Лекции по алгебре. В 2 частях. Ч.1. Учебное пособие

§11. Кольца. Многочлены, формальные степенные ряды

Алгебраическая система K = K; +, · , K ̸= , с двумя бинарными операциями + (сложение) и · (умножение) называется кольцом, если

K; + — абелева группа и a · (b + c) = a · b + a · c, (b + c) · a = b · a + c · a

для любых a, b, c K.

Алгебраическую систему K; + называют аддитивной группой кольца K.

Если K; · — полугруппа, то кольцо называется ассоциативным, а алгебраическую систему K; · называют мультипликативной полугруппой кольца K.

Если K; · — моноид, то K — кольцо с единицей.

Если a · b = b · a для любых a, b K, то кольцо K называют комму-

тативным.

Подмножество H K называют подкольцом, если H — кольцо относительно операций кольца K.

Примеры:

1)Z; +, · Q; +, · R; +, · ;

2)Mn (Z) ; +, · Mn (Q) ; +, · Mn (R) ; +, · ;

3)кольца функций относительно обычного сложения и умножения вещественных функций: C1[0, 1] (кольцо дифференцируемых функций

4)пусть A; + — произвольная абелева группа. Её легко превратить

вкольцо A; +, · , определив умножение по правилу: a·b = 0 для любых

a, b A.

Общие свойства колец.

1.Для любого a K имеем a·0 = 0·a = 0. Действительно, a·(0+0) = a · 0 + a · 0 = a · 0, т. е. a · 0 = 0. Аналогично 0 · a = 0.

2.Если 0 = 1, то K = {0}. Значит, в нетривиальном кольце 0 ̸= 1.

3.Для любых a, b K: (−a) · b = a · (−b) = −(a · b). Действительно,

0 = a·0 = a·(b+(−b)) = a·b+a·(−b), т. е. a·(−b) = −(a·b). Аналогично

(−a) · b = −(a · b).

81

Доказательство индукцией по n и m. В частности, из 3) и 4) следует, что для любого n Z справедливо (na) · b = a · (nb) = n (a · b).

5. Если K — коммутативное кольцо, то для любых a, b K, n N,

n

(a + b)n = XCni ai · bn−i.

i=0

Кольцо многочленов. Пусть K — некоторое кольцо и x — символ, не принадлежащий K (x называют неизвестной). Выражение вида

n

X

a = a0 + a1x + . . . + anxn = aixi,

i=0

где ai K и n N, называют многочленом от x с коэффициентами ai K (если an = 1, многочлен называется унитарным). Множество всех многочленов от x обозначают через

n

X

K [x] = {a = aixi : ai K, n N}.

i=0

покоординатно:

(a0, a1, . . . , an, 0, . . .) = (b0, b1, . . . , bm, 0, . . .) .

Пример: a = 1 + 2x2 = b = 1 + 0 · x + 2x2 + 0 · x7.

Поэтому всегда можно считать, что два многочлена a и b имеют одинаковые границы суммирования. Для этого можно добавить необходимое число нулевых коэффициентов.

Определим операции на K[x] по правилу:

82

Докажем, что K [x] ; +, · является кольцом. Для простоты изложения будем записывать многочлены в виде бесконечных векторов:

n

X

a = aixi = (a0, a1, . . . , an, 0, . . . , 0, . . .) = (ai) .

i=0

Тогда K [x] = {(ai) : ai K, n N} — алгебраическая система с операциями:

(

a + b = (ai + bi) ,

a · b = (ci) , где ci = P ai1 · bi2 .

i1+i2=i

Теорема 1. K [x] ; +, · — кольцо.

Доказательство. Ясно, что K [x] ; + — абелева группа, так как сложение векторов покоординатно. Докажем дистрибутивность умножения. Для любых a, b, c K[x] имеем:

Элементы a, b K называют делителями нуля, если a, b ̸= 0, но при этом a · b = 0. Коммутативное ассоциативное кольцо с единицей и без делителей нуля называют областью целостности.

