Конспект лекций по высшей математике. Учебное пособие
.pdf
Достаточное условие выпуклости вверх/вниз.
Теорема 2.17. Если ′′( ) > 0 на интервале ( ; ), то функция выпукла вниз на этом интервале.
Если ′′( ) < 0 на интервале ( ; ), то функция выпукла вверх на этом интервале.
Достаточное условие существования перегиба.
Теорема 2.18. Если вторая производная дифференцируемой функции в точке 0 меняет свой знак, то 0 точка перегиба ее графика.
Схема исследования функции на выпуклость и точки перегиба
1.Найти производную второго порядка ′′( ).
2.Найти точки, в которых производная второго порядка равна нулю или не существует.
41
3.Исследовать знак второй производной на интервалах между найденными критическими точками и сделать вывод об интервалах выпуклости и точках перегиба.
4.Найти значения функции в точках перегиба.
Пример 2.19. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба функции = 5+9 .
Решение.
1. Найдём производную второго порядка.
= 5+9 = 5 = 9 = 4 + 9 · −1.
′ = ( 4 + 9 · −1) = 4 3 + 9 · (−1) −2 = 4 3 − 9 −2.
′′ = (4 3 − 9 −2)′ = 12 2 + −9 · (−2) −3 = 12 2 + 18 −3 =
= 12 |
2 |
+ |
18 |
= |
12 5+18 |
= |
12( 5+3/2) |
. |
|
|
3 |
3 |
|
3 |
|||||
2. Найдём критические точки производной ′( ).
′′ = 0, |
|
|
|
|
|
|
′′ не существует, |
|||
12 5 + 3 |
= 0, |
|
|
|
3 = 0, |
|||||
( 2 |
2 |
), |
|
|
|
|
= 0 . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 + 3 = 0 |
|
|
|
|
|
|
||||
5 = −23 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5 |
|
3 |
= |
5 |
3 |
|
. |
|
|
|
= √− |
2 |
−√ |
2 |
|
|
|
||||
3. Решим неравенства ′′( ) > 0, ′′( ) < 0.
Найдём интервалы на которых числитель больше или меньше нуля.
12 |
5 + |
3 |
|
> 0, |
Аналогично, 12 |
5 |
+ 3 |
< 0, если |
||
( |
2 |
2 |
), |
< |
2 . |
( |
2 |
) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5 + 3 > 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
5 |
3 |
|
|
|
|
||||
5 > −23 , |
|
|
−√ |
|
|
|
|
|
||
> −√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
5 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
42
Покажем знаки числителя и знаменателя производной на числовых прямых, расположенных одна под другой:
4. Найдём значение функции в точке перегиба. |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
√5 |
|
5+9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
− |
3 |
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
(−√ |
2 ) |
= |
(− |
|
) |
= |
|
|
|
= |
|
|
|
= |
− 2 |
√ |
3 |
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
5 |
3 |
|
− |
5 |
|
3 |
− |
5 |
3 |
|||||||||||||||
|
|
|
−√2 |
|
√ |
2 |
|
√ |
2 |
|
|
|
|||||||||||||
|
5 |
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
+9 |
|
|
2 |
|
|
15 |
5 |
2 |
|
|
|
5 |
3 |
|
−∞ |
|
−√ |
|
|
5 |
3 |
15 |
5 |
2 |
|
|
Ответ. ( ) выпукла вниз на ( |
|
; |
5 |
23 ) и |
(0; +∞), выпук- |
|||||||||
ла вверх на (−√ |
|
; 0). Точка перегиба. (−√ |
|
|
|
√ |
|
). |
||||||
2 |
2 |
; − 2 |
3 |
|||||||||||
43
Асимптоты
Определение 2.20. Прямая называется асимптотой графика функции ( ), если при неограниченном удалении точки графика от начала координат, расстояние от точкидо прямой стремится к нулю.
Теорема 2.21. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1. Если |
|
lim ( ) = |
∞ или |
|
lim |
0 |
= |
∞, то прямая |
= |
|||
→ |
+0 |
|
|
− |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
||
является вертикальной асимптотой кривой7 ( ). |
|
|||||||||||
2. Если |
|
lim |
( ) = или |
|
lim |
|
= , то прямая = |
|||||
|
→+∞ |
|
|
→−∞ |
|
|
|
|||||
является горизонтальной асимптотой кривой ( ).
