Лекции по алгебре. В 2 частях. Ч.1. Учебное пособие

n

αiei = 0. Тогда α1 = . . . = αn = 0 и φ (ek+1) , . . . , φ (en) линейно

Теорема 2. Пусть φ L (V, V ), V — конечномерное пространство. Тогда следующие условия эквивалентны: 1) φ обратимо; 2) Ker φ = 0; 3) Im φ = V .

Доказательство. По теореме 1 имеем:

Ker φ = 0 dim Ker φ = 0 dim Im φ = dim V Im φ = V,

откуда следует эквивалентность 2) 3).

1) 2) Если φ обратимо, то φ биективно по лемме 1 § 18 и Ker φ = 0. Пусть Ker φ = 0, тогда Im φ = V , φ сюръективно; более того, если a, b V и φ (a) = φ (b), то 0 = φ (a) − φ (b) = φ (a − b), т. е. a − b

Ker φ, a = b. Значит, φ инъективно и 1) 2). □

Линейное отображение φ L (V, V) называется невырожденным, если Ker φ = 0.

Следствие. Пусть dimF V < ∞. Тогда отображение φ невырождено тогда и только тогда, когда φ обратимо.

§20. Вертикальный и горизонтальный ранги матрицы

Пусть A Mm,n(F ), VΓ = VΓ (A) — подпространство в Fn, порождённое строками A, и VB = VB (A) — подпространство в F m, порождённое столбцами A. Тогда dim VΓ := rΓ называется горизонтальным рангом (ранг по строкам) матрицы A, dim VB := rB — вертикальным рангом (ранг по столбцам) матрицы A.

Лемма 1. Если матрица A′ получена из матрицы A элементарными преобразованиями строк, то rΓ (A) = rΓ (A′), rB (A) = rB (A′).

Доказательство. Первое очевидно. Для доказательства второго надо заметить, что если A′ получена из A элементарным преобразованием I и II типа, то всякая линейная зависимость между столбцами A перейдёт в ту же зависимость (с теми же коэффициентами) между столбцами A′. Так как A также получается из A′ элементарным преобразованием строк, то какие-то столбцы A линейно зависимы соответствующие столбцы A′ линейно зависимы. Поэтому rB (A) = rB (A′).

□

41

Пусть A = (aij) Mm,n(F ). Тогда матрица A = (aji) Mn,m(F ), у которой по определению элемент в i-й строке и j-м столбце равен aji,

называется транспонированной матрицей к матрице A и обозначается

Aτ .

Теорема 1. rΓ (A) = rB (A), т. е. вертикальный и горизонтальные ранги совпадают.

Доказательство. Достаточно доказать неравенство rB (A) ≤ rΓ (A), тогда из аналогичного неравенства для транспонированной матрицы получим rΓ (A) = rB (Aτ ) ≤ rΓ (Aτ ) = rB (A) и окончательно rΓ (A) =

rB (A).

Приведём A элементарными преобразованиями строк I и II типа к ступенчатому виду A′. По лемме 1 достаточно доказать искомое неравенство для A′. Пусть A′ имеет r ненулевых строк; тогда эти строки независимы, и rΓ (A′) = r. Так как в каждом столбце матрицы A′ последние m−r координат нулевые, то без ограничения общности можно считать, что VB (A′) F r, откуда rB (A′) = dim VB (A′) ≤ dim F r = r.

□

Число r (A) = rΓ (A) = rB (A) называется рангом матрицы A.

Следствие. Пусть A Mm,n (F ). Тогда r (A) = r (Aτ ).

§21. Ранг как размерность образа. Ранг произведения матриц

В § 16 мы определили умножение строки на матрицу и в теореме 1 § 16 было доказано, что отображение L является изоморфизмом линейных пространств Mm,n (F ) и L (Fm, Fn) . Аналогично можно рассмотреть умножение столбца на матрицу. Для любых X F n и A Mm,n (F ) положим:

A1X

A · X = ... .

AmX

В точности повторяя рассуждения § 16, мы получим, что отображение

Lτ : A → ψA, где ψA (X) = A · X,

является изоморфизмом линейных пространств Mm,n (F ) и L (F n, F m) . Причём если [φ]τ = (φ (ℓ1) , . . . , φ (ℓn)) — матрица φ в стандартном базисе ℓ1, . . . , ℓn пространства F n, то, повторяя некоторые рассуждения

42

предыдущих параграфов (меняя вектор-строки на вектор-столбцы), получим, что отображение

[ ]τ : L (F n, F m) → Mm,n (F ) ,

действующее по правилу [ ]τ (φ) = [φ]τ , является изоморфизмом линейных пространств.

