Лекции по алгебре. В 2 частях. Ч.1. Учебное пособие

Нетрудно заметить, что представление в виде произведения транспозиций неоднозначно: если σ Sn, то σ = (12) · (12) · σ.

Пусть σ Sn, σ ̸= id и σ = σ1 · . . . · σk — разложение в произведение попарно независимых циклов. Число

называется декрементом подстановки σ Sn. Декремент тождественной подстановки по определению полагают равным нулю, т. е.

N(id) = 0.

Лемма 2. Пусть σ = τ1 · . . . · τk — разложение на транспозиции. Тогда k ≡ N(σ) ( mod 2), т. е. чётность числа транспозиций в разложении любой подстановки совпадает с чётностью её декремента.

Доказательство. Найдём, как меняется декремент подстановки σ при умножении её на транспозицию. Если σ = id, то (ij)σ = (ij)id = (ij) и N((ij)σ) = 2 − 1 = N(σ) + 1. Пусть σ ̸= id. Разложим σ в произведение независимых циклов σ = σ1 · . . . · σℓ. Подсчитаем N((ij)σ). Рассмотрим все возможные случаи:

1) i, j / D (σ). Тогда (ij)σ1 · . . . · σℓ — произведение независимых циклов и

N ((ij) σ) = |D (σ) | + 2 − (ℓ + 1) = |D (σ) | − ℓ + 1 = N (σ) + 1;

N((iji1 . . . ik) · σ2 · . . . · σℓ) = |D (σ) |+ 1 −ℓ = |D (σ) |−ℓ + 1 = N (σ) + 1;

3)аналогично рассматривается случай i / D (σ) и j D (σ);

(ij)(ii1 . . . ikjj1 . . . js) = (ij1j2 . . . js) · (ji1 . . . ik). Поэтому N ((ij) σ) = N ((ij1 . . . js) · (ji1 . . . ik) · σ2 · . . . · σℓ) =

= |D (σ) | − (ℓ + 1) = |D (σ) | − ℓ − 1 = N (σ) − 1.

Случай, когда {i1 . . . ik} = , разбирается аналогично;

5) i, j D (σ) и входят в два различных цикла. С точностью до перестановки можно считать, что i D (σ1) и j D (σ2). Тогда

(ij)(ii1 . . . ik)(jj1 . . . js) = (ij1 . . . jsji1 . . . ik).

71

Поэтому N ((ij) σ) = N ((ij1 . . . jsji1 . . . ik) · σ3 · . . . · σℓ) =

= |D (σ) | − (ℓ − 1) = |D (σ) | − ℓ + 1 = N (σ) + 1.

Таким образом, для любой подстановки σ Sn и для любой транспозиции τ имеем N (τ · σ) = N (σ) ± 1 и N (τ · σ) ≡ 1 + N (σ) (mod 2).

Пусть σ = τ1 · . . . · τk — разложение σ на транспозиции, тогда

N (σ) = N (τ1 · . . . · τk) ≡ 1 + N (τ2 · . . . · τk) (mod 2) ≡

2 + N (τ3 · . . . · τk) (mod 2) ≡ . . . ≡ (k − 1) + N (τk) (mod 2) ≡ k (mod 2).

□

Для подстановки π Sn число Sg(π) = (−1)N(π) называется знаком подстановки π.

Теорема 1. Пусть π Sn и π = π1 · . . . · πk — разложение в произведение транспозиций, тогда:

1) чётность числа k не зависит от способа разложения π в произведение транспозиций;

2)Sg(π) = (−1)k;

3)Sg(σ · π) = Sg(σ) · Sg(π) для любых σ, π Sn.

Доказательство. 1. В силу леммы 2 чётность числа k совпадает

счётностью декремента.

2.По лемме 2 k ≡ N (π) (mod 2) Sg(π) = (−1)N(π) = (−1)k.

3.Пусть σ = τ1 · . . . · τℓ — разложение в произведение транспозиций,

Подстановка σ Sn называется чётной, если Sg(σ) = +1, и нечётной, если Sg(σ) = −1.

Теорема 2. An = {σ Sn : Sg(σ) = +1} является подгруппой в Sn

и |An| = n2! .

Доказательство. Подстановка id An, так как Sg(id) = +1. Пусть

σ, τ An, тогда Sg (σ · τ) = Sg(σ) · Sg(τ) = +1 и σ · τ An. Пусть

σ An и σ = τ1 · . . . · τ2k — разложение в произведение транспозиций. Нетрудно заметить, что σ−1 = τ2k ·. . . ·τ1 и σ−1 An. По предложению 1 из § 3 An — подгруппа Sn.

