Лекции по алгебре. В 2 частях. Ч.1. Учебное пособие

B — произвольный столбец матрицы A. Рассмотрим матрицу A′ со

столбцами A(j1), . . . , A(jk), B. Её строки A′i1 , . . . , A′ik тоже линейно независимы. Предположим, что r(A′) = k + 1; тогда найдётся строка A′ik+1

матрицы A′, образующая вместе со строками A′i , . . . , A′i линейно неза-

1 k

висимую систему. Тогда определитель матрицы порядка k + 1, составленной из этих строк, отличен от нуля. Но этот определитель является окаймляющим минором для исходного минора, поэтому обязан быть нулевым. Следовательно, r(A′) = k, и столбец B линейно выражается через столбцы A(j1), . . . , A(jk). Значит, r(A) = k. □

61

Глава 2. Группы, кольца, поля

В этой главе мы познакомимся с такими основными алгебраическими системами, как группы, кольца и поля, и докажем первые важные теоремы об этих системах.

§1. Алгебраическая система, подсистема, изоморфизм

Пусть X — некоторое множество, Xn — n-я декартова степень X.

Отображение f : Xn → X называется n-арной (n-местной) операцией на X, т. е. f — n-арная операция, если для любых x1, . . . , xn X однозначно определён элемент f (x1, . . . , xn) X. Пусть на X определены операции fi, i I, имеющие арности ni, i I. Обозначим через Ω = {fi : i I} множество заданных на X операций. Система

A = {X; Ω} называется алгебраической системой типа ni, i I , где

X — основное множество системы, Ω = {fi : i I} — операции на X.

Примеры. 1. Q; +, · — алгебраическая система типа 2, 2 .

2. Z; +, ·, Н.О.Д (a, b, c) ; a, b, c Z — алгебраическая система типа

2, 2, 3 .

Подмножество B алгебраической системы A = {X; fi, i I} типаni, i I называется алгебраической подсистемой системы A, если fi(b1, . . . , bni ) B для любого i I и для всех bj B, j = 1, . . . , ni.

Алгебраические системы A = {X; fi, i I} и B = {Y ; gi, i I} одного и того же типа ni, i I называются изоморфными, если существует такое взаимно однозначное соответствие ϕ : X 7→Y , что для любого i I и любых x1, . . . , xni X справедливо равенство

ϕ(fi(x1, . . . , xni )) = gi(ϕ(x1), . . . , ϕ(xni )).При этом отображение ϕ называется изоморфизмом алгебраических систем A и B.

62

Алгебраическая система G; типа 2 называется группой, если выполнены следующие аксиомы:

(G1) (a b) c = a (b c) для любых a, b, c G;

(G2) существует e G такой, что a e = e a = a для всех a G; (G3) для любого a G существует b G такой, что a b = b a = e.

Если при этом также выполняется следующая аксиома: a b = b a для всех a, b G, то группа называется абелевой.

§2. Теорема об обобщённой ассоциативности

Пусть X — некоторое множество и f — бинарная операция на X. Напомним, что операция f называется ассоциативной, если f(f(x, y), z) = f(x, f(y, z)) для любых x, y, z X.

Аддитивная запись: (x + y) + z = x + (y + z). Мультипликативная запись: (x · y) · z = x · (y · z).

Алгебраическая система X; f в этом случае называется ассоциативной по f.

Бинарная операция f называется коммутативной, если f(x, y) = f(y, x) для любых x, y X (x+y = y +x либо x·y = y ·x, в зависимости от формы записи операции). Система X; f в этом случае называется коммутативной (или абелевой) по f.

Элемент e X (0 X) называется единичным (нулевым) относительно операции (соответственно +), если e x = x e = x (0 + x = x + 0 = x) для любого x X. Нетрудно доказать, что единичный элемент единственен: если e1 — другая единица, то e = e e1 = e1. Далее бинарные операции будем записывать, не дублируя форму записи.

Примеры:

•Z; − не абелева, не ассоциативная система, так как 2 − 3 ̸= 3 − 2,

(1 − 1) − 1 ̸= 1 − (1 − 1);

•Mn(F ); + — ассоциативно-коммутативная система;

•Mn(F ); · — ассоциативная, но не коммутативная система:

63

Пусть G — некоторое множество, — бинарная операция на G. Система G; называется группоидом. Ассоциативный группоид называется полугруппой, т. е. G; — полугруппа, если (a b) c = a (b c) для любых a, b, c G. Полугруппа с единицей называется моноидом, т. е. G; · — моноид, если (a b) c = a (b c) для любых a, b, c G и существует e G такой, что a e = e a = a для любого a G.

Моноид, состоящий только из обратимых элементов, является груп-

пой.