Теорема 1. Пусть φ L (Fm, Fn). Тогда r ([φ]) = dim (Im φ).

а r ([φ]) совпадает с максимальным числом линейно независимых векторов среди φ (ℓ1) , . . . , φ (ℓm), т. е. равно размерности пространства

Im φ. □

Следствие 1. Матрица A Mn (F ) обратима r (A) = n.

Доказательство. Рассмотрим φA L (Fn, Fn), где φA (X) = X · A

для X Fn. По теореме 1 § 18 отображение φA обратимо [φA] = A

— обратимая матрица.

По теореме 2 § 19 отображение φA обратимо Im φA = Fn, т. е. dim Im φA = dim Fn = n. По теореме 1 получаем равенства r (A) =

dim (Im φA) = n. □

Пусть V, W — векторные пространства, U — подпространство в V и ϕ L(V, W ). Обозначим через ϕ|U отображение из U в W , действующее по правилу ϕ|U (u) = ϕ(u). Отображение ϕ|U называется ограничением отображения ϕ на подпространство U.

Теорема 2. Пусть A Mm,n (F ) , B Mn,k (F ). Тогда

r (AB) ≤ min {r (A) , r (B)} .

Доказательство. Приведём два доказательства: первое — на языке линейных отображений, второе — на языке матриц.

1. Пусть φ : Fm → Fn, ψ : Fn → Fk — такие линейные отображения, что в стандартных базисах [φ] = A, [ψ] = B. Тогда по теореме 1 § 17 AB = [φ ◦ ψ] = [φ] · [ψ]. В частности, r (A) = dim Im φ, r (B) = dim Im (ψ), r (AB) = dim Im (φ ◦ ψ). Ясно, что Im (φ◦ψ) Im ψ, поэтому r (AB) ≤ r (B).

43

Для доказательства второго неравенства рассмотрим отображение

r (AB) .

Заметим, что второе неравенство может быть выведено из первого:

r (AB) = r ((AB)τ ) = r (Bτ Aτ ) ≤ r (Aτ ) = r (A) .

2. Пусть AB = C, тогда

nn

XX

Ci = aikBk, C(j) = bkjA(k),

k=1 k=1

где для матрицы A Mm,n (F ) через Ai обозначены её строки, а через A(j) — столбцы. Поэтому

Следствие 2. Пусть A Mm,n (F ). Если матрицы B Mm (F ) ,

Следствие 3. Матрица A Mn (F ) обратима A обратима справа или слева.

Доказательство. Действительно, из равенства AB = E следует, что n = r (E) ≤ r (A), поэтому r (A) = n и A обратима. □

§22. Эквивалентность матриц одного ранга

Для матрицы A Mm,n (F ) назовём элементарным преобразованием строк III типа умножение некоторой строки на λ F, λ ̸= 0. Аналогично определим преобразование для столбцов. Элементарными преобразованиями матрицы A Mm,n (F ) назовём элементарные преобразования строк и столбцов типа I, II, III. Назовём две матрицы одинакового порядка эквивалентными, если одна получена из другой элементарными преобразованиями. Из леммы 1 § 20 следует, что эквивалентные матрицы имеют равные ранги. Докажем теперь обратное.

Теорема 1. Матрицы A, B Mm,n (F ) эквивалентны они имеют одинаковые ранги.

44

Доказательство. Мы покажем, что всякая матрица A ранга r экви-

Действительно, элементарными преобразованиями строк A приводится к ступенчатому виду с r ненулевыми строками. Переставив, если надо, столбцы, можно считать, что первый ненулевой элемент в i-й строке (i = 1, . . . , r) стоит на i-м месте. Следующим шагом можно превратить все эти элементы в 1, а затем легко занулить все остальные элементы.

□

§23. Теорема Кронекера — Капелли

Рассмотрим совместную систему

d1

1 ≤ k1 < k2 < . . . < kr ≤ n; c1k1 · c2k2 · . . . · crkr ̸= 0, D = ... F r.

dr

В § 8 были определены главные неизвестные xk1 , . . . , xkr и свободные неизвестные xi, i ̸= k1, . . . , kr, 1 ≤ i ≤ n. Ввиду того, что в общем случае выбор главных неизвестных зависит от способа приведения A . . . C системы к ступенчатому виду, xk1 , . . . , xkr будем называть главными неизвестными метода Гаусса A . . . C. Формулы (4) из § 8 определяют основное свойство неизвестных xk1 , . . . , xkr . А именно придадим свободным неизвестным xi, 1 ≤ i ≤ n, i ̸= k1, . . . , kr, произвольные значения β1, . . . , βn−r F , тогда по формулам (4) из § 8 однозначно найдём единственное решение системы (1).

