Конспект лекций по высшей математике. Учебное пособие

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ»

О.И. Павлов, О.Ю. Павлова

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Москва Российский университет дружбы народов

2017

Рецензент – кандидат физико-математических наук,

доцент кафедры экономико-математического моделирования РУДН

А.К. Керимов

Павлов, О.И.

К18 Конспект лекций по высшей математике : учебное пособие / О. И. Павлов, О. Ю. Павлова. – Москва : РУДН, 2017. – 76 с. : ил.

В пособие включены теоретический материал, задачи и тесты по базовым разделам курсов «Математика» и «Математический анализ». При составлении конспекта использованы учебник «Высшая математика для экономистов» и задачник «Высшая математика для экономистов: задачи, тесты и упражнения» В.Л. Клюшина.

Издание предназначено для студентов экономических специальностей.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Действительные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Числовые промежутки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Последовательности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12

Предел функции на бесконечности. . . . . . . . . . . . . . 12

Геометрический смысл определения . . . . . . . . . . . . . . . 13

Предел на плюс и минус бесконечности. . . . . . . 14

Предел функции в точке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Односторонние пределы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Виды неопределённостей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Способы нахождения пределов при различных неопределённостях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Непрерывность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Классификация точек разрыва . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Задачи на пределы и непрерывность . . . . . . . . . . . . . . . 23

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ . . . . . . . . 25

Задача нахождения уравнения касательной . . . . . . 25

Определение производной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Геометрический и механический смысл производной

27

Связь между дифференцированностью и непрерывностью . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Таблица производных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3

Производная сложной функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31 Производные высших порядков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Исследование функции с помощью производных

33 Монотонность и экстремумы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Необходимые и достаточные условия возрастания/убывания функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Схема исследования функции на монотонность и экстремумы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35

Выпуклость функции. Точки перегиба . . . . . . . . . . . . . 38

Схема исследования функции на выпуклость и точки перегиба. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41

Асимптоты. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44

Схема исследования функции и построения графика

47 Задачи на производную . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Первообразная . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Таблица первообразных. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54 Дифференциал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Замена переменной в неопределённом интеграле (метод подстановки) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Интегрирование по частям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Определённый интеграл. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Определение определённого интеграла . . . . . . . . . . . . 60

Основная теорема математического анализа (формула Ньютона-Лейбница) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4

Необходимые и достаточные условия существования интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Свойства определённого интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Несобственный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. . . . . . . . . . . . .72

Частные производные. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72

Частные производные сложной функции . . . . . . . . . . 73

Градиент . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Задачи на функции нескольких переменных. . . . . . .74

5

МНОЖЕСТВА, ФУНКЦИИ, ПРЕДЕЛЫ

Множества

Современная математика построена вокруг концепции множества.

Определение 1.1. Множеством называется такая совокупность объектов любой природы, что про любой объект можно однозначно сказать, принадлежит ли он этой совокупности или нет.

Таким образом, главным (а по сути и единственным) признаком множества является строгость его определения.

Объекты, составляющие множество называются элементами этого множества.

Если - элемент множества , а - не элемент множества, это обозначается символами и / . Например, если = {−1; 2; 5}, то 2 и 7 / .

Примеры множеств:

•Множество студентов вуза

•Множество автомобилей на парковке

•Множество судов на причале

•Совокупность высоких людей множеством не является, если не дано строгое определение высокого человека.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается .

6

Определение 1.2. Если каждый элемент множества содержится в множестве , то называется подмножеством, что обозначается

.

Если одновременно и , то множества исодержат одни и те же элементы, поэтому, называются равными, в этом случае пишут

= .

Действительные числа

В первую очередь нас интересуют множества, имеющие числовую природу.

Числа 1, 2, 3, . . . называются натуральными, а множе-

ство всех таких чисел множеством натуральных чисел и

обозначается .

Натуральные числа вместе с нулём и числами −1, −2, − −3, . . . образуют множество целых чисел, которое обозначается .

Отношение целого и натурального числа называется рациональным числом; множество всех рациональных чисел обозначается через . Например, рациональным является каждое натуральное число, так как оно является отношением себя к единице. Дробь −53 является рациональным числом так как −53 = −35 .

Ещё Пифагором было доказано существование чисел, не являющихся рациональными. Такие числа называются иррациональными. Например, иррациональным является

7

положительный корень уравнения 2 = 2, который обозначается √2. Это означает, что если мы отметим на числовой прямой все рациональные числа, то они заполнят не всю прямую. Останутся “дырки” (одной из которых и является √2). Множество всех таких “дырок” называется множеством иррациональных чисел и обозначается .

Вместе, множества рациональные и иррациональные чисел образуют множество действительных чисел, которое обозначается .

Таким образом, справедливы включения и:

Числовые промежутки

Геометрически множество R изображается точками на числовой прямой:

8

Между множеством R и точками числовой прямой существует взаимно однозначное соответствие: каждому элементу из R соответствует определенная точка прямой и наоборот.

Определение 1.3. Промежутком (или числовым промежутком) называется множество точек прямой, которое наряду с любыми двумя своими точками содержит и все точки, лежащие между ними.

Различают следующие промежутки:

Множество, элементы которого удовлетворяют неравенству≤ ≤ , называется отрезком и обозначается [ ; ].

Множество, элементы которого удовлетворяют неравенству< < , называется интервалом (или открытым интервалом) и обозначается ( ; ).

Множество, элементы которого удовлетворяют одному из неравенств ≤ < или < ≤ , называются полуинтервалом и обозначаются [ ; ) и ( ; ] соответственно.

Последовательности

Определение 1.4. Если каждому натуральному числу по некоторому закону поставлено в соответствие определенное число , то говорят, что задана числовая последовательность 1, 2, . . . , , . . . , которая обозначается { }.

Числа 1, 2, . . . , , . . . называются членами последовательности, а общим членом.

Примеры последовательностей:

•1, 2, 3, . . .

•12 , 23 , 34 , . . .

9

• 1, −1, 1, −1 . . .

Различные последовательности демонстрируют различный характер “накопления” своих элементов у тех или иных точек прямой.

Последовательность 1, 2, 3, . . . состоит из натуральных чисел и имеет формулу общего члена = .

Видно, что члены последовательности нe накапливаются возле какой-либо точки прямой.

Последовательность 12 , 34 , 78 , 1516 , . . . имеет формулу общего члена = 1 − 21 .

Видно, что члены последовательности накапливаются возле точки = 1.

Можно проверить справедливость следующих (равносильных) утверждений, справедливых для этой последовательности:

10