Число deg (a) = max {i : ai ̸= 0} называют степенью многочлена a =

i

n

P aixi, обычно полагают deg (0) = −∞. Отметим свойства степени

i=0

многочленов:

deg (a + b) ≤ max {deg (a) , deg (b)} ,

deg (a · b) ≤ deg (a) + deg (b) .

Лемма 1. 1. Если кольцо K ассоциативно, то K[x] ассоциативно. 2. Если кольцо K коммутативно, то и кольцо K[x] коммутативно. 3. Если K — область целостности, то K[x] — область целостности, причём deg (a · b) = deg (a) + deg (b) для любых a, b K[x].

Доказательство. 1. Докажем ассоциативность умножения. Для любых a, b, c K[x] имеем:

83

3. Если a, b ̸= 0, deg(a) = n и deg(b) = m, то an, bm ̸= 0, а потому cn+m = an · bm ̸= 0, т. е. c = a · b ̸= 0. При этом выполняются равенства

deg(c) = n+m = deg(a)+deg(b). Если a = 0, то a·b = 0 и deg(a·b) = −∞ и deg(a) + deg(b) = −∞. □

Переход от кольца K к K[x] называют кольцевым присоединением x. Присоединяя к K[x] неизвестную y, получим кольцо многочленов K[x, y] от двух неизвестных. Этот процесс можно продолжать:

K K [x] K [x, y] K [x, y, z] . . .

Замечание. По правилу умножения в кольце K[x] многочлены

nn

P aixi и P bixi можно перемножать и складывать как обычные функ-

i=0 i=0

ции, используя правило: xk ·xs = xk+s, akxk +bkxk = (ak +bk)xk. Но при этом следует различать, что многочлены — это не функции на кольце

Кольцо формальных степенных рядов. Рассмотрим множество бесконечных векторов с координатами из K:

K [[x]] = {a = (a0, a1, . . . , an, . . .) = (ai) : ai K} .

Заметим, что K [x] K [[x]]. В отличие от множества K[x], в K [[x]] векторы могут иметь бесконечное число ненулевых координат. Определим операции на K [[x]] по правилу:

(

a + b = (ai + bi) ,

a · b = (ci) , где ci = P ai1 · bi2 .

i1+i2=i

Так как число операций сложения и умножения при определении координат суммы и произведения векторов из K [[x]] является конечным, то операции в K [[x]] определены корректно.

84

Теорема 2. K [[x]] ; +, · — кольцо.

Доказательство без изменений повторяет доказательство теоремы 1, так как мы никогда не использовали конечность числа ненулевых координат бесконечных векторов. □

Кольцо K [[x]] называют кольцом формальных степенных рядов. Векторы a = (ai) K [[x]] обозначают как бесконечные формальные суммы:

∞

X

a = (a0, a1, . . . , an, . . .) = aixi, ai K.

i=0

Операции на этих суммах определены по правилу:

Как видно из определения, формальные степенные ряды довольно просты в обращении. Используя известные тождества из математического анализа, можно получить ряд красивых формул для K [[x]]. Единственным условием такого переноса является конечность числа операций сложения и умножения элементов из K при вычислении коэффициентов рядов.

Примеры:

1) e2x · e1+x2 = e(x+1)2 тогда и только тогда, когда

= 1 + (x + 1)2 + (x + 1)4 + . . . ; 1! 2!

2) sin2 x + cos2 x = 1 тогда и только тогда, когда

85

§12. Гомоморфизмы и идеалы колец. Фактор-кольцо и основная теорема о гомоморфизмах колец. Кольцо Zn

Пусть K; +, · , K′; , — кольца. Отображение φ : K → K′ называется гомоморфизмом, если оно сохраняет операции, т. е. для любых a, b K справедливо

φ(a + b) = φ (a) φ (b) ,

φ(a · b) = φ (a) φ (b) .

Так как φ является гомоморфизмом групп K; + и K′; , то в силу доказанного в § 7 имеем φ(0) = 0′ (0′ — ноль кольца K′) и φ(na) = nφ(a) для любых a K, n Z (в частности, φ(−a) = −φ(a)).