Если a b = b a = e, то элемент b называется обратным к a и обозначается a−1 (в аддитивной записи: −a). Ясно, что (a−1)−1 = a. Нетрудно заметить, что обратный элемент определяется однозначно:

Примеры:

•Z; + — абелева группа;

•пусть M(X) — множество всех отображений из X в X, ◦ — суперпозиция отображений. В силу доказанного в § 17 главы 1 M(X); ◦ — моноид;

•пусть S(X) — множество всех биективных отображений X на X, тогда S(X); ◦ — группа (гл. 1, § 17);

•пусть P (X) = {Y : Y X} — множество всех подмножеств множества X. Нетрудно проверить, что P (X); ∩, P (X); — коммутативные полугруппы;

•GL(n, F ) = A : A Mn(F ), |A| ≠ 0; · — полная линейная группа

степени n над F . Аксиома (G1) доказана в § 17 главы 1; (G2): A · E =

E · A = A для всех A Mn(F ), det(E) = 1 ̸= 0; (G3): det(A) ̸= 0

A−1 = det(1A) · A GL(n, F );

• SL(n, F ) = {A : A Mn(F ), det(A) = 1}; · — специальная линейная группа степени n над F . (G3): det (A) = 1 det A · A−1 =

det (A) · det A−1 = det (E) A−1 SL (n, F );

• SL (n, Z) SL (n, Q) SL (n, R) , GL (n, Q) GL (n, R) — цепочка включений групп.

Пусть X; · — группоид и x1, . . . , xn — упорядоченная последовательность элементов из X. Обозначим через en число всех возможных элементов X, полученных из x1 · . . . · xn различной естественной расстановкой скобок, не меняя порядка самих элементов. Например:

e1 = 1 : x1; e2 = 1 : x1 · x2;

64

e3 = 2 : (x1 · x2) · x3, x1 · (x2 · x3), если эти элементы различны;

e4 = 5 : ((x1 · x2) · x3) · x4, (x1 · (x2 · x3)) · x4, x1 · (x2 · (x3 · x4)), x1 · ((x2 · x3) · x4), (x1 · x2) · (x3 · x4), если все эти элементы различны.

Теорема 1 (об обобщённой ассоциативности). Если бинарная операция на X ассоциативна, то результат её последовательного применения к элементам множества X не зависит от способа расстановки скобок.

n

Доказательство. Положим Q xi = ((. . .(x1 · x2) · x3) · . . . · xn−1) ·xn.

i=1

Докажем индукцией по n, что для любой расстановки скобок τ на произведении x1 · . . . · xn выполняется

n

Y

τ (x1, . . . , xn) = xi.

i=1

При n = 1, 2 доказывать нечего. При n = 3

3

Y

(x1 · x2) · x3 = x1 · (x2 · x3) = xi,

i=1

что следует из аксиомы ассоциативности. Пусть для любого k {3, . . . , n} утверждение справедливо. Тогда по предположению индукции

65

§3. Подгруппы, циклические группы. Порядок элемента и порядок порождённой им циклической группы

Непустое подмножество H группы G называется подгруппой в G, если H является группой относительно операции группы G. Обозначение: H ≤G.

Предложение 1. Пусть G — группа, H G, H ̸= . Тогда H — подгруппа a · b−1 H для любых a, b H.

Доказательство. Необходимость следует из определения подгруп-

Определим целую степень произвольного элемента a G, где G — группа:

Лемма 1. Пусть G — группа, a G. Тогда для любых n, m Z

выполняется:

1). an+m = an · am; 2). a−n = (a−1)n; 3). (an)m = an·m.

Доказательство. 1). При n, m > 0 (либо n = 0 и m Z, либо m = 0 и n Z) пункт 1) следует из (1). При n, m < 0 :

an+m = a−1 · . . . · a−1 = a−1 · . . . · a−1 · a−1 · . . . · a−1 = an · am.

Аналогично рассматривается случай n < 0, m > 0. 2). Следует из определения.

66

3). Пусть n > 0. При m > 0 имеем: (an)m = an · . . . · an = an·m;

Z} — подгруппа в G.

Доказательство. Элемент a a , поэтому a ̸= . Для любых n, m Z имеем an · a−m = an−m a . По предложению 1 a — подгруппа в G. □

Группа a называется подгруппой в G, порождённой элементом a. Группа G называется циклической, если существует a G такой, что G = a . Элемент a в этом случае называется порождающим группы G. Если группа содержит бесконечное число элементов, то она называется бесконечной; в противном случае группа называется конечной, а число её элементов — порядком группы.

Примеры: 1) Z; + = 1 ; 2) Z2 = {+1, −1} ; · = −1 .

Рассмотрим произвольную группу G и a G. Для элемента a возможны 2 следующих случая.

1.Элементы an и am различны для любых n ̸= m N. В этом случае a называют элементом бесконечного порядка и обозначают |a| := +∞.

2.Существуют различные n, m N такие, что am = an. Тогда существует k N такое, что ak = e. Следовательно, существует минимальное число s с этим свойством: s = min {n N : an = e} . В этом случае элемент a называют элементом порядка s и обозначают |a| := s.

Теорема 1. Пусть G — группа. Тогда:

1). для любого a G имеем |a| = | a |;

2). если |a| = k < ∞, то a = {e, a, a2, . . . , ak−1}; 3). если m Z, то am = e k делит m.

