Конспект лекций по высшей математике. Учебное пособие
.pdf
Задача 3.4. Найти интеграл при помощи интегрирования по частям. (При решении каждого пункта укажите , , и .)
a. ∫ (6 − 6) 9 +8 |
. |
c. ∫ |
ln |
. |
25 |
b. ∫ (2 − 4) sin(2 + 6) .
Задача 3.5. Вычислить определённый интеграл:
4 |
3 |
|
|
|
−∫ |
2 |
|
2 |
. |
2 |
cos |
|||
a. (3 2 + 2 − 2) . |
b. |
|||
1 |
∫ |
( |
) |
|
|
|
|
|
Задача 3.6.
a.Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми = 2
и = − + 2.
b.Найти площадь фигуры, ограниченной отрицательной
полуосью , положительной полуосью и параболой
= 36 − 2.
c. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой = sin , осью абсцисс и вертикальными прямыми = −2 и = 2 .
Задача 3.7. Найти несобственный интеграл. Если это возможно, запишите ответ в виде простой дроби, например в виде 7·167 .
+∞ |
|
+∞ |
|
+∞ |
|
||||
a. ∫4 |
3 . |
b. ∫3 |
√ |
. |
c. ∫1 |
|
. |
||
( +2)6 |
|||||||||
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
71
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Если каждому набору значений переменных величин1, 2, . . . , из некоторого множества поставлено в соответствие определенное значение величины , то гово-
рят, что задана функция нескольких переменных = = ( 1, 2, . . . , ). Например, объём пирамиды, основанием которой является прямоугольник со сторонами 1, 2 и высотой 3 равен 13 1 2 3, что является функцией переменных
1, 2 и 3.
Переменные 1, 2, . . . , называются независимыми переменными, а зависимой переменной. Множество называется областью определения функции.
Частные производные
Определение 4.1. Частной производной функции ( , ) по переменной в точке ( 0; 0) называется предел
lim |
( 0 + ; 0) − ( 0; 0) |
|
|
||
→0 |
(при условии, что этот предел существует). То есть, это обычная производная функции ( ), где ( ) = ( , 0), а0 является константой.
Частная производная функции = ( , ) по переменнойв точке ( 0, 0) обозначается ′ ( 0, 0) или ′ ( 0, 0), или
∂ . Аналогично определяется частная производная по
∂ |( 0, 0)
переменной и т.д.
Пример 4.2. Найти ′ и ′ , если = 4 5 + cos .
Решение. ′ = 4 · ( 5)′ + ( )′ · cos = 4 · 5 · 4 + 1 · cos = = 20 4 + cos .
72
′ = (4 5)′ + · (cos )′ = 0 + · (− sin ) = − sin .
Так как частная производная по переменной является обычной производной, если другие переменные считать константами, то все правила для обычных производных применимы и для частных производных.
Частные производные сложной функции
Если сложная функция = ( ( , )) представлена в виде композиции простых функций = ( ) и = ( , ), то
′ = ′( ) · ′
и
′ = ′( ) · ′ .
Пример 4.3. Найти ′ и ′ , если = √5 4 − 7 .
Решение. Разложение функции имеет вид |
( , )=5 4−7 |
, |
||||
( )=√ |
|
|
||||
|
||||||
( , ) = ( ( , )) |
. (Обратите внимание на |
то, что внешняя |
||||
|
|
{ |
|
|||
функция является функцией только одной переменной.) Да- |
|||||||||||||||||||||||||
лее, |
′ = ′( ) |
· |
′ = (√ |
|
)′ |
· |
(5 4 |
− |
7 )′ = |
1 |
|
|
· |
(20 3 |
− |
7 ) = |
|||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2√ |
|
|
||||||||||||
|
20 3−7 |
|
|
20 3−7 |
|
. Аналогично находится частная про- |
|||||||||||||||||||
= |
|
2√ |
|
|
= |
2√ |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
5 4−7 |
||||||||||||||||||||||
изводная по |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Градиент
Определение 4.4. Градиентом функции ( , ) в точке ( ; ) называется вектор
( ′ ; ′ ),
73
который обозначается или . Аналогично определяется градиент фунцкии более чем двух переменных.
Пример 4.5. Найти градиент функции = 4 3 +4 −2 и найти его модуль в точке = (1; 2; 0).