45

Неизвестные xi1 , . . . , xis , s ≤ n, называются главными в системе (1), если для любых βi F, 1 ≤ i ≤ n, i ̸= i1, . . . , is, существует единственный набор (αi1 , . . . , αis ) Fs такой, что

Оставшиеся неизвестные назовём свободными.

В силу сказанного любые главные неизвестные метода Гаусса являются главными. Возникают два вопроса:

—от чего зависит число главных неизвестных?

—какие неизвестные могут быть главными? Ответы на них даёт следующая теорема.

Теорема 1. Пусть AX = B — совместная система линейных уравнений и r (A) = r. Тогда xi1 , . . . , xir — главные неизвестные A(i1), . . . , A(ir) линейно независимы. В частности, число главных неизвестных равно рангу системы.

Доказательство. Перепишем систему (1) в виде

x1 · A(1) + x2 · A(2) + . . . + xn · A(n) = B.

Предположим, что A(i1), . . . , A(ir) линейно зависимы. Так как r(A) =

r ≤ n, то существует j, 1 ≤ j ≤ n, j ̸= i1, . . . , ir, такое, что A(j) / A(i1), . . . , A(ir) . Придадим свободным неизвестным следующие значе-

ния:

а) xj = 1, а остальные свободные неизвестные приравняем к нулю; б) xj = 2, а остальные свободные неизвестные приравняем к нулю.

Тогда существуют (αi1 , . . . , αir ) F r, (βi1 , . . . , βir ) F r такие, что

k=1

тиворечию, следовательно, A(i1), . . . , A(ir) линейно независимы.

Наоборот, так как система (1) совместна, то B A(1), . . . , A(n) . Так как r (A) = r, а A(i1), . . . , A(ir) линейно независимы, то A(i1), . . . , A(ir)

— базис A(1), . . . , A(n) . Следовательно, для любых αi F , 1 ≤ i ≤ n,

46

§24. Размерность пространства решений, фундаментальная система решений

Рассмотрим однородную систему

неизвестных.

В § 9 было доказано, что Vреш. (множество решений системы (1)) является подпространством в F n. Как найти его размерность и базис? Рассмотрим отображение φ : F n → F m:

φ (x) = A · X.

47

r (A) = dim (Im φ). По теореме 1 § 19 n = dim F n = dim Ker φ+dim Im φ. Поэтому dim Vреш. = n − r (A). □

Произвольный базис пространства Vреш. для системы AX = 0 называется фундаментальной системой решений.

Алгоритм построения фундаментальной системы.

Пусть r(A) = r. Выберем произвольные главные неизвестные xi1 , . . . , xir для системы (1). Для простоты изложения будем обозначать главные неизвестные через y1, . . . , yr, свободные неизвестные —

через yr+1, . . . , yn. Через a¯ = (α1, . . . , αn) будем обозначать следующее решение системы (1): y1 = α1, . . . , yr = αr, yr+1 = αr+1, . . . , yn = αn. В

силу формулы (4) из § 8 найдём решения:

a¯1 = (α11, . . . , α1r, 1, 0, . . . , 0) ,

− − − − − − − − − − − − −

a¯n−r = (αn−r,1, . . . , αn−r,r, 0, 0, . . . , 1) .

По построению они линейно независимы, а так как их число равно (n − r), то это базис Vреш., и, следовательно, это фундаментальная система решений.

Теорема 2. Всякое подпространство V F n размерности s является пространством решений некоторой однородной системы ранга

(n − s).

Доказательство. Выберем a1, . . . , as — некоторый базис V , допол-

ним его векторами as+1, . . . , an до базиса F n. Пусть U = L(as+1, . . . , an). Тогда F n = V U. Рассмотрим проекцию ψ пространства F n на U: ес-

ли x = v + u F n, где v V, u U, то ψ(x) := u. Пусть A = [ψ]. Рассмотрим отображение φ : X 7→AX. Тогда [φ] = A. Следовательно,

φ = ψ, и V = Ker ψ = Vреш. □

§25. Линейные многообразия

Пусть V — линейное пространство, U — подпространство в V , a V . Множество a + U = {a + x : x U} называется линейным многообразием типа U и размерности dim U. Нетрудно заметить, что a + U является линейным подпространством a U. Действительно,

0 a + U a U a + U = U.