44
3. Если существуют пределы = lim ( )
→+∞
и =
= |
→+∞ |
( |
) − |
|
или пределы |
|
= |
→−∞ |
|
|
= |
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= |
lim |
( ) − , |
то то прямая |
= + является |
||||||||
→−∞
наклонной асимптотой кривой ( ).
Замечание 2.22. Для дробно-рацинальной функции в каждом пункте достаточно найти лишь один из двух односторонних пределов (или можно найти двусторонний предел).
Пример 2.23. Найти асимптоты графика функции =
= −5 2+4 +2 . 4 −3
Решение.
1. Нули знаменателя: 4 − 3 = 0, откуда = 34 .
lim |
− |
5 2+4 +2 |
= |
|
|
lim |
|
− |
5 2+4 +2 |
= |
lim |
|
−5(43 )2+4·43 +2 |
= |
|||||||||||||||||||
4 −3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
→43 +0 |
|
|
|
|
|
→43 +0 |
|
4( −4 ) |
|
|
|
→43 +0 |
|
|
|
4(+0) |
|
|
|
|
|
||||||||||||
= |
35/16 |
= +∞. Следовательно, ВА |
|
= 43 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
(Так как вертикальная асимптота в т. = |
3 |
уже найдена, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
нет необходимости находить предел |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
lim ( ).) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→43 −0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ |
|
|
] |
|
|
|
|
|
>2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
2 |
|
|
|
|||
2. lim ( ) = lim − |
5 2+4 +2 |
= |
∞ |
= lim |
|
|
(−5+ + |
2 |
) |
= |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
0 |
|
2 |
|
0 |
|
4 |
− |
3 |
|
|
|
∞ |
|
|
→∞ |
|
(4− ) |
|
|
|
|
||||||
|
→∞ |
|
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
5+ + |
72 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= lim = |
− |
|
0 |
|
|
|
|
= |
∞ = |
∞ |
. |
Нет ГА |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
→∞ |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
4− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7Или, можно сказать, графика функции = ( ).
45
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2+4 +2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3. |
= |
lim |
|
|
( ) |
= |
|
lim |
(−5 4 −3 |
|
) |
|
|
= |
|
|
|
lim |
−5 2+4 +2 |
· |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
→∞ |
[∞] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→∞ |
|
4 −3 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
2 |
|
|
|
|
|||
1 |
|
= |
|
|
|
|
|
− |
5 2+4 +2 |
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
(−5+ + |
2 |
) |
|
= |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
→∞ |
|
|
4 |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→∞ |
|
|
|
2(4− ) |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
lim |
|
2 |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
−5+ + 2 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= lim |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
= |
|
− |
4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
→∞ |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
4− |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
→∞ |
( |
|
|
|
−5 2+4 +2 |
|
5 ) |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
→∞5 2+4 +2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
lim |
− |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
−5 2 |
+4 +2 |
− |
( |
5 |
|
|
) |
= |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
− |
|
|
|
|
+ |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
= |
|
lim ( ) − |
|
|
= |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
4 3 |
|
|
|
|
−4 |
|
= |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
( (5 2+4 +2) 4+5 (4 )3) |
|
|
|
|
|
|
→∞ ( |
|
2 |
4 −3 |
|
|
2 |
|
) |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
→∞ |
|
|
|
4 −3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
= |
|
lim |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
· |
|
· |
|
− |
|
= |
|
|
lim |
|
−20 +16 +8+20 −15 |
= |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4 −3)·4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→∞ |
|
|
|
|
|
(4 −3)·4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
+8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1+ |
|
8 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ |
8 |
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||
= |
lim |
|
|
= |
∞ |
= |
lim |
|
|
|
|
|
|
= |
lim |
|
|
|
|
0= |
. НА |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
− |
|
|
− |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
→∞ |
|
16 |
12 |
|
|
|
|
[ |
∞] |
|
|
→∞ |
(16 |
) |
|
|
|
→∞ |
|
|
16− 7 |
|
16 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
= −54 + 161 .
Ответ. ВА = 34 , нет ГА, НА = −54 + 161 .
Задача 2.4. Найти асимптоты графика функции =
= 2 2−5 +2 . −5 +4
Решение.
