Конспект лекций по высшей математике. Учебное пособие

-ый прямоугольник ограничен вертикальными прямыми= −1, = , осью и горизонтальной прямой = ( ). Если ( ) > 0, то площадь -го прямоугольника равна

( ) .

Суммарная площадь прямоугольников равна сумме

которая называется интегральной и обозначается .

Фигура, ограниченная вертикальными прямыми = , = = , осью и кривой = ( ) называется криволинейной трапецией. Каждый из полученных маленьких прямоугольников частично находится внутри криволинейной трапеции и частично выступает зa неё. Чем меньше ширина -го прямоугольника (равная ), тем меньше его площадь отличается от площади соответствующего кусочка криволинейной трапеции. Чем меньше все , тем меньше суммарная площадь

61

прямоугольников (равная интегральной сумме) отличается от площади криволинейной трапеции.

В пределе, интегральная сумма равна :

Определение 3.8. Предел интегральных сумм

называется определённым интегралом Римана функции ( ) (при условии, что этот предел существует) и обозначается

∫

( ) .

Если интеграл ∫ ( ) существует, то функция = ( )

называется интегрируемой на отрезке [ ; ], а числа и называются нижним и верхним пределами интегрирования соответственно.

Основная теорема математического анализа (формула Ньютона-Лейбница)

62

Теорема (формула Ньютона-Лейбница) 3.10. Если функция ( ) непрерывна на отрезке [ ; ] и ( ) любая первообразная этой функции на [ ; ], то определенный интеграл от функции ( ) на [ ; ] равен приращению первообразной на этом отрезке:

−16 − 4 + 10) = 92 − (−10) = 102.

Формула Ньютона-Лейбница раскрывает связь между определённым интегралом и первообразной и объясняет почему определённый интеграл называется “интегралом”. Она выводится из следующей теоремы (которая иногда тоже называется основной теоремой математического анализа).

Теорема 3.12. Если функция ( ) непрерывна на отрезке

[ ; ], то функция ( ) = ∫ ( ) (являющаяся функцией

верхнего предела ) дифференцируема на интервале ( ; ), причём ′( ) = ( ).

Другими словами,

63

( ) = ( ).

Необходимые и достаточные условия существования интеграла

Достаточные условия существования интеграла

Теорема 3.13. Если функция ( ) непрерывна на отрезке [ ; ], то она интегрируема на этом отрезке.

Теорема. Если функция ( ) ограничена на отрезке [ ; ] и имеет на нём лишь конечное число точек разрыва, то она интегрируема на этом отрезке.

Теорема 3.14. Монотонная на отрезке функция интегрируема на этом отрезке.

Ограниченность интегрируемой функции

(необходимое условие существования определённого интеграла)

Теорема 3.15. Если функция ( ) интегрируема на отрезке [ ; ], то она ограничена на [ ; ].

Доказательство. Предположим, что функция ( ) неограничена на [ ; ]. Тогда она неограничена на хотя бы одном частичном отрезке [ −1, ]. В этом случае можно выбрать точку со сколь угодно большим значением ( ), за счёт чего сделать произведение ( ) , а вместе с ним и всю интегральную сумму, сколь угодно большими. Тогда даже при max → 0 интегральные суммы не будут иметь предела. Это противоречит предположению об интегрируемости

( ).

64

Свойства определённого интеграла

∫

0.= ( − )

1. ∫ ( ) = 0.

Определённый интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю.

2. При перестановке верхнего и нижнего пределов интегрирования интеграл меняет знак на противоположный.

20

3.Постоянный множитель можно вынести за знак определённого интеграла.

Например, ∫ 5 = 5 ∫ .

4. Определенный интеграл от алгебраической суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) интегралов от этих функций.

∫ ∫ ∫ .

( ( ) ± ( )) = ( ) ± ( )

65

5. Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов по каждому из участков разбиения.

6. Если < и ( ) < ( ) на [ ; ], то

∫ ∫ .

( ) 6 ( )

7. Если < и 6 ( ) 6 на [ ; ], то

( − ) 6 ∫ ( ) 6 ( − ).

Пример. 0 6 sin 6 1 на [0; ], поэтому

0( − 0) 6 ∫ sin 6 1( − 0).

0

0 6 ∫ sin 6 .

0

8. Теорема о среднем.

Определение. Средним значением функции ( ) на отрезке [ ; ] называется число

Теорема (о среднем). Если < и функция ( ) непрерывна на [ ; ], то среднее значение ( ) достигается в некоторой точке [ ; ], т.е.

66

( ) = .

Интеграл и площади.

9. Если ( ) > 0 на [ ; ], то площадь криволинейной трапеции, ограниченной вертикальными прямыми = , = , осью и кривой = ( ), равна

∫

= ( ) .

Если ( ) 6 0 на [ ; ], то площадь криволинейной трапеции равна

10. Пусть функция ( ) непрерывна на [ ; ], и этот отрезок можно разбить на несколько интервалов, таких что на каждом из них ( ) знакопостоянна или равна 0.

Тогда общая площадь области между кривой и осью будет равна сумме площадей, соответствующих отрезкам разбиения, каждая из которых равна либо плюс, либо минус интегралу ( ) по данному отрезку разбиения.

11. Пусть на [ ; ] заданы непрерывные функции ( ), ( ), причём ( ) > ( ). Тогда площадь фигуры, заключенной между кривыми = ( ), = ( ) на [ ; ], находится по формуле10:

10Из “большей” функции вычитается “меньшая”.

67

∫

= ( ( ) − ( )) .

12. Если ( ) –– чётная функция, то

Если ( ) –– нечётная функция, то

∫

( ) = 0.

−

13. Пусть кривая задана уравнением = ( ) и производная′( ) непрерывна на [ ; ]. Тогда длина этой кривой равна

∫

√

= 1 + ( ′( ))2 .

Несобственный интеграл

Определение 3.16. Несобственным интегралом первого рода называется предел

68

Если предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае расходящимся. Если несобственный интеграл сходится, то функция ( ) называется интегрируемой на [ ; +∞).

Пример 3.17. Найти несобственный интеграл.

69

Ответ. Интеграл расходится.

Определение 3.18.

где произвольная точка числовой прямой. (Значение интеграла не зависит от выбора .)

Задачи на интегральное исчисление

Задача 3.3. Найти интеграл при помощи замены переменной. (При решении каждого пункта укажите и .)

70