Пусть Bn — множество всех нечётных подстановок из Sn. Тогда (12)An := {(12)σ : σ An} — множество, состоящее из различных нечётных подставок, (12)Bn := {(12)σ : σ Bn} — множество, состо-

Группа An называется знакопеременной группой.

72

§6. Теорема о полном развёртывании определителя

Теорема 1. Для любой A Mn(F ) справедливо равенство

X

|A| = Sg(σ)a1σ(1) · a2σ(2) · . . . · anσ(n).

σ Sn

Доказательство. В силу теоремы 1 из § 1.25 определитель |A| есть полилинейная кососимметрическая нормированная функция D строк

матрицы A, т. е. |A| = D(A1, . . . , An), где Ai — i-строка матрицы A. Разложим A1, . . . , An по стандартному базису {e1, . . . , en} простран-

ства Fn:

n

nn

XX

=a1i1 a2i2 . . . anin D (ei1 , ei2 , . . . , ein ) .

i1,...,in=1

В силу кососимметричности функции D имеем D(. . . , ei, . . . , ei, . . .) = 0, поэтому

X

|A| = a1σ(1)a2σ(2) . . . anσ(n)D eσ(1), . . . , eσ(n) .

σ Sn

Найдём число D eσ(1), . . . , eσ(n) . Заметим, что в силу кососимметричности D для любой транспозиции τ Sn и для любых различных i1, . . . , in имеем

D eτ(i1), . . . , eτ(in) = −D (ei1 , . . . , ein ) .

Разложим σ в произведение транспозиций: σ = τ1 · . . . · τk. Тогда

σ Sn

73

§7. Изоморфизм групп, теорема Кэли

Рассмотрим две группы G и G′ с операциями и ◦. Отображение f : G → G′ называется гомоморфизмом, если

f (a b) = f (a) ◦ f (b)

для любых a, b G. Гомоморфизм f называется эпиморфизмом, если отображение f сюръективно (отображение на), гомоморфизм f называется изоморфизмом, если отображение f биективно. В этом случае группы G и G′ называются изоморфными, и это обозначается G G′.

Простейшие свойства гомоморфизмов. Пусть f — это гомо-

a′, b′ Im f существуют a, b G такие, что f (a) = a′, f (b) = b′. Тогда

f a b−1 = f (a)◦f b−1 = a′ ◦(b′)−1 a′ ◦(b′)−1 Im f Im f ≤ G′.

□

Докажем, что изоморфизм определяет отношение эквивалентности на множестве всех групп.

74

Для любой группы G имеем G G: тождественное отображение id : G → G очевидно является изоморфизмом.

Для любых групп G, G′ имеем G G′ G′ G: если f : G → G′ — изоморфизм, то f−1 : G′ — изоморфизм по свойству 3).

Докажем, что для любых групп G1, G2, G3 изоморфизмы G1 G2, G2 G3 влекут G1 G3. Действительно, если f : G1 → G2, f2 : G2 → G3 — изоморфизмы, то f1 ◦ f2 : G1 → G3 — биективное отображение, и для любых a, b G1 имеем:

(f1 ◦ f2) (a 1 b) = f2 (f1 (a 1 b)) = f2 (f1 (a) 2 f1 (b)) =

= f2 (f1 (a)) 3 f2 (f1 (b)) = (f1 ◦ f2) (a) 3 (f1 ◦ f2) (b) ,

где i — операция в группе Gi. Таким образом, f1 ◦ f2 : G1 → G3 —

гомоморфизм, и G1 G3.

В силу теоремы 1 из § 1.5 множество всех групп распадается на классы изоморфных групп. С точки зрения алгебры естественно изучать неизоморфные объекты.

Лемма 2. Все циклические группы одного порядка изоморфны.

Доказательство. Пусть G — циклическая группа.

1. Пусть G — бесконечная группа. Тогда G = a = {an : n Z}. Рассмотрим бесконечную циклическую группу Z = Z; + и отображение φ : G → Z, определённое правилом: φ(an) = n для любого n Z. Очевидно, что φ биективно, и для любых n, m Z имеем:

Следующая теорема показывает, что все конечные группы с точностью до изоморфизма являются подгруппами в Sn.

Теорема 1 (Кэли). Любая конечная группа порядка n изоморфна некоторой подгруппе группы Sn.

Доказательство. Пусть G — группа порядка n и Sn — группа биективных отображений из G на G относительно суперпозиции, т. е.