1. Нули знаменателя:
= 0, = 
.
lim ( ) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
→ |
|
Вывод: (зачеркнуть ненужное) ВА = |
или нет ВА . |
2. lim ( ) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
→
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Вывод: (зачеркнуть ненужное) ГА = 
или нет ГА . 46
3. = |
lim |
( ) |
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
||
|
|
||||
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
= lim ( ) − = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
→ |
|
|
|
||
Вывод: (зачеркнуть ненужное) НА |
|
|
|
или |
|
= |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нет НА |
. |
|
|
|
|
Ответ: |
|
|
|
||
Схема исследования функции и построения графика
1.Найти область определения функции.
2.Найти точки разрыва функции.
3.Определить интервалы возрастания и убывания функции.
4.Найти максимумы и минимумы.
5.Определить направление выпуклости графика функции и найти точки перегиба.
6.Найти асимптоты.
7.Найти точки пересечения графика с осями координат и некоторые дополнительные точки, уточняющие график.
Замечание 2.24. Возможен другой порядок выполнения указанных пунктов.
47
К п. 5 можно добавить нахождение уравнений касательных в точках перегиба.
Сразу после п. 1 можно исследовать функцию на чётность и периодичность.
Задача 2.5. Исследовать функцию по схеме, приведённой выше.
a.= 3+7 .
b.= 6+65 .
Ответы:
a.1. ̸= 0 или (−∞; 0) (0; +∞).
2.Разрыв второго рода в т. = 0.
|
3, 4. Функция |
|
3 |
|
|
7 |
|
возрастает на |
( √ |
2 |
|
|
|
∞), |
|
3 |
7 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
3+7 |
|
|
|
|
3 |
|
7 |
; + |
|
убыва- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
ет |
3 |
7 |
−∞ |
21 |
3и2( |
|
√ |
|
|
). Локальный минимум в т. |
|
|
√ |
|
|
||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
2 , |
||||||||||||||||||||||||||
|
на |
( |
|
; 0) |
|
|
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
||
( √ |
|
) = 2 |
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
7 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√3 |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
и (0; +∞), вы- |
|||||||||||||||||
|
5. |
Функция выпукла вниз на |
−∞; − |
|
|||||||||||||||||||||||||||
пукла вверх на |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, точка |
( |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
√3 |
7; 0 |
|
|
перегиба |
|
|
|
√3 |
7; 0 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
6. |
ВА |
|
, (нет− ГА,)нет НА. |
|
|
(− |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
7.Пересечение с осью абсцисс в т. (−√3 7; 0) b. 1. ̸= 0 или (−∞; 0) (0; +∞).= 0
|
|
2. Разрыв второго рода в т. = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√6 |
|
) |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
3, 4. Функция = |
6+6 |
возрастает на |
|
|
30 |
и |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
5 |
|
|
−∞; − |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
√6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0; √6 |
|
( . |
|
|
|
||||||
|
30; |
+ |
, убывает на |
|
|
|
|
|
30; |
0 |
|
|
и |
|
|
30 |
|
Локальный |
||||||||||||||||||||
( |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|||
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
√6 |
|
|
|
|
− |
|
√6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
максимум в т. |
|
= |
|
|
30, |
|
|
(30 |
30 |
|
|
= |
|
|
|
|
√ |
|
|
, локальный |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24300000 |
||||||||||||||||||||||||||||
минимум в т. |
|
= |
30, |
|
|
|
= )√24300000 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
− |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
√6 |
|
|
( |
√6 |
|
|
|
) |
|
|
|
36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
5. Функция выпукла |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
; 0), выпукла вниз на |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вверх на ( |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
(0; +∞), нет точек перегиба.
6. ВА = 0, нет ГА, НА = .
48
7. Нет точек пересечения с координатными осями.
Задачи на производную
Задача 2.6.
a. Производная функции = (−9 2 + 8 + 5)tg равна . . .
