Лекции по алгебре. В 2 частях. Ч.1. Учебное пособие

L (am+1 + U, . . . , an + U). Следовательно, am+1 + U, . . . , an + U — базис

V/U и dim V/U = n − m = dim V − dim U. □

§27. Определитель квадратной матрицы: основные свойства

Индукцией по порядку n квадратной матрицы A Mn(F ) определим отображение det : Mn (F ) → F , которое будем называть детерминантом, или определителем A, по следующему правилу:

n = 1 : det (a) = a,

Предположим, что для всех квадратных матриц размера меньше n функция det определена. Рассмотрим матрицу A Mn(F ). По предположению индукции определены

детерминанты матриц размера (n − 1), полученных вычёркиванием i-строки и j-столбца матрицы A. Эти скаляры называются минорами матрицы A. Скаляры

Aij (A) := (−1)i+j Mij (A)

называются алгебраическими дополнениями. Далее полагаем по определению:

Формула (1) называется разложением определителя по 1-му столбцу. Если ясно, о какой матрице идёт речь, то для краткости записыва-

ют: Mij = Mij (A) , Aij = Aij (A) , тогда

51

Функция det(A) часто обозначается через |A|. Аналогично определяют-

ся миноры Mi1,...,ik;j1,...,jk (A) = Mi1,...,ik;j1,...,jk — определители матриц, полученных из A вычёркиванием строк с номерами i1, . . . , ik и столбцов

с номерами j1, . . . , jk. Найдём по определению:

a11 · (a22a33 − a32a23) − a21 · (a12a33 − a13a32) + a31 · (a12a23 − a22a13) = a11 · a22 · a33 + a12 · a23 · a31 + a13 · a32 · a21

−a31 · a22 · a13 − a11 · a23 · a32 − a21 · a12 · a33.

Теорема 1. Определитель обладает следующими свойствами: (D1) при перестановке строк определитель меняет знак;

(D2) при умножении какой-то строки на скаляр λ F определитель также умножается на λ;

(D3) определитель является линейной функцией строк матрицы

A;

(D4) |E| = 1.

Доказательство всех этих свойств осуществляется по индукции. Вначале расписываем определитель по определению, затем применяем предположение индукции и вновь сворачиваем сумму в определитель. Нужно только проследить, что происходит со слагаемыми, соответствующими тем строкам, с которыми совершается преобразование.

-строки; ¯ — -строка без первого элемента. Тогда i Ci = (ci2, ci3, . . . , cin) i

по предложению индукции имеем: при k ̸= i, j

(−1)k+1 bk1Mk1 (B) = (−1)k+1 ak1 · (−1) Mk1 (A) ;

52

..

.

a b

λdet . Предположим, что (D2) верно для всех матриц раз- c d

мера (n − 1). Пусть матрица B получена из A Mn(F ) умножением i-строки на λ. По предположению индукции имеем: при k ̸= i

(−1)k+1 bk1Mk1 (B) = (−1)k+1 ak1 · λ · Mk1 (A) ;

при k = i

(−1)i+1 bi1Mi1 (B) = (−1)i+1 λai1 · Mi1 (A) .

n

Следовательно, det (B) = λ P (−1)k+1ak1Mk1 (A) = λ det (A) .

k=1

53

(D3) Докажем сначала, что

= (−1)i+1 ai1Mi1 (A) + (−1)i+1 di1Mi1 (D) .

Следовательно,

n

det (C) = X(−1)k+1 ck1Mk1 (C) =

k=1

54

Следствие 1. 1) Если A Mn(F ) содержит две одинаковые строки, то |A| = 0. 2) Если A содержит нулевую строку, то |A| = 0. 3)

|λA| = λn|A|.

Доказательство. 1) Поменяем местами одинаковые строки. Тогда из (D1) следует det(A) = − det(A) и det(A) = 0, если 1 + 1 ̸= 0 в поле

F . Если же 1 + 1 = 0 в F , то независимое доказательство получается индукцией по порядку матрицы. Свойство 2) вытекает из (D2) при λ = 0. Свойство 3) также следует из (D2). □

§28. Определитель как кососимметрическая полилинейная нормированная функция

нейно по каждому аргументу, т. е. для любого i = 1, . . . , n и лю-

ся кососимметрическим, если для любых i, j = 1, . . . , n (i ̸= j) верно f(v1, . . . , vi, . . . , vj, . . . , vn) = −f(v1, . . . , vj, . . . , vi, . . . , vn).

Лемма 1. Пусть Φ : Mn(F ) → F удовлетворяет свойствам (D1)− (D4). Тогда:

1) если матрица B получена из A элементарными преобразованиями строк II типа (прибавление к одной строке другой, умноженной на скаляр), то Φ(B) = Φ(A);

55

Φ(A) = a11 · a22 · . . . · ann.

