Лекции по алгебре. В 2 частях. Ч.1. Учебное пособие

Отождествляя элементы (a, 0) с элементами a из R, получаем R C. Иногда будем также использовать записи (a, b) := a + ib := a + bi.

§3. Модуль и аргумент комплексного числа

Любому элементу z = a + bi C можно поставить в соответствие вектор координатной плоскости, у которого проекция на ось x равна a, на ось y равна b и φ — угол наклона с осью x.

√

Действительное число |z| = a2 + b2 называется модулем комплексного числа z; угол φ := arg z называется аргументом числа z (определён с точностью до 2πn), arg 0 не определён. Число a := Re z называют действительной, а b := Im z — мнимой частью z. Таким образом, z = Re z+ iIm z. Очевидно, что Re (z1 + z2) = Re (z1) + Re (z2) , Im (z1 + z2) = Im (z1) + Im (z2).

Можно также использовать тригонометрическую запись комплексного числа z:

z = |z| · (cos φ + i sin φ).

Заметим, что z1 = z2 |z1| = |z2| , arg z1 = arg z2 + 2πk, k Z.

Лемма 1. Для любых z1, z2 C справедливо

1) arg z1 · z2 = arg z1 + arg z2 + 2πk, k Z; |z1 · z2| = |z1| · |z2| ;

z1 · z2 = |z1| · |z2| · (cos φ1 + i sin φ1) · (cos φ2 + i sin φ2) =

= |z1| · |z2| · (cos (φ1 + φ2) + i sin (φ1 + φ2)) .

Следовательно, |z1 · z2| = |z1| · |z2| и arg z1 · z2 = arg z1 + arg z2 + 2πk. Далее

11

§4. Формула Муавра. Извлечение корня

Формула Муавра: для любого n N справедливо равенство

(r (cos φ + i sin φ))n = rn (cos nφ + i sin nφ) .

Доказательство легко следует из леммы 1 § 3 и принципа математи-

Извлечение корня из комплексного числа.

Рассмотрим решения уравнения xn = z, где z = r (cos φ + i sin φ) . Пусть x = ρ (cos ψ + i sin ψ) — решение данного уравнения, тогда

xn = ρn (cos nψ + i sin nψ) . Следовательно,

§5. Отношение эквивалентности и разбиение на классы

Любое подмножество R A × B называется отношением, опре-

делённым на паре множеств A, B. Если (a, b) R, то пишут a b и

R

12

говорят, что a находится в отношении R к элементу b. Отношение R на паре A, A называется бинарным отношением.

Пример. Равенство элементов в множестве A = {1, 2} можно понимать как бинарное отношение R = {(1, 1) , (2, 2)} A × A.

Бинарное отношение R на A называется отношением эквивалентности, или просто эквивалентностью на A, если для любых x, y, z A справедливо:

1) x x — рефлексивность;

R

2) x y y x — симметричность;

RR

Пример. Пусть Z — множество целых чисел. Скажем, что a b, если (a − b) делится на 2. Свойства 1) и 2) очевидны. Проверим 3): a b, b c a − b = 2k, b − c = 2ℓ, где k, ℓ Z. Тогда (a − b) + (b − c) =

a − c = 2 (k + ℓ) и a c.

Пусть I — некоторое непустое множество (индексов). Далее, пусть A — произвольное непустое множество. Множество

S = {Bα : Bα A, α I}

называется разбиением множества A на классы, если Bα ̸= для любого α I и для любого a A существует такое единственное Bα, что a Bα. Очевидно, что при этом A = S Bα и Bα TBβ = для любых

α I

α, β I таких, что α ̸= β.

Теорема 1. 1. Любое отношение эквивалентности R на множестве A определяет разбиение A на классы. 2. Любое разбиение A на классы определяет на A отношение эквивалентности.

Доказательство. 1. Пусть a A. Определим Ka := {b A : b a}

R

(далее := ). Заметим, что Ka ̸= для любого a A: так как a a,

R

то a Ka. Пусть Ka ∩ Kb ̸= , тогда существует c Ka ∩ Kb Значит, c a, b c, откуда a b и a Kb. Тогда для любого x Ka имеем

x a, a b, а потому x b и x Kb. Следовательно, Ka Kb. Аналогично Kb Ka и Ka = Kb. Таким образом, для любых a, b A

либо Ka ∩ Kb = , либо Ka = Kb. Подмножества Ka будем называть смежными классами A по R. Пусть S — это множество всех различных смежных классов A по R. Очевидно, что S — разбиение A на классы.