Решение. = (12 2 + 4 − 2 ; 4 − 2 ; −2 ), градиент в точке = (1; 2; 0) равен (подставляем координаты точки в общее выражение для градиента) ( ) =
= (20; 4; −4), модуль градиента в точке равен | ( )| =
√
= √202 + 42 + (−4)2 = 432.
Задачи на функции нескольких переменных
Задача 4.1. Дана функция = −4 3 − 2 − 3 .
a.Найти все частные производные первого порядка функции, а также найти11 ∂∂2 2 и ∂∂2∂ .
b.Записать полный дифференциал12функции .
|
|
∂ |
обозначает ∂ |
(∂ ) (т.е. частную∂2 |
(4 3+4 |
|
2 ) |
по |
|||
|
11Здесь∂2 2 |
|
|
∂ |
∂ |
производную |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
от |
частной |
производной |
по ). Например, |
|
|
− |
|
= |
|||
|
∂ 2 |
|
|
||||||||
= ∂ |
12 2 + 4 − 2 = 24 . |
|
|
|
|
|
|
||||
∂ ∂ (обозначает |
) |
|
|
|
|
|
|
||||
|
∂2 |
|
|
частную производную по от частной переменной |
|||||||
|
|
|
|
||||||||
по . (Обратите внимание на то, что сначала берётся производная по
, т.е. по переменной, которая в обозначении |
∂2 |
|
стоит правее, т.е., |
|||||||
∂ ∂ |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂2(4 3+4 −2 ) |
|
||
как бы ближе к символу функции .) Например, |
|
= |
||||||||
|
∂ ∂ |
|||||||||
= ∂ ( |
( |
∂ − |
|
) ) = ∂ (−2 ) = −2 . |
|
|
|
|||
|
∂ |
4 3+4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
12Полным дифференциалом функции трёх переменных ( , , ), обозначаемым , называется выражение ′ + ′ + ′ . Например,
(4 3 + 4 − 2 ) = (12 2 + 4 − 2 ) + (4 − 2 ) − 2 .
74
c. Найти градиент функции и найти его модуль в точке
= (1; 2; 0).
Задача 4.2. Найти ′ и ′ для = ln (4 − 4 2).
Задача 4.3.
a. Частная производная ∂∂ функции = sin(2 − 6 ) имеет вид . . .
cos(2 − 6 ) |
|
|
−6 cos(2 − 6 ) |
|
|
6 sin(2 − 6 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 sin(2 − 6 ) |
|
|
− sin(2 − 6 ) |
|
|
2 cos(2 − 6 ) |
|
(Указание: использовать правило дифференцирования сложной функции.)
b. Частная производная второго порядка ∂∂22 функции = = 7 2 3 + 6 3 − 6 имеет вид . . .
|
42 2 |
|
|
|
|
|
14 3 + 18 2 |
|
|
|
21 2 2 |
|
|
|
|
14 3 + 36 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂2 |
|
|
|
|
|
∂ |
( |
∂ |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Указание: здесь |
∂ 2 обозначает |
|
|
|
∂ |
(т.е. частную про- |
|||||||||||||||||||||||
∂ |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
∂2(−4 3+2 −5) |
|
∂ |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
изводную по |
от частной производной по ). Например, |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= (−12 + 2 ) = −24 .) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
∂ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
c. Частная производная второго порядка |
∂2 |
функции = |
||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
= ln (2 + 8 ) имеет вид . . . |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
64 |
|
|
||
|
− |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|||||||||
|
(2 +8 )2 |
|
(2 +8 )2 |
|
|
(2 +8 )2 |
|
|
|
|
(2 +8 )2 |
||||||||||||||||||
(Указание: Например, для нахождения |
|
|
∂ 2 |
|
, снача- |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ ln(2 +5 ) |
|
|
|
|
||
ла надо найти частную производную первого порядка ∂∂ , используя правило дифференцирования сложной функции
{
сразложением ( , )=2 +5 , ( , ) = ( ( , )). Получим
( )=ln
75
∂∂ = 2 +55 . Эта частная производная снова дифференцируется по по правилу дифференцирования сложной функ-
{
ции13 с разложением ( , )=2 +5 , ( , ) = ( ( , )), отку-
( )= 2 =2 −1
да |
|
∂ 2 |
= −(2 +5 )2 |
.) |
||
|
|
∂ ln(2 +5 ) |
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13Или можно использовать правило дифференцирования частного.
76