Доказательство. Свойство 1) вытекает из (D3), (D2) и следствия. Для доказательства 2) заметим, что если ann = 0, то Φ(A) = 0 в силу (D2). Если же ann ̸= 0, то можно занулить все элементы n-го столбца, стоящие над ann. После этого перейдём к an−1n−1 и т. д. Если все aii ̸= 0, мы в итоге получим Φ (A) = Φ (diag {a11, a22, . . . , ann}) = (по (D2)) =

Теорема 1. Пусть функция Φ : Mn(F ) → F удовлетворяет свой-

ствам (D1) − (D4). Тогда Φ(A) = |A| для любой A Mn(F ). Доказательство. Приведём A к ступенчатому виду A′ элементар-

ными преобразованиями I и II типа (без умножений строк на скаляры). Пусть при этом мы совершили k перестановок строк. Тогда

Φ (A) = (−1)k Φ (A′) , |A| = (−1)k |A′| .

Если в A′ есть нулевая строка, то Φ(A′) = |A′| = 0. Иначе же A′ является верхнетреугольной и снова Φ(A′) = |A′| по лемме 1. □

§29. Теорема об определителе транспонированной матрицы

56

Подставив это в S, получим:

nn

S = XX(−1)i+j+1 ai1a1jM1,i;1,j (A) =

i=2 j=2

Следствие 1. Свойства (D1) — (D4) верны не только для строк, но и для столбцов матрицы A.

n

P

Следствие 2. |A| = a1iA1i — разложение по первой строке.

i=1

§30. Разложение определителя по любому столбцу. Присоединённая матрица

Теорема 1 (о разложении определителя по любому столбцу (строке)). Для любого фиксированного индекса j = 1, . . . , n верно

!

n n

XX

|A| = aijAij = ajkAjk .

57

k=1

определителю матрицы, полученной из A заменой j-й строки строкой

Матрица A = (Aij)τ называется присоединённой матрицей к матрице A.

Теорема 2. Пусть A Mn(F ). Тогда A · A = A · A = det(A) · E. В частности, если det(A) ̸= 0, то A−1 = det(1A) · A .

0det (A)

Следствие 2. Следующие условия для квадратной матрицы A эквивалентны:

1)A обратима;

2)строки A линейно независимы;

3)столбцы A линейно независимы;

4)|A| ̸= 0, т. е. A невырождена.

Доказательство. Эквивалентность 1) 2) 3) — это следствие 1 § 21. Если строки A линейно независимы, то, как и в § 28, A эквивалентна диагональной матрице без нулевых строк, т. е. |A| ̸= 0. Из 4) следует 1) по теореме 2. □

58

§31. Определитель произведения матриц

Лемма 1. Пусть A = diag {d1, . . . , dn} , B Mn (F ). Тогда

ментарным преобразованием строк I или II типа, то C′ = A′B получается из C тем же самым элементарным преобразованием строк.

r(A) < n, поэтому |A| = |A · B| = 0. Пусть r(A) = n, тогда A невырождена и элементарными преобразованиями строк I и II типа приводится к диагональному виду D = diag {d1, . . . , dn} . Пусть при этом совершено k перестановок строк, тогда |A| = (−1)k|D|. Применяя те же элементарные преобразования строк к матрице C, по лемме 2 получим матрицу C′ = DB; при этом |C′| = (−1)k|C|. По лемме 1

|C′| = |D| · |B| = (−1)k|A| · |B|, откуда |C| = |A| · |B|. □

§32. Формулы Крамера

Теорема 1 (Формулы Крамера). Если система n линейных уравнений от n неизвестных A · X = B имеет ненулевой определитель (т. е. |A| ̸= 0), то она определена и её единственное решение задаёт-

ся формулами xi = ∆∆i , i = 1, 2, . . . , n, где ∆ = |A|, а ∆i получается из ∆ заменой i-го столбца столбцом свободных членов.

59

§33. Минорный ранг. Теорема об окаймляющем миноре

Рангом матрицы по минорам назовём наибольший порядок её ненулевых миноров.

Теорема 1. Ранг матрицы равен её рангу по минорам.

Доказательство. Пусть rm — ранг по минорам матрицы A, r = r(A). Ясно, что rm ≤ r, так как строки, входящие в любой ненулевой минор, линейно независимы.

Наоборот, пусть строки Ai1 , . . . , Air линейно независимы. Рассмотрим матрицу A′, составленную из этих r строк, тогда r(A′) = r. Значит, существуют r линейно независимых столбцов в этой матрице: A′(j1), . . . , A′(jr). Матрица A′′, составленная из этих столбцов, принадлежит Mr(F ), столбцы её линейно независимы, поэтому |A′′| ̸= 0. Но |A′′| — это минор r-го порядка матрицы A, стоящий на пересечении строк Ai1 , . . . , Air и столбцов A(j1), . . . , A(jr). Следовательно, rm ≥ r. □

Теорема 2 (об окаймляющем миноре). Пусть все миноры порядка k + 1, содержащие данный ненулевой минор порядка k, равны нулю. Тогда r(A) = k.

Доказательство. Пусть данный минор расположен в строках

Ai1 , . . . , Aik и столбцах A(j1), . . . , A(jk). Столбцы A(j1), . . . , A(jk) линейно независимы (т. к. линейно независимы “укороченные” столбцы). Пусть

60