Лемма 1. Пусть a1 + U1, a2 + U2 — линейные многообразия, тогда a1 + U1 = a2 + U2 U1 = U2, a1 − a2 U1. В частности, для любого c a1 + U1 верно c + U1 = a1 + U1.

48

Доказательство. “ ” Существует u1 U1 такой, что a1 + u1 =

a2 + 0 = a2, т. е. a1 − a2 = −u1 U1. Существует u2 U2, что a1 + 0 = a1 = a2+u2, т. е. a1−a2 = u2 U2. Тогда для любого v2 U2 существует v1 U1 такой, что a1 +v1 = a2 +v2. Следовательно, v2 = (a1 −a2)+v1 U1 и U2 U1. Аналогично U1 U2 и U1 = U2.

“ ” a1+U1 = a2+(a1−a2)+U2 a2+U2 = a1+(a2−a1)+U1 a1+U1. Следовательно, a1 + U1 = a2 + U2. □

Вернёмся к неоднородным системам линейных уравнений. Рассмот-

Допустим, что система совместна, и X0 F n — какое-то её решение. Тогда X1 F n — решение (1) (X1 − X0) — решение однородной системы AX = 0. Действительно, A·(X1 − X0) = AX1 −AX0 = B−B =

0 и 0 = A · (X1 − X0) = AX1 − AX0 = AX1 − B AX1 = B.

Теорема 1. Множество решений системы линейных уравнений

(1) совпадает с линейным многообразием X0 + Vреш., где X0 — частное решение (1), Vреш. — пространство решений системы AX = 0. Наоборот, всякое линейное многообразие в F n является множеством решений некоторой системы линейных уравнений от n неизвестных.

Доказательство. Пусть Y — решение (1). Тогда (Y − X0) Vреш.

и Y X0 + Vреш. С другой стороны, для любого u Vреш. имеем: A(X0 + u) = AX0 + Au = B X0 + u — решение (1).

§26. Фактор-пространство: базис, размерность

Пусть V — векторное пространство, U — некоторое подпространство в V . Обозначим через V/U множество всех линейных многообразий типа U в пространстве V , т. е.

V/U = {x + U : x V } .

Лемма 1. Для любых x, y V либо x + U = y + U, либо (x + U) ∩ (y + U) = .

49

Доказательство. Пусть (x + U)∩(y + U) ̸= и z (x + U)∩(y + U). По лемме 1 § 25 z + U = x + U и z + U = y + U. Поэтому x + U = y + U.

□

Превратим V/U в линейное пространство над F , для любых a, b V и α F полагая

(a + U) + (b + U) = (a + b) + U, α (a + U) = αa + U.

Необходимо проверить корректность определённых операций.

Пусть a + U = a1 + U, тогда a − a1 U. Если b + U = b1 + U, то b−b1 U. Следовательно, (a+b)−(a1 +b1) = (a−a1)+(b−b1) U и по лемме 1 § 25 (a + b) + U = (a1 + b1) + U. Далее a − a1 U α(a − a1)

U αa + U = αa1 + U.

Аксиомы векторного пространства в V/U справедливы ввиду того, что они справедливы в V и операции в V/U сводятся к соответствующим операциям над элементами из V .

Теорема 1. Отображение φ : V → V/U, определённое по правилу φ(x) = x+U, является линейным отображением, т. е. φ L(V, V/U). При этом Ker φ = U, Im φ = V/U. В частности, для конечномерных пространств dim V/U = dim V −dim U. Пусть v1, . . . , vk — дополнение базиса U до базиса V . Тогда v1 + U, . . . , vk + U — базис V/U.

Доказательство. Для любых α, β F, x, y V имеем:

φ (αx + βy) = (αx + βy)+U = α (x + U)+β (y + U) = αφ (x)+βφ (y)

φ L (V, V/U). Далее для любого x Ker φ верно φ(x) = x + U = 0 + U x U. Следовательно, Ker φ = U. Докажем, что для конечномерных пространств

dim V/U = dim V − dim U.

(Заметим, что это следует из теоремы 1 § 19, но мы приведём независимое доказательство, дающее нам и базис V/U.)

Пусть a1, . . . , am — базис U. Дополним его векторами am+1, . . . , an до базиса V . Тогда am+1 + U, . . . , an + U — базис V/U. Действительно,

50