75

Sn = S(G); ◦ . Для любого g G определим отображение Tg : G → G

Для любых a, b G равенство Tg (a) = Tg (b) влечёт a · g = b · g, откуда a = b. Следовательно, Tg инъективно и Tg S(G).

Так как a·e = a для любого a G, то Te = id. Поэтому Tg ◦Tg−1 (a) =

Tg−1 (Tg (a)) = (a · g) · g−1 = a · e = a = Te (a) для любого g G. Следовательно, Tg−1 = Tg−1 для любого g G.

Рассмотрим множество H всех отображений Tg, g G. Докажем, что H = {Tg : g G} ≤ Sn. Действительно, id = Te H, т. е. H ̸= . Далее, для любых Ta, Tb H и c G имеем:

Ta ◦ Tb−1 (c) = Tb−1 (Ta (c)) = (c · a) · b−1 = c · a · b−1 = Ta·b−1 (c) .

Следовательно, Ta ◦ Tb−1 = Ta·b−1 H и H ≤ Sn по предложению 1 § 3. Рассмотрим отображение φ : G → H, определённое по правилу φ (g) = Tg. Докажем, что φ — это изоморфизм. По определению φ

сюръективно. Пусть φ (a) = φ (b), т. е. Ta = Tb. Тогда для любого x G справедливо

Ta (x) = x · a = Tb (x) = x · b a = b Ta = Tb.

Таким образом, φ инъективно. Далее, φ (g1 · g2) = Tg1·g2 для любых

g1, g2 G. Для любого x G имеем Tg1·g2 (x) = x·(g1 · g2) = (x · g1)·g2 = (Tg1 ◦ Tg2 ) (x), откуда Tg1·g2 = Tg1 ◦ Tg2 . Поэтому φ (g1 · g2) = Tg1·g2 = Tg1 ◦ Tg2 = φ (g1) ◦ φ (g2). Следовательно, φ — изоморфизм и G H. □

§8. Смежные классы по подгруппе. Теорема Лагранжа

Пусть H — подгруппа группы G и g G. Множество gH = {gh : h H} называется левым смежным классом группы G по подгруппе H, элемент g называют представителем этого класса.

Лемма 1. H, K ≤ G. Тогда gH = g1K H = K, g−1 · g1 H. Доказательство. “ ” Существует k K такой, что g ·e = g = g1 ·k.

Следовательно, g1−1 · g = k K и аналогично g−1 · g1 H. Тогда для любого h H существует k K такой, что g · h = g1 · k. Значит,

h = g−1 · g1 · k = g1−1 · g −1 · k K. Поэтому H K. Аналогично доказываем, что K H. Следовательно, K = H.

76

Следствие 1. Два левых смежных класса G по H либо совпадают, либо не пересекаются.

Доказательство. Если gH ∩ g1H ̸= , то существует a gH ∩ g1H,

Теорема 1 (Лагранж). Порядок конечной группы G делится на порядок любой её подгруппы H.

Доказательство. Очевидно, что g gH для любого g G. Поэтому G = S gH. В силу следствия 1 можно выбрать все различные смеж-

g G

k

ные классы g1H, . . . , gkH, где giH ∩ gjH = при i ̸= j и G = S giH.

i=1

Докажем, что |giH| = |H|. Действительно, если gi · h1 = gi · h2, то

Множество всех различных левых смежных классов обозначается через (G/H)l. Их число называется (левым) индексом H в G и обозна-

чается через (G : H)l.

Таким образом, теорему Лагранжа можно записать следующим образом:

|G| = |H| · (G : H)l .

Аналогично определяются правые смежные классы и (G : H)r — их правый индекс в G и доказывается, что

|G| = |H| · (G : H)r .

Таким образом, (G : H)l = (G : H)r и можно говорить об индексе подгруппы H в G.

Следствие 2. Порядок любого элемента конечной группы делит порядок группы. Группа простого порядка p всегда циклическая.

Доказательство. По теореме 1 § 3 имеем |g| = | g | для любого g G. По теореме Лагранжа |g| делит |G|. Пусть |G| = p и a G, a ̸= e. Тогда |a| делит p, т. е. |a| = | a | = p и a = G. □

Обратное утверждение теоремы Лагранжа в общем случае неверно. В группе A4 нет подгрупп порядка 6. Но для циклических групп это утверждение верно.

77

Теорема 2. Всякая подгруппа циклической группы является циклической. В циклической группе порядка n для любого делителя d числа n существует единственная подгруппа порядка d.

