Конспект лекций по высшей математике. Учебное пособие

Производная сложной функции

Пусть задана сложная функция = ( ( )). Если = ( ) и = ( ) – дифференцируемые функции своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна производной данной функции по промежуточному аргументу, умноженной на производную самого промежуточного аргумента по независимой переменной:

′( ) = ′( ) · ′( ).

Особенно удобно записать это правило в следующих обозначениях:

= · .

Пример 2.5. Найти производную сложной функции ( ) = = sin(2 3 + 4 2 + 5).

Решение. Представление данной функции в виде компози-

{

(6 2 + 8 ) cos(2 3 + 4 2 + 5) .

31

В случае двух независимых аргументов, т.е. если ( ) = = ( ( ( ))), правило дифференцирования сложной функции имеет вид

= · · .

Пример 2.6. Найти производную сложной функции = = sin5(2 3 + 4 2 + 5).

Решение. Представление данной функции в виде компози-

= 5 sin4(2 3 + 4 2 + 5) · cos(2 3 + 4 2 + 5) · (6 2 + 8 ) .

Замечание 2.7. Вместо однократного применения правила для производной ( ( ( ))) можно дважды применить правило для производной функции ( ( )).

Задача 2.2. Найти производную сложной функции.

a. ( ) = 2sin(2 3+4 2+5).

( )

b.( ) = arctg 2sin(2 3+4 2+5) .

c.( ) = [arctg (2sin(2 3+4 2+5)) ]2017.

Производные высших порядков

32

Производная производной функции ( ) называется производной второго порядка функции ( ) и обозначается ′′( ). Например, (sin )′′ = (cos )′ = − sin . Аналогично определяются производные более высокого порядка: ′′′( ), (4)( ),(5)( ),. . .

Задача 2.3.

a. Материальная точка движется прямолинейно по закону

( ) = 13 3 − 2 + + 9. Тогда скорость точки в момемнт времени = 1 равна . . .

(Указание: скорость точки равна производной от её положения.)

b. Материальная точка движется прямолинейно по закону

( ) = 16 3 − 2 + 2 − 5. Тогда ускорение точки в момемнт времени = 2 равно . . .

(Указание: ускорение точки равно производной второго порядка от её положения.)

Исследование функции с помощью производных

Монотонность и экстремумы

Определение 2.8. Функция ( ) называется возрастающей на интервале ( ; ) если ( 1) < ( 2) для любых точек

1 < 2 ( ; ).

Функция ( ) называется убывающей на интервале ( ; ) если ( 1) > ( 2) для любых точек 1 < 2 ( ; ). Функция, являющаяся возрастающей или убывающей на интервале, называется монотонной на этом интервале.

33

Например, функция ( ) = 2 является убывающей на интервале (−∞; 0) и возрастающей на интервале (0; +∞).

Определение 2.9. Точка 0 называется точкой локального максимума функции ( ), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство

( 0) > ( ).

Точка 0 называется точкой локального минимума функции ( ), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство

( 0) 6 ( ).

Локальный максимум и минимум называются локальным экстремумом.

Экстремум называется глобальным или абсолютным, если соответсвующее неравенство выполняется не в только в окрестности точки, а на всей области определения функции.

Необходимые и достаточные условия возрастания/убывания функции

Необходимое условие экстремума.

Теорема 2.10. Пусть функция ( ) определена на интервале. Если эта функция имеет экстремум в точке 0, то её производная ′( 0) либо равна нулю, либо не существует.

Определение 2.11. Точка 0 называется критической точкой функции ( ), если6производная ′( 0) либо не суще-

34

ствует, либо равна нулю.

Таким образом, согласно необходимому условию экстремума, функция, определённая на интервале, может иметь локалный экстремум только в своей критической точке.

Если производная дифференцируемой функции положительна внутри некоторого промежутка, то функция возрастает на этом промежутке.

Если производная дифференцируемой функции отрицательна внутри некоторого промежутка, то функция убывает на этом промежутке.

Первое достаточное условие экстремума.

Теорема 2.12. Если при переходе через точку 0 производная дифференцируемой функции = ( ) меняет знак

с плюса на минус, то 0 есть точка максимума, а если с минуса на плюс, то 0 есть точка минимума.

При этом в самой точке экстремума производная ′( ) не существует или равна нулю.

Схема исследования функции на монотонность и экстремумы

1.Найти производную ′( ).

2.Найти критические точки функции ( ).

6Обратите внимание на то, что критической точкой функции ( ) является точка, в которой её производная (а не сама исходная функция) равна нулю. А вот критической точкой производной ′( ) будет точка, в которой производная второго порядка ′′( ) не существует или равна нулю.

35

3.Исследовать знак производной в каждом интервале между критическими точками и сделать вывод о монотонности и наличии локальных экстремумов функции.

4.Найти значение функции ( ) в точках локального экстремума.

При решения пункта 3 по первому достаточному условию экстремума, надо решить неравенства ′( ) > 0 и ′( ) 6 0, что можно сделать при помощи метода интервалов.

Пример 2.13. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции = 5+9 .

Решение.

1. Найдём производную.

= 5+9 = 5 = 9 = 4 + 9 · −1.

√

= 5 94 .

3.Решим неравенства ′( ) > 0, ′( ) < 0.

Найдём интервалы на которых числитель больше или меньше нуля.

36

Покажем знаки числителя и знаменателя производной на числовых прямых, расположенных одна под другой:

37

( √ )

Ответ. ( ) убывает на (−∞; 0) и 0; 5 94 , возрастает на

√

= 454 5 49 .

На следующей иллюстрации представлен график функции= 5+9 . Видно, что интервалы монотонности и экстремумы в последнем примере найдены правильно.

Выпуклость функции. Точки перегиба

38

Определение 2.14. Дифференцируемая функция ( ) называется выпуклой вниз на интервале, если её график лежит выше любой своей касательной (за исключением точки касания).

Наример, выпуклой вниз является функция = 2, а также функция = 3 на интервале (0; +∞).

Определение 2.15. Дифференцируемая функция ( ) называется выпуклой вверх на интервале, если её график лежит ниже любой своей касательной (за исключением точки касания).

39

Наример, выпуклой ввверх является функция = − 2, а также функция = 3 на интервале (−∞; 0).

Определение 2.16. Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, в которой существует касательная и которая разделяет интервалы, на которых функция выпукла вверх и вниз.

40