Продифференцируем левую и правую части исходного выражения, предварительно прологарифмировав его:
( ) = ( 9 2 |
|
+ 5)tg |
, |
|
|
|||
|
− |
+ 8 |
|
2 |
|
tg |
), |
|
ln( ( )) = ln ((−9 |
|
+ 8 +2 |
5) |
|||||
ln( ( )) = |
tg · ln (−9 |
+ 8 + 5) (используя свойство |
||||||
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
ln |
= ln ). |
|
|
|
|
|
|
|
Правая часть совпадает с показателем степени из первого решения; её производная находится с использованием правила дифференцирования произведения и сложной функции
и равна |
ln(−9 2+8 +5) |
+ |
|
−18 +8 |
· tg . Производная левой |
cos2 |
−9 2+8 +5 |
||||
части находится по правилу дифференцирования сложной
функции (обозначим логарифм игрека буквой , тогда деком-
|
|
|
|
|
|
|
|
( )= ( ) |
, |
( ) = ( ( )) |
производная |
||||||||||||
позиция примет вид { ( )=ln |
|
′ |
|
|
1 |
, а |
|
′( ) |
|
||||||||||||||
равна ′( ) = ′( ) · ′( ) = (ln ) |
|
· ′( ) = |
|
· ′( ) = |
|
|
|
). |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Получаем равенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
′( ) |
|
|
ln(−9 2+8 +5) |
|
−18 +8 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
= |
|
|
|
cos2 |
|
|
+ |
−9 2+8 +5 |
· tg . Умножим |
обе |
|||||||||||
части на |
|
|
(чтобы |
избавиться от знаменателя в ле- |
|||||||||||||||||||
вой |
части) |
и получим ответ: ′( ) = |
|
( |
9 2 + |
8 + |
|||||||||||||||||
|
|
ln( |
9 2+8 +5) |
|
|
18 +8 |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|||||||
+ 5)tg [ |
|
|
− |
|
+ |
−9−2+8 +5 |
· tg ]. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
cos2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Замечание. Метод дифференцирования, при котором сначала находится логарифм функции, а затем вычисляется производная от него, называется логарифмическим диффе-
ренцированием.
49
b. Производная функции = (−3 2 + 3 + 3)cos равна . . .
|
− |
|
|
(−3 2 |
+3 +3 |
|
|
|
|
(− |
|
|
|
) |
) |
|
|
( |
|
3 2 |
+ 3 + 3)cos |
|
−6 +3 |
cos + ln |
|
3 2 |
+ 3 + 3 |
sin |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
− |
|
|
(−3 2+3 +3 |
|
|
|
cos2 |
|
) |
|
|
|||||
( |
|
3 2 + 3 + 3)cos |
|
−6 +3 |
+ |
ln(−3 2+3 +3) |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
(−3 2 |
+3 +3 |
|
|
|
|
(− |
|
|
|
) |
) |
|
|
( |
|
3 2 |
+ 3 + 3)cos |
|
−6 +3 |
sin + ln |
|
3 2 |
+ 3 + 3 |
cos |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
− |
|
|
(−3 2+3 +3 |
− |
|
|
cos2 |
|
) |
|
|
|||||
( |
|
3 2 + 3 + 3)cos |
|
−6 +3 |
|
ln(−3 2+3 +3) |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
(−3 2 |
+3 +3 |
|
|
− |
|
(− |
|
|
|
) |
) |
|
|
( |
|
3 2 |
+ 3 + 3)cos |
|
−6 +3 |
sin |
|
ln |
|
3 2 |
+ 3 + 3 |
cos |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
(−3 2 |
+3 +3 |
|
|
− |
|
(− |
|
|
|
) |
) |
|
|
( |
|
3 2 |
+ 3 + 3)cos |
|
−6 +3 |
cos |
|
ln |
|
3 2 |
+ 3 + 3 |
sin |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Производная функции, заданной параметрически
|
sin |
|
70 |
|
|
|
|
sin |
|
70 |
|
|
|
|
|
{ |
=cos −614 |
равна . . . |
||||||||||||||
|
Задача 2.7. |
Производная функции |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=cos −5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
− |
− |
|
13 |
|
|
|
− |
|
− |
|
13 |
|
|
|
− |
sin |
− |
|
13 |
|
|
|
− |
sin |
− |
13 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|||||
|
−sin −6 |
|
|
|
−sin −6 |
|
|
|
−sin −70 |
|
|
|
|
|
|
−sin −70 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
{ =4 sin −3 5 |
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
2 +7 ln |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
(Указание: если |
|
= ( ) , то ′( ) = |
|
′( ) |
|
. Например, произ- |
||||||||||||||||||||||||||
|
водная функции { |
= ( ) |
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
= 2+7 |
, то ′( ) = |
|
|
|
.) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
4 cos −15 4 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Производная неявной функции
Задача 2.8.
a. Производная неявной функции 3 5 −2 8 + 4 3 = 0 равна
. . .
Решение.
Правило нахождения производной неявной функции ( , ) = 0
1.В функции везде заменить на ( ) (для того, чтобы подчеркнуть, что является функцией ).
50