Доказательство. Пусть H ≤ Z = Z; + и k = min {m H}. Тогда

m>0

ℓ = k · q + r для любого ℓ H, при этом 0 ≤ r < k. Следовательно, r = ℓ − q · k H, r = 0, и H = {s · k : s Z} = k — бесконечная циклическая группа. Более того, по лемме 2 § 7 H Z.

Рассмотрим случай конечной циклической группы:

G = e, a, . . . , an−1 = a .

Пусть H ≤ G и k — это минимальное натуральное число такое, что ak H. Пусть am H и m = k · q + r, где 0 ≤ r < k. Как и в случае бесконечной циклической группы, имеем

Рассмотрим произвольную подгруппу K ≤ G порядка d. По доказанному K = as , где |as| = d. Имеем as·d = e, т. е. n делит s ·d. Таким

§9. Нормальные подгруппы и факторгруппы

Подгруппа H группы G называется нормальной, если gH = Hg для любого g G. Обозначение: H G.

Лемма 1. H G g−1Hg H для любого g G.

Доказательство. Пусть H G. Тогда для любых h H, g G существует h1 H такой, что gh1 = hg, откуда g−1hg = h1 H и g−1Hg H для любого g G.

Наоборот, для любых h H, g G существует h1 H такой, что

78

Пусть H ≤ G. Тогда если g−1Hg H для всех g G, то g−1Hg = H для всех g G. Действительно, если g−1Hg H для всех g G, то

g−1Hg H g−1 gHg−1 g g−1Hg g−1Hg = H.

Определение фактор-группы. Пусть H G. Рассмотрим множество смежных классов:

G/H = {gH : g G} .

Определим операцию на G/H по следующему правилу:

g1H · g2H = (g1 · g2) H.

Проверим корректность определения операции. Выберем другие представители в смежных классах g1H и g2H. Пусть aH = g1H, bH = g2H. Необходимо доказать, что (a · b) H = (g1 · g2) H.

По лемме 1 § 8 имеем:

g1H = aH a−1 · g1 = h1 H,

g2H = bH b−1 · g2 = h2 H.

Так как H G, то b−1 · h1 = h3 · b−1 для некоторого h3 H. Поэтому

(a · b)−1 ·(g1 · g2) = b−1 ·a−1 ·g1 ·g2 = b−1 ·h1 ·g2 = h3 ·b−1 ·g2 = h3 ·h2 H.

Рассмотрим произвольную подгруппу H ≤ Z. Так как Z — абелева группа, то H Z. По теореме 2 из § 8 H является циклической группой и имеет вид H = nZ, где n ≥ 0. Пусть H ̸= 0. Докажем, что Zn = Z/nZ при n > 0 является циклической группой порядка n.

Теорема 2. Zn = Z/nZ — циклическая группа порядка n.

79

Доказательство. Для любого a Z имеем a = n·q+r, где 0 ≤ r < n,

состоит из следующих смежных классов: ¯ ¯ − . Очевидно, что

0, 1, . . . , n 1

□

В силу леммы 2 из § 7 и доказанной теоремы имеем

Следствие 1. Все циклические группы порядка n изоморфны Zn.□

§10. Теорема о гомоморфизмах групп

Пусть G, G′ — группы и φ : G → G′ — эпиморфизм. Найдём некоторое описание группы G′.

Теорема 1. Пусть φ : G → G′ — эпиморфизм групп. Тогда Ker φ G и G′ G/Ker φ. Наоборот, если H G, то ψ(g) = g¯ есть эпиморфизм

G на G/H и Ker ψ = H.

Доказательство. Обозначим Ker φ = H. По лемме 1 § 7 H ≤ G. Легко видеть, что g−1Hg H.

Определим отображение φ˜ : G/H → G′ по правилу φ˜ (¯g) = φ (g) для

g¯ G/H.

Проверим корректность определения этого отображения. Пусть g¯ = gH, a¯ = aH и g¯ = a¯. Докажем, что φ(g) = φ(a). По лемме 1 § 8 имеем:

g¯ = a¯ a−1·g Ker φ φ a−1 · g = e′ = φ (a)−1·φ (g) φ (a) = φ (g) ,

где e′ — единица в G′. Докажем, что φ˜ — изоморфизм групп G/H и G′. Для любого a′ G′ существует такой a G, что φ(a) = a′. Тогда

так как ψ (g1 · g2) = g1 · g2 = g¯1 ·g¯2 = ψ (g1)·ψ (g2) , то ψ — эпиморфизм. Далее

a Ker ψ ψ (a) = a¯ = e¯ a H Ker ψ = H. □

80