпозиция отображений ассоциативна.

2. Если ψ L (U, V ) , φ L (V, W ), то ψ ◦ φ L (U, W ) — суперпозиция линейных отображений является линейным отображением.

3. Для любых линейных отображений ψ L (U, V ) , ϕ L (V, W ) , θ L (V, W ) , κ L (W, U) верно ψ ◦ (ϕ + θ) = ψ ◦ ϕ + ψ ◦ θ,

(ϕ+θ)◦κ = ϕ◦κ+θ ◦κ — суперпозиция отображений дистрибутивна. Доказательство. 1. Для любого v V1 имеем (φ1 ◦ (φ2 ◦ φ3)) (v) =

(ψ ◦ φ) (αx + βy) = φ (ψ (αx + βy)) = φ (αψ (x) + βψ (y)) = αφ (ψ (x)) +

βφ (ψ (y)) = α (ψ ◦ φ) (x) + β (ψ ◦ φ) (y) .

3. Для любого u U имеем: (ψ ◦ (ϕ + θ))(u) = (ϕ + θ)(ψ(u)) =

ϕ(ψ(u))+θ(ψ(u)) = (ψ ◦ϕ)(u)+(ψ ◦θ)(u) = (ψ ◦ϕ+ψ ◦θ)(u). Для любого w W справедливо ((ϕ+θ)◦κ)(w) = κ((ϕ+θ)(w)) = κ(ϕ(w))+κ(θ(w)) =

(ϕ ◦ κ)(w) + (θ ◦ κ)(w) = (ϕ ◦ κ + θ ◦ κ)(w). □

Примеры. 1. Рассмотрим суперпозицию отображений L и [ ]. По определению L ◦ [ ] : Mm,n (F ) 7→Mm,n (F ) и (L ◦ [ ])(A) = [L(A)] = [φA] = A.

2. Рассмотрим суперпозицию отображений [ ] и L. По определению

[ ] ◦ L : L(Fm, Fn) 7→L(Fm, Fn). Пусть φ L(Fm, Fn) и φ = φA для некоторой A Mm,n (F ). Тогда ([ ] ◦ L)(φ) = L([φ]) = L([φA]) = L(A) =

φA = φ.

Для любых A Mm,s (F ) , B Ms,n (F ) положим

36

Теорема 1. Для любых ψ L (Fm, Fs) и φ L (Fs, Fn) справедливо

Следствие 1. 1. Для любых A Mm,s (F ) , B Ms,t (F ) , C Mt,n (F ) справедливо (A · B) · C = A · (B · C) — умножение матриц ассоциативно.

2. Для любых A Mm,s (F ) , B Ms,t (F ) , C Ms,t (F ), D Mt,m (F ) справедливо A · (B + C) = AB + AC, (B + C)D = BD + CD —

умножение матриц дистрибутивно.

Доказательство. 1. По формуле (2) и лемме 1 имеем: φ(A·B)·C =

= φA·B ◦ φC = (φA ◦ φB) ◦ φC = φA ◦ (φB ◦ φC) = φA ◦ φB·C = φA·(B·C).

Тогда φ(A·B)·C = (A · B) · C = φA·(B·C) = A · (B · C).

2. По пункту 3) леммы 1 получаем: φA·(B+C) = φA ◦ φB+C = φA ◦

(φB + φC) = φA ◦ φB + φA ◦ φC = φAB + φAC = φAB+AC. Продолжая

37

далее, как и в пункте 1), выводим требуемое. Аналогично показывается второе равенство. □

§18. Обратимые преобразования и матрицы

Отображение 1X : X → X называется единичным (или тождественным), если 1X (x) = x для любого x X. Отображение g : Y → X называется обратным к f : X → Y и обозначается g = f−1, если f ◦ g = 1X, g ◦ f = 1Y ; при этом f называется обратимым.

Лемма 1. Для любого отображения f : X → Y справедливо:

1)f ◦ 1Y = f, 1X ◦ f = f;

2)обратное отображение f−1 определяется однозначно;

3)если f ◦ g = 1X, то f инъективно, а g сюръективно;

4)f обратимо f биективно.

Доказательство. 1. Для любого x X имеем: f ◦ 1Y (x) =

1Y (f (x)) = f (x) , 1X ◦ f (x) = f (1X (x)) = f (x) .