Доказательство. Если |a| = +∞, то очевидно, что | a | = +∞. Пусть |a| = k, тогда по определению все элементы e, a, . . . , ak−1 различны. Далее для любого m Z имеем m = k · p + q, где 0 ≤ q < k, поэтому

am = a(k·p+q) = ak p · aq = ep · aq = aq e, a, . . . , ak−1 .

67

§4. Симметрическая группа. Разложение подстановки на независимые циклы

Пусть X — множество из n элементов. Множество S(X) всех взаимно однозначных отображений множества X на X относительно операции суперпозиции отображений называется симметрической группой степени n и обозначается через Sn, т. е. Sn = S (X) ; ◦ . Для простоты изложения часто полагают X = {1, 2, . . . , n}. Элементы Sn называются подстановками. Их принято обозначать строчными греческими буквами, тождественное отображение (или единицу в Sn) обозначают через id.

Пусть τ Sn; τ (1) = i1, . . . , τ (n) = in. Тогда данную подстановку

σ · τ (s) = τ (σ (s)) = τ (is) = js; а также находить обратный элемент:

действительно перемещаемым для σ Sn, если σ (i) ̸= i. Обозначим через D(σ) множество всех действительно перемещаемых символов для

σ, т. е. D (σ) = {i : σ (i) ̸= i, 1 ≤ i ≤ n}.

68

Подстановка σ называется циклом длины k, если

D (σ) = i, σ (i) , . . . , σk−1 (i) ,

где σk (i) = i, и данная подстановка обозначается σ = (i1i2 . . . ik), где k−1(i), т. е.

Очевидно, что σk = id и (i1 . . . ik) = (is . . . iki1 . . . is−1) для любого s = 2, . . . , k.

Предложение 1. Для любой подстановки σ Sn справедливо:

1). D (σ) = σ = id;

2). i / D (σ) σ (i) / D (σ) σ−1 (i) / D (σ) ; 3). i D (σ) σ (i) D (σ) σ−1 (i) D (σ) ;

то σ(i) = i и σ−1(i) = i. 3. Следует из 2). 4. В силу свойства 3) существуют s > t > 0 такие, что σs (i) = σt (i) σs−t (i) = i. Пусть

.

Лемма 1. Если σ и τ — независимые подстановки, то σ · τ = τ · σ.

Доказательство. Пусть i / D (σ) D (τ). Тогда σ · τ (i) = τ (σ (i)) = i = τ ·σ (i) . Если i D (σ), то i ̸ D (τ) . Тогда σ (i) D (σ) , σ (i) / D (τ)

и τ(i) = i. Поэтому σ · τ (i) = τ (σ (i)) = σ (i), τ · σ (i) = σ (τ (i)) = σ (i). Аналогично рассматривается случай i / D (σ) и i D (τ). В итоге σ · τ (i) = τ · σ (i) для любого i {1, . . . , n}. Значит, τ · σ = σ · τ. □

Теорема 1. Каждая неединичная подстановка есть произведение попарно независимых циклов. Это разложение однозначно с точностью до перестановки циклов.

Доказательство. Докажем существование такого разложения. Так как D (τ) ̸= , то в силу 4) предложения 1 множество D (τ) можно

69

представить в виде

τ = σ1 ·. . .·σk — искомое разложение. Действительно, D (τ) = S D (σp)

p=1

и для любого i D (τ) существует единственное p {1, . . . , k} такое,

что i D (σp), а потому τ(i) = σ1 · . . . · σk(i) = σp(i). Докажем единственность разложения. Пусть τ = σ1 ·. . . ·σk = τ1 ·. . . ·τm — два разло-

жения в произведение попарно независимых циклов. Тогда для любого

iD (τ) существуют единственные σp и τs такие, что i D (σp) и

iD (τs). Поэтому τ(i) = σp(i) = τs(i) и в силу свойства 2) предложения 1 σp (i) D (σp) и τs (i) D (τs). Поэтому τ2 (i) = σp2 (i) = τs2 (i), где σp2 (i) D (σp) и τs2 (i) D (τs). Продолжая так далее, для лю-

бого k N имеем τk (i) = σpk (i) = τsk (i). Следовательно, σp = τs и σ1 · . . . · σˆp · . . . · σk = τ1 · . . . · τˆs · . . . · τm. Продолжая этот процесс, за конечное число шагов получим k = m и σi = τi с точностью до

перестановки циклов. □

§5. Разложение на транспозиции, независимость чётности числа сомножителей. Знакопеременная группа

Докажем, что любую подстановку можно представить в виде произведения транспозиций.

Лемма 1. Для любой подстановки σ Sn существуют транспозиции τ1, . . . , τk такие, что σ = τ1 · . . . · τk.

Доказательство. Если σ = id, то σ = (12)2. Если σ ̸= id, то по теореме 1 § 4 представим σ = σ1 · . . . · σm, где σi — попарно независимые циклы. Далее любой цикл (i1i2 . . . is) легко представить как произведение транспозиций (i1i2 . . . is) = (i1i2) · (i1i3) · . . . · (i1is). □

70