Множество Ker φ = {x K : φ (x) = 0′} называется ядром гомоморфизма φ. Подкольцо I кольца K называют идеалом, если ai I, ia I для любых a K, i I (это обозначают ещё так: KI I, IK I). Идеал I кольца K обозначают следующим образом: I K.

Лемма 1. Если φ : K → K′ — гомоморфизм колец, то Ker φ K, Im φ — подкольцо в K′.

Доказательство. Обозначим Ker φ через I. В силу леммы 1 § 7 достаточно доказать, что ab I, ba I для любых a K, b I, и a′ · b′ Im φ для любых a′, b′ Im φ.

Для любых a K, b I имеем φ (a · b) = φ (a) φ (b) = φ (a) 0′ = 0′. Следовательно, a · b I и KI I. Аналогично доказывается, что

IK I.

Далее для любых a′, b′ Im φ существуют a, b K такие, что a′ = φ (a) , b′ = φ (b). Следовательно, a′ b′ = φ (a) φ (b) = φ (a · b), а потому a′ b′ Im φ. □

Фактор-кольцо. Пусть I K. Рассмотрим K/I — множество смежных классов K; + по I; + и определим операции на K/I по правилу:

(a + I) (b + I) = (a + b) + I,

(a + I) (b + I) = a · b + I.

Будем для краткости записывать a + I = a¯. Итак, K/I = {a¯ : a K} с операциями

¯

a¯ b = a + b,

¯ · a¯ b = a b.

86

Докажем, что операции определены корректно. По лемме 1 § 8 имеем:

a¯ b c¯ = a · b c¯ = (a · b) · c = a · (b · c) = a¯ (b · c) = a¯ b c¯ . □

Кольцо K/I; , называется фактор-кольцом кольца K по идеалу I. Пусть φ : K → K′. Тогда φ — изоморфизм, если φ — гомоморфизм и

φ— взаимно однозначное отображение. Если φ — изоморфизм, то кольца K и K′ называют изоморфными; обозначение: K K′. Отображение

φ— эпиморфизм, если φ — гомоморфизм и Im φ = K′. Отображение φ

— мономорфизм, если φ — гомоморфизм и Ker φ = 0.

Теорема 1 (основная теорема о гомоморфизмах колец). Пусть φ : K → K′ — эпиморфизм, тогда Ker φ K и K′ K/Ker φ. Наоборот, пусть I K и π : K → K/I определено правилом π(a) = a¯ для a K. Тогда π — эпиморфизм и Ker π = I.

Доказательство. Обозначим Ker φ = I. По лемме 1 I K. Положим φ˜ : K/I → K′, где φ˜ (¯a) = φ (a) для a¯ K/I. Проверим корректность определения φ˜.

Пусть ¯, тогда − , поэтому − ′ и

a¯ = b a b Ker φ φ(a b) = 0 φ(a) = φ(b).

Докажем, что φ˜ — изоморфизм колец K/I и K′. 1. Покажем, что φ˜ взаимно однозначно.

Для любого a′ K′ существует такой a K, что φ(a) = a′. Тогда φ˜ (¯a) = a′ по определению. Для любых a, b K выполняется:

87

Для любых a, b K имеем:

Обратно, пусть π : K → K/I, где π(a) = a¯ для любого a K. Тогда

Доказательство. Пусть K — подкольцо в Z; +, ·, тогда K — подгруппа в Z. По теореме 2 из § 7 K = nZ. Легко проверить, что nZ замкнуто относительно умножения. □

Очевидно, что nZ Z, так как m(nZ) = n(mZ) nZ для любого

m Z.

Кольцо Z/nZ называют кольцом вычетов по модулю n и обозначают

через . По определению ¯ ¯ − с операциями

Zn Zn = 0, 1, . . . , n 1

¯

a¯ + b = a + b,

· ¯ · a¯ b = a b,

где через a¯ обозначен остаток от деления a на n.

§13. Поле, простое подполе, расширение поля. Поле Fp. Характеристика поля

Алгебраическая система F ; +, · типа 2, 2 называется полем, если:

По определению считаем, что в поле 0 ̸= 1. Если в аксиоме (F 2) не требовать, чтобы группа была абелевой, то такая алгебраическая система называется телом, т. е. тело — это некоммутативное поле.

Другими словами, F ; +, · является полем, если F ; +, · — ассоциативное коммутативное кольцо с 1, а F = F \ {0}; · — коммутативная группа.

Теорема 1. Zm — поле m = p — простое число.

88

Следовательно, n¯1 = 0 или n¯2 = 0, т. е. n1 = m или n2 = m.

Обратно, если m = p — простое, то для любого k {1, . . . , p − 1} имеем (k, p) = 1. Следовательно, существуют s, t Z такие, что s · k +

Заметим, что вместо Zp пишут часто Fp (или GF (p)) и называют это поле полем Галуа. Подкольцо F P поля P , само являющееся полем, называется подполем, а P называется расширением поля F . (Заметим, что пересечение любого числа подполей поля P является подполем (как и групп, колец).) Поле F называется простым, если в нём нет собственных подполей.

Примеры:

1)Fp — простое поле. Пусть P — подполе в Fp. Тогда 1 P , а потому

2, . . . , p − 1 P , т. е. P = Fp;

2)Q — простое поле. Пусть P — подполе в Q. Тогда 1 P и n, m P для любых n, m Z, откуда mn P (m ̸= 0) и P = Q.

Теорема 2. В любом поле P существует единственное простое подполе P0. При этом P0 Q или P0 Fp.

Доказательство. Пусть P1, P2 — простые подполя в P . Тогда P1 ∩P2

— подполе в P1 и P2, т. е. P1 ∩ P2 = P1 = P2.

Пусть e — единица поля P . Возможны два случая: либо ne ̸= 0 для любого n N, либо существует n N такое, что ne = 0. Рассмотрим

имеем 0 P0, e = 1(1e)−1 P0. Пусть n1 (m1e)−1 + n2 (m2e)−1 = a.

Тогда

a · (m1m2e) = (n1m2 + n2m1) · e a = (n1m2 + n2m1) (m1m2e)−1 P0,

n1 (m1e)−1 · n2 (m2e)−1 = n1n2 (m1m2e)−1 P0,

−n (me)−1 = (−n) (me)−1 P0.

Если n ̸= 0, то n (me)−1 · m (ne)−1 = nm (nme)−1 = (nme) (nme)−1 = e,

поэтому n (me)−1 −1 = m (ne)−1 и P0 — подполе в P .

89

Докажем, что P0 Q. Определим отображение φ : P0 7→Q прави-

лом: φ n (me)−1 = mn . Покажем корректность определения φ:

φ n1 (m1e)−1 · n2 (m2e)−1 = φ n1n2 (m1m2e)−1 =

По основной теореме о гомоморфизмах колец P /Ker φ = P0/{0} P0 Q. Следовательно, P0 Q — простое подполе в P .

2. Существует n N такое, что ne = 0. Выберем такое минимальное m, что me = 0. Тогда m = p простое, так как если m = m1 ·m2, то me =

(m1·m2)e = (m1e)·(m2e) = 0. Следовательно, либо m1e = 0, либо m2e = 0, т. е. либо m1 = m, либо m2 = m. Пусть P0 = {0, e, . . . , (p − 1) e}. Тогда для любых k, s P0 имеем:

ke + se = (k + s) e = (k + s)e,

(ke) · (se) = (k · s) e = (k · s)e,

где n¯ обозначает остаток от деления n на p. Легко видеть, что P0 Fp

Если P0 Q, то говорят, что поле P имеет характеристику 0 (обозначение: char P = 0). Если P0 Fp, то говорят, что поле P имеет характеристику p (обозначение: char P = p).

Очевидно, что если char P = 0, то na ̸= 0 для любого ненулевого a P и любого n N. Если же char P = p, то pa = 0 для любого a P.

90