2. Пусть f ◦g1 = f ◦g2 = 1X, g1 ◦f = g2 ◦f = 1Y . Тогда g1 = g1 ◦1X =

g1 ◦ (f ◦ g2) = (g1 ◦ f) ◦ g2 = 1Y ◦ g2 = g2.

3. Пусть f(x1) = f(x2). Тогда x1 = 1X (x1) = (f ◦ g) (x1) = g (f (x1)) = g (f (x2)) = (f ◦ g) (x2) = 1X (x2) = x2, т. е. f инъективно. Для любого x X имеем: x = 1X (x) = (f ◦ g) (x) = g (f (x)). Следовательно, g сюръективно.

4. Если f ◦g = 1X, g◦f = 1Y , то f инъективно и сюръективно, а потому f биективно. Наоборот, для любого y Y существует единственный

Следствие 1. 1. Если отображение f биективно, то и отображение f−1 биективно и (f−1)−1 = f.

2. Если f : X → Y и h : Y → Z — биективные отображения, то f ◦ h биективно и (f ◦ h)−1 = h−1 ◦ f−1.

Доказательство. 1. По лемме 1, f−1 существует и обратимо. Следовательно, f−1 биективно и

f ◦ f−1 = 1X, f−1 ◦ f = 1Y f−1 −1 = f.

Множество матриц Mn,n(F ) обозначается через Mn(F ). Матрицы из Mn(F ) называются квадратными. Матрица A Mn(F ) называется

38

обратимой, если существует B Mn (F ) такая, что A · B = B · A = E,

10

01

обратной к A и обозначается B = A−1. Обратимая матрица называется также невырожденной. Как и в случае линейных отображений, легко доказать, что обратная матрица единственна.

Теорема 1. Для любого преобразования φ L (Fn, Fn) следующие условия эквивалентны:

1)φ обратимо;

2)φ−1 обратимо и φ−1 L (Fn, Fn) ;

3)[φ] — обратимая матрица.

Доказательство. 1) 2) По лемме 1 отображение φ−1 биективно и, следовательно, обратимо. Докажем линейность φ−1. Для любых α, β F и X, Y Fn положим

Z = φ−1 (αX + βY ) − αφ−1 (X) − βφ−1 (Y ) .

φ−1 (αX + βY ) = αφ−1 (X) + βφ−1 (Y ) .

1) 3) Так как отображение φ обратимо, то по пункту 2) φ−1 — обратимое линейное преобразование и φ◦φ−1 = φ−1◦φ = 1, где 1 = 1F n .

3) 1) Имеем [φ] · B = B · [φ] = E. Тогда по (1) из § 16 [φB] = B. Поэтому [φ] · [φB] = [φ ◦ φB] = [φB] · [φ] = [φB ◦ φ] = [1] . Так как [ ]

инъективно, то φ ◦ φB = φB ◦ φ = 1, т. е. φ обратимо. □

Следствие 2. Отображение [ ] является изоморфизмом L(Fm, Fn)

и Mm,n(F ).

39

Доказательство. Из примеров § 17 следует, что [ ] — это отображение, обратное к L. Поэтому из следствия 1 и теоремы 1 следует, что [ ] является изоморфизмом. □

Следствие 3. Для любых матриц A, B Mn (F ) имеем:

1)A обратима A−1 обратима и (A−1)−1 = A;

2)A, B обратимы A · B обратима и (A · B)−1 = B−1 · A−1.

Доказательство. Так как обратная матрица определена однозначно, то утверждение следует из равенств AA−1 = A−1A =

§19. Характеризация обратимости в терминах ядра и образа

Рассмотрим линейное отображение φ : V → U, где V, U — векторные пространства над F . Ядром линейного отображения φ называется множество

Ker φ = {v V : φ (v) = 0} V,

образом линейного отображения φ называется множество

Im φ = {φ (v) : v V } U.

Лемма 1. Ker φ — подпространство в V , Im φ — подпространство пространства U.

Доказательство. Так как φ(0) = 0, то 0 Ker φ ̸= , 0 Im φ ̸= . Далее, для любых α, β F , a, b Ker φ имеем: φ (αa + βb) = αφ(a) + βφ(b) = 0. Следовательно, αa + βb Ker φ, поэтому Ker φ — подпространство в V . Для любых α, β F , φ(a), φ(b) Im φ справедливо

40