Конспект лекций по высшей математике. Учебное пособие

Для любого положительного расстояния , лишь конечное число элементов последовательности не лежит на расстоянии меньше, чем от точки

= 1.

Начиная с некоторого индекса , все лежат на расстоянии меньше чем от точки = 1.

Существует такой номер1 , что при всех > > , все лежат на расстоянии меньше чем от точки = 1.

Существует такой номер , что при всех > ,

| − 1| < .

Это приводит нас к формальному определению предела последовательности.

Определение 1.5. Число называется пределом последовательности { }, если для любого (сколь угодно малого) числа > 0 существует такой номер2 , что при всех > выполняется неравенство

| − | < .

Обозначение предела последовательности: lim = .

→∞

Пример 1.6.

a. lim 1 = 0.

→∞ 2

b. lim (3 − 1 ) = 3.

→∞ 2

1Номер зависит от , поэтому его можно обозначить ( ). 2Который зависит от , поэтому его можно обозначить ( ).

11

c. lim = 1.

→∞ +1

d. lim 2 = +∞.

→∞

Функции

Определение 1.7. Если каждому элементу множествапо определённому правилу ставится в соответствие определенный элемент множества , то говорят, что задана функция из множества в множество .

При этом называется областью определения функции

.

В первую очередь мы будем использовать аналитический способ задания функции, т.е. способ задания функции при помощи формулы.

Предел функции на бесконечности

Определение 1.8. Число называется пределом функции= ( ), при стремящемся к бесконечности, если для любого (сколь угодно малого) числа > 0 найдется такое положительное число , что при всех | | > , выполняется неравенство

12

| ( ) − | <

Другими словами, при достаточно больших значениях , значения функции сколь угодно мало отличаются от .

Наличие предела обозначается следующим образом:

lim ( ) = или ( ) → при → ∞.

→∞

Геометрический смысл определения

Неравенство | ( ) − | < равносильно двойному неравенству

− < ( ) < + ,

что соответствует, при | | > , расположению графика функции ( ) в полосе шириной 2 (эта полоса расположена симметрично относительно горизонтальной прямой = ).

Например, lim 4 2+10 sin = 4, и это значит, что при доста-

→∞ 2+1

точно больших по модулю значениях , график функции

4 2+10 sin лежит в сколь угодно узкой полосе, симметричной

2+1

относительно горизонтальной прямой = 4:

13

График функции = 4 2+10 sin .

2+1

Предел на плюс и минус бесконечности

Рассмотренное определение предела при стремящемся к бесконечности предполагает неограниченное возрастаниепо абсолютной величине; знак при этом может быть

14

любым. Можно сформулировать понятие предела при стремлении к бесконечности определённого знака, т.е. отдельно при → +∞ и при → −∞.

Теорема 1.9. Двусторонний предел lim ( ) существует

→∞

и равен если и только если оба предела lim ( ) и

→+∞

lim ( ) существуют и равны .

→−∞

Предел функции в точке

Пусть функция = ( ) определена в точках, сколь угодно близких к точке .

Определение 1.10. Число называется пределом функции= ( ), при стремящемся к , если для любого (сколь угодно малого) числа > 0 найдется такое положительное число > 0, что при всех ̸= таких, что | − | < , выполняется

| ( ) − | < .

Другими словами, при значениях , достаточно близких к , значения функции сколь угодно мало отличаются от .

→

Замечание 1.11. В определении предела lim ( ), прини-

→

мает значения сколь угодно близкие к , но не совпадающие с . Для существования предела, ( ) не обязана быть определённой в точке = . Даже если ( ) определена в т.

15

= , значение предела lim ( ) не обязано совпадать со значением функции ( ). →

Односторонние пределы

Если в определении предела ограничить значения величинами большими, чем , то получится определение предела

функции справа, который обозначается lim ( ).

→ +0

Аналогично, если ограничить значения величинами меньшими, чем , то получится определение предела функции

слева, который обозначается lim ( ).

→ −0

Теорема 1.12. Двусторонний предел lim ( ) существу-

→

ет и равен если и только если оба предела lim ( ) и

→ +0

lim ( ) существуют и равны .

→ −0

Виды неопределённостей

К неопределённостям относятся выражения ∞ − ∞, ∞∞, 00 , 00, 1∞, ∞0, 0 × ∞.

Неопределённости называются так, потому что по их виду невозможно судить о том, существуют или нет искомые пределы, не говоря уже о нахождении их значений, если они существуют. Для нахождения предела от неопределённости необходимо избавиться.

Способы нахождения пределов при различных неопределённостях

16

Если ( ) и ( ) многочлены, то в случае неопределён-

ности 00 в пределе lim (( )) , необходимо и в числителе, и

→

в знаменателе вынести за скобки и сократить − или степень − .

Для нахождения пределов такого типа может быть полезным использовать следующую теорему:

Теорема 1.13. Если 1, 2 корни квадратного трехчлена 2 + + , то он может быть разложен на линейные множители следующим образом:

Если ( ) и ( ) многочлены, то в случае неопределён-

в знаменателе вынести за скобки наибольшую степень .

3к числителю применили теорему 1.13, а знаменатель разложили по формуле 3 + 3 = ( + )( 2 − + 2).

17

Пример 1.15. Найти пределы

a. lim −5 2+4 +2 .

→∞ 4 −3

00

Первый замечательный предел

lim sin = 1 .

→0

Мы будем использовать следующую более общую форму этого предела:

lim sin = 1 ,

→0

где ̸= 0. Обе формы предела являются неопределённостью

00 .

Правила для сведения задачи к первому замечательному пределу:

(1) Если предел содержит sin , умножить и разделить sin на .

18

(2)Если предел содержит tg( ), представить tg( ) в виде cos(sin( )) , потом применить правило (1).

(3)lim cos = 1.

→0

Заменой 1 = получаем другую форму этого предела:

1

lim(1 + ) = .

→0

Оба предела являются неопределённостью 1∞. Мы будем использовать следующую более общую форму первого из этих пределов:

lim (1 + ) = ,

→∞

где ̸= 0.

Пример 1.17. Найти предел lim (1 − 2 )4 .

→∞ 3

19

4

−2/3

Непрерывность

Определение 1.18. Функция ( ) называется непрерывной

в точке 0 если lim ( ) = ( 0).

→ 0

Данное равенство равносильно выполнению трёх условий:

1.Функция ( ) определена в точке 0.

2.Существует конечный предел lim ( ).

→ 0

3. lim ( ) = ( 0).

→ 0

Неформально, функция ( ) непрерывна в точке 0, если близкому к 0 значению соответствует близкое значение функции ( ).

Свойства функций, непрерывных в точке.

(a)Пусть функции ( ) и ( ) непрерывны в точке 0. Тогда сумма, разность, произведение и частное (в случае, если знаменатель не обращается в ноль) функций ( ) и ( ) является функцией, непрерывной в 0.

(b)Если функция ( ) непрерывна в точке 0, a ( ) в точке ( 0), то композиция ( ( )) непрерывна в 0.

20