Конспект лекций по высшей математике. Учебное пособие

(c)Если функция ( ) непрерывна в точке 0 и ( 0) > 0, то существует такая окрестность точки 0, в которой

( ) > 0.

Напомним, что окрестностью точки называется каждый открытый интервал, содержащий эту точку. Например, каждый из следующих интервалов является окрестностью точки

= 1,3: (1; 1,6), (0; 5),(−∞; 10), (−∞; +∞).

Классификация точек разрыва

Определение 1.19. Точка является точкой разрыва функции, если одновременно (1) либо точка сама лежит в области определения функции, либо любая (сколь угодно малая) окрестность содержит точки из области определения, и (2) функция не является непрерывной в т. (т.е. не выполняется

равенство lim ( ) = ( )).

→

Определение 1.20. Точка разрыва 0 функции ( ) называется точкой разрыва первого рода, если существуют

существует, но либо он не равен ( 0), либо значение ( 0) не определено.

Разрыв первого рода является неустранимым, если

lim ( ) ̸= lim ( ).

→ −0 → +0

Точка разрыва 0 функции ( ) называется точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних преде-

лов lim ( ) и lim ( ) бесконечен или не существует.

→ −0 → +0

Пример 1.21. Дан график функции = ( ):

21

O

= ( )

предел в т. = −1 слева).

Функция ( ) имеет неустранимый разрыв первого рода в

Функция ( ) имеет устранимый разрыв первого рода в т.

можно устранить, если доопределить функцию в т. = 6, положив (6) = 1. (Согласно условию, функция не является определённой в т. = 6.)

Определение 1.22. Элементарными называются все сте-

22

пенные, показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические функции, а также функции, получаемые из них при помощи конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия композиции.

Определение 1.23. Функция называется непрерывной, если она непрерывна в каждой точке своей области определения.

Теорема 1.24. Всякая элементарная функция является непрерывной.

4Дробно-рациональная функция непрерывна на отрезке, если корни её знаменателя не принадлежат данному отрезку.

23

Задача 1.3. На отрезке [−3; 2] непрерывна функция . . .

Задача 1.4. Для функции ( ) = 4−+4 точка = −4 является точкой . . .

(Указание: найти и сравнить между собой значения одно-

сторонних пределов lim ( ) и lim ( ).)

→−4+0 →−4−0

Задача 1.5. Указать точки разрыва и типы разрыва в этих точках:

O

= ( )

24

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Задача нахождения уравнения касательной

Угловой коэффициент прямой, проходящей через точки ( 1, 1) и ( 2, 2) равен

= 2 − 1 .2 − 1

Рассмотрим кривую = ( ) и лежащие на ней точки 0 =

= ( 0, ( 0)) и 1 = ( 0 + , ( 0 + )). Проведём через точки 0 и 1 секущую5.

Угловой коэффициент секущей равен

Пусть уменьшается (а точка 0 остаётся фиксированной), тогда точка 1 будет двигаться по кривой = ( ), приближаясь к точке 0; при этом секущая 0 1 будет поворачиваться вокруг 0. Настанет момент, когда точка 1 совпадёт с 0; в этом положении прямая 0 1 будет иметь единственное пересечение с кривой = ( ), т.е. станет

касательной.

Мы знаем координаты точки 0, поэтому для нахождения уравнения касательной достаточно найти её угловой коэффициент. Но как его найти?

Так как в процессе поворота секущая становится всё ближе и ближе к касательной, можно считать, что угловой

5В математике, секущей называют прямую линию, пересекающую кривую в двух или более точках.

25

коэффициент секущей приближается к угловому коэффициенту касательной. В пределе, угловой коэффициент секущей равен угловому коэффициенту касательной. Поэтому угловой коэффициент касательной к кривой = ( ) в точке

( 0, ( 0)) равен пределу

lim ( 0 + ) − ( 0).

→0

Определение производной

Определение 2.1. Пусть функция ( ) определена в некоторой окрестности точки 0. Предел

lim ( 0 + ) − ( 0)

→0

называется производной фукции ( ) в точке = 0 (при условии, что этот предел существует).

Другими словами, производной фукции называется предел отношения приращения функции к приращению независимого аргумента при → 0:

lim .

→0

Производная функции = ( ) в точке = 0 обозначается

′( 0) или ′( 0) или .

= 0

Если производная существует для различных значений аргумента , то она сама является функцией и обозначается

′( ) или ′( ) или . Например, sin′ = cos и = = cos . Нахождение производной функции называется диф-

ференцированием. Функция называется дифференцируемой

26

в точке (на промежутке), если она имеет производную в данной точке (в каждой точке промежутка).

Геометрический и механический смысл производной

Производная ′( 0) равна угловому коэффициенту касательной к графику функции ( ) в точке ( 0, ( 0)). Так как угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла между этой прямой и положительным направлением оси абсцисс, производная ′( 0) также равна тангенсу угла между касательной и положительным направлением оси абсцисс.

Уравнение касательной к кривой = ( ) в точке ( 0, ( 0)) имеет вид

− 0 = ′( 0) ( − 0) .

Задача 2.1. Уравнение касательной к графику функции( ) = −9 2 + 8 + 6 в точке с абсциссой 0 = 2 имеет вид

. . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Рассмотрим объект, движущийся по прямой. Положение объекта в момент времени обозначим ( ). Тогда от момента времени до момента времени + ,

Левая часть вышеуказанного равенства есть средняя скорость объекта на промежутке времени [ ; + ]. При → 0, правая часть обращается в производную ′( ), а левая в мгновенную скорость в момент времени . Итак,

27

производная положения объекта (или пройденного им пути) по времени есть мгновенная скорость этого объекта.

В этом и заключается механический смысл производной.

Связь между дифференцированностью и непрерывностью

Теорема 2.2. Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.

Более того, можно доказать, что если функция ( ) дифференцируема в точке 0, то справедлива аппроксимационная формула

( 0 + ) ≈ ( 0) + ′( 0) .

точках = 0 и = 1 соответственно, но не дифференцируемы в них. Модуль не дифференцируем в т. = 0 потому,

28

Однако верно, что функция дифференцируема в точке = = 0, если график ( ) имеет невертикальную касательную в точке = 0.

Таблица производных

Пример 2.3. Найти производные следующих функций:

29

Другими словами, производная произведения равна производной первого сомножителя, умноженной на второй сомножитель плюс первый сомножитель, умноженный на производную второго сомножителя. Производная частного равна разности произведения производной числителя, умноженной на знаменатель и произведения числителя на производную знаменателя, делённой на квадрат знаменателя.

Пример 2.4. Найти производные следующих функций:

30