Конспект лекций по высшей математике. Учебное пособие

2.Продифференцировать обе части по , предполагая, что дифференцируемая функция . Для выражений вида ( ( ))5 использоват правило дифференцирования сложной функции.

3.Из полученного уравнения выразить ′( ).

Согласно правилу,

3 5 − 2 8 ( ) + 4 ( ( ))3 = 0

3 · 5 4 − 2 · [( 8)′ · ( ) + 8 · ( ( ))′] + 4 · 3 ( ( ))2 · ′( ) = 0 15 4 − 2 · [8 7 · ( ) + 8 · ′( )] + 12 ( ( ))2 · ′( ) = 0

15 4 − 16 7 · ( ) − 2 8 ′( ) + 12 ( ( ))2 · ′( ) = 0

(Во второй строке сверху данного вывода использовали8правило дифференцирования сложной функции.)

Теперь можно “забыть” о том, что является функцией и начать писать и ′ вместо ( ) и ′( ) соответственно.

15 4 − 16 7 − 2 8 ′ + 12 2 ′ = 0

−2 8 ′ + 12 2 ′ = −15 4 + 16 7′ [−2 8 + 12 2] = 15 4 + 16 7

′ = 15 4+16 7 −2 8+12 2

b. Производная неявной функции 8 9 +2 4 +6 3 = 0 равна

. . .

8 Надо найти производную сложной функции ( ( ))3. Обозначим

{

( )= ( )

её ( ), тогда декомпозиция имеет вид ( )= 3 , ( ) = ( ( )), а производная равна ′( ) = ′( ) · ′( ) = ( 3)′ · ′( ) = 3 2 · ′( ) =

= 3 ( ( ))2 · ′( ) .

51

Задача 2.9.

a. Наибольшее значение функции ( ) = 2 − 4 + 6 на отрезке [0; 5] равно . . .

(Указание: так как экстремум функции, определённой на отрезке, достигается либо в критической точке, либо на границе отрезка, достаточно найти значения функции в критических точках и на границе отрезка и среди них выбрать наибольшее.)

b. Максимум функции9 3 + 4 2 + 4 равен . . . Введите ответ:

c. Точка минимума функции ( ) = −14 4 + 53 3 − 2 2 + 2 равна . . . Введите ответ:

(Указание: Нужно указать первую координату (повидимому единственной) точки локального минимума.)

d. Точка максимума функции ( ) = 14 4 − 83 3 + 6 2 − 1

Уравнение касательной

Задача 2.10. Уравнение касательной к графику функции

( ) = −9 2 + 8 + 6 в точке с абсциссой 0 = 2 имеет вид

. . .

Аппроксимационная формула

Задача 2.11.

9То есть, наибольшее значение функции.

52

√

a. Приближенное значение функции ( ) = 4 15.9 вычисленное с использованием дифференциала первого порядка равно . . .

(Указание: ( 0 + ) ≈ ( 0) + ′( 0) .)

b. Приближенное значение функции ( ) = ln ( 3 − 4 + 1) при = 1.92, вычисленное с использованием дифференциала первого порядка, равно . . .

(Указание: При нахождении производной надо воспользоваться правилом дифференцирования сложной функции.)

53

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Первообразная

Определение 3.1. Функция ( ) называется первообразной функции ( ) на промежутке, если в каждой точке этого промежутка.

′( ) = ( ).

Например, 10 первообразная функции 10 9, так как

( 10)′ = 10 9.

Теорема 3.2. Если ( ) является первообразной функции

( ), то ( ) + так же является первообразной функции

( ) для любой константы .

Определение 3.3. Множество всех первообразных функции ( ) называется неопределённым интегралом функции( ) и обозначается

∫

( ) .

Здесь ∫ знак интегрирования, ( ) подынтегральная функция, дифференциал переменной интегрирования.

Пример 3.4. ∫ 10 9 = 10 + .

Проверка. ( 10)′ = 10 9.

Таблица первообразных

54

55

Дифференциал

Если обозначить приращение независимого аргумента функции ( ) через , то приращение самой функции будет равно ( + ) − ( ). Дифференциалом функции

( ), определённым в точке 0, называется (главная) линейная часть этого приращения функции. Согласно аппроксимационной формуле, ( 0 + ) ≈ ( 0)+ ′( 0) для дифференцируемой функции ( ). Поэтому для такой функции, дифференциалом в т. = 0 является функция ′( 0) .

На иллюстрации ниже, есть приращение назависимого аргумента. обозначает приращение функции (т.е. ( + + ) − ( )), а главную линейную часть этого приращения, равную ′( ) :

56

Так как диференциал независимого аргумента совпадает с его приращением , формулу = ′( ) можно переписать в виде

= ′( )

= ( 3 + sin )′ = (3 2 + cos ) .

Замена переменной в неопределённом интеграле (метод подстановки)

Если = ( ), то

∫ ∫

( ) = ( ( )) ′( ) .

Эта формула называется формулой замены переменной в неопределённом интеграле.

57

Пример 3.6. Найти интеграл при помощи замены переменной.

Задача 3.1. Найти интеграл при помощи замены переменной. При решении каждого пункта укажите и .

a. ∫ 1 .

(9 +9)

b.∫ 8 +6 .

c.∫ cos(9 + 6) .

d.∫ sin(4 9 + 7 3) · (36 8 + 21 2) .

e.∫ √3 4 7 + 9 3 · (28 6 + 27 2) .

Интегрирование по частям