2. Пусть S = {Bα : Bα A, α I} — разбиение A на классы. Для любых x, y A положим x y тогда и только тогда, когда существует

13

такой α I, что x, y Bα. Тогда x x, так как существует такой α I, что x Bα. Если x y, то y x, что очевидно. Если x y

§6. Эквивалентность систем линейных уравнений при элементарных преобразованиях

Пусть F — некоторое поле. Система линейных уравнений — это система уравнений вида

a11x1 + . . . + a1nxn = b1,

am1x1 + . . . + amnxn = bm,

где aij — коэффициенты системы, bi — свободные члены системы, xj

— неизвестные, aij, bi F , i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n. Символ m×(n+1)

означает тип системы. Cистема называется однородной, если b1 = . . . = bm = 0. Набор (α1, . . . , αn) F n называется решением системы (1), если при замене неизвестных xi на скаляры αi, i = 1, . . . , n, каждое из уравнений системы (1) обращается в равенство.

Обозначим через S F n множество решений системы (1), т. е.

S = {(α1, . . . , αn) : (α1, . . . , αn) — решение системы (1)}. Тогда система называется несовместной, если S = ; совместной, если S ̸= ;

определённой, если S состоит из одного элемента; неопределённой, если S содержит более одного элемента.

Примеры.

•x1 + x2 = 0 — несовместная система; x1 + x2 = 1

•x1 + x2 = 1 — неопределённая система;

•x1 = 1 — определённая система.

Наша цель — найти необходимые и достаточные условия совместности произвольной системы (1), и если система (1) совместна — найти все её решения.

Рассмотрим ещё одну систему:

c11x1 + . . . + c1nxn = d1,

cm1x1 + . . . + cmnxn = dm.

14

Системы (1) и (2) называются эквивалентными, если либо они обе несовместны, либо совместны и обладают одними и теми же решениями. Эквивалентность систем (1) и (2) будем обозначать символом (1) ≈

(2). Таким образом, если Si — множество решений системы (i), i = 1, 2, то (1) ≈ (2) тогда и только тогда, когда S1 = S2.

Заметим, что введённое отношение на системах типа m × (n + 1) является отношением эквивалентности. Действительно, очевидно, что

(1) ≈ (1); (1) ≈ (2) (2) ≈ (1); теперь если (1) ≈ (2), (2) ≈ (3)

S1 = S2, S2 = S3 S1 = S3 (1) ≈ (3). Таким образом, по теореме 1 § 5 множество систем разбивается на классы эквивалентности.

Будем говорить, что система (2) получена из системы (1) при помощи: элементарного преобразования I типа, если система (2) получена из (1) перестановкой i-го и j-го уравнений (i ̸= j); элементарного преобразования II типа, если система (2) получена из (1) добавлением к i-уравнению j-уравнения (i ̸= j), умноженного на некоторое α F , т. е. i-е уравнение системы (2) имеет вид

а остальные уравнения системы (2) совпадают с уравнениями системы

ные преобразования I или II типа будем называть элементарными преобразованиями системы и обозначать (1) (2).

Лемма 1. Имеют место следующие утверждения:

1)(1) (2) (2) (1);

2)(1) (2) (1) ≈ (2).

Доказательство. 1. Если (1) (2), то, очевидно, меняя обратно i-е

I

и j-е уравнения системы (2), получим (1), т. е. (2) (1). Если (1) (2)

I II

по формуле (3), то, добавляя к i-му уравнению (2) j-е уравнение (2),

умноженное на (−α), получим i-е уравнение (1), т. е. (2) (1).

II

2. Если (1) (2), то уравнения системы не изменились, следователь-

I

но, (1) ≈ (2).

Рассмотрим (1) (2) по формуле (3). Пусть S1 ̸= и (γ1, . . . , γn)

II

S1 — произвольное решение системы (1). Тогда (ai1 + αaj1) γ1 + . . . + (ain + αajn) γn = (ai1γ1 + . . . + ainγn) + α (aj1γ1 + . . . + ajnγn) = bi +

15

αbj. Следовательно, (γ1, . . . , γn) S2, и система (2) совместна. В силу

доказанного, S1 S2. Так как (2) (1), то S2 S1 S1 = S2.

II

Пусть S1 = . Так как (2) (1), то S2 = , и опять S1 = S2. Следо-

Теорема 1. Если система (2) получена из (1) путём применения конечной последовательности элементарных преобразований, то

(1) ≈ (2).

Доказательство. Пусть (1) (a1) . . . (an−1) (2). Докажем индукцией по числу преобразований n, что (1) ≈ (2). Базис индукции при n = 1 следует из леммы 1. Предположим, что для (n − 1) преобразований утверждение истинно. Тогда (1) ≈ (a1) по лемме 1. По предположению индукции (a1) ≈ (2). Следовательно, (1) ≈ (2). □

§7. Приведение к ступенчатому виду методом Гаусса

a11 . . . a1n

Таблица A = . . . . . . . . . , где aij F , i = 1, . . . , m, j =

am1 . . . amn

1, . . . , n, называется матрицей размера m × n над F . Пусть

b11 . . . b1n

B = . . . . . . . . . . bm1 . . . bmn

Матрицы A и B называются равными, если они совпадают поэлемент-

но, т. е. A = B aij = bij для всех 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n. Матрица, состоящая из одних нулей, называется нулевой и обозначается также

через 0. Множество всех матриц размера m × n над F обозначается через Mm,n(F ), т. е.

Матрица Ai = (ai1 . . . ain) M1,n (F ) , 1 ≤ i ≤ m, называется i-й стро-

16

Матрицу A можно формально записать через строки или столбцы:

Определим элементарные преобразования строк матрицы.

Элементарные преобразования (строк) I типа:

т.е. матрица B получена из матрицы A перестановкой i и j строк.

Элементарные преобразования строк II типа:

и Ai + αAj = ((ai1 + αaj1) . . . (ain + αajn)) . Говорят, что матрица B получена из матрицы A добавлением к i-строке j-строки, умноженной

на α F .

Элементарные преобразования I и II типа будем называть просто элементарными преобразованиями строк матрицы A и записывать A B.

17

Матрица

где a1k1 , . . . , arkr ̸= 0, 1 ≤ k1 < . . . < kr ≤ n, 1 ≤ r ≤ m, называется матрицей ступенчатого вида (ступенчатой матрицей).

Лемма 1. Пусть A Mm,n(F ) и A ̸= 0. Тогда A элементарными преобразованиями приводится к ступенчатому виду.

Доказательство. Индукция по числу строк матрицы A. При m = 1 ненулевая матрица уже является ступенчатой. Предположим, что утверждение верно для всех матриц из Mm−1,n(F ). Рассмотрим A

Mm,n(F ). Так как A ̸= 0, то существуют i, j, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n, такие, что aij ̸= 0. Выберем минимальное j и произвольное i с этим

свойством. Переставим 1-ю и i-ю строки матрицы A. Получим матрицу

К каждой i-строке матрицы B, i = 2, . . . , m, добавим 1-ю строку мат-

18

(можно считать, что C Mm−1,n). По предположению индукции, матрица C элементарными преобразованиями приводится к ступенчатой матрице D. Совершим те же элементарные преобразования со строками C2, . . . , Cm матрицы C и получим ступенчатую матрицу

зывается расширенной матрицей системы (1). Расширенную матри-

b1

цу A формально записывают в виде A = (A|B), где B = ...

bm

Mm,1 (F ) — столбец свободных членов системы (1).

Таким образом, мы устанавливаем взаимно однозначное соответствие между системами типа m×(n+1) и множеством матриц Mm,n+1 (F ). Нетрудно заметить, что элементарным преобразованиям систем однозначно соответствуют элементарные преобразования матриц и наоборот.

Система (1) называется системой ступенчатого вида, если матрица A данной системы является ступенчатой.

Теорема 1. Всякая система линейных уравнений эквивалентна системе ступенчатого вида.

19

Доказательство. В силу леммы 1 приведём расширенную матрицу системы элементарными преобразованиями к ступенчатому виду. Совершая те же элементарные преобразования с системой, приведём её к системе ступенчатого вида. По теореме 1 § 6 полученная ступенчатая система эквивалентна исходной. □

§8. Условия совместности и определённости

Если расширенная матрица системы A нулевая, то, очевидно, система совместна и имеет множество решений S = F n. Пусть A ̸= 0. Приведём

(1) элементарными преобразованиями к системе ступенчатого вида:

где c1k1 , . . . , crkr ̸= 0, 1 ≤ k1 < . . . < kr ≤ n. В силу теоремы 1 § 6

(1) ≈ (2), поэтому для исследования системы (1) достаточно исследовать систему (2).

1.Несовместность. Если в системе (2) dr+1 ̸= 0, то система (2) несовместна, так как уравнению 0 · x1 + . . . + 0 · xn = dr+1 ̸= 0 не удовлетворяет никакой набор (x1, . . . , xn) F n.

2.Совместность. Пусть dr+1 = 0. Докажем, что система (2) совместна. Рассмотрим систему

где 1 ≤ k1 < . . . < kr ≤ n, 1 ≤ r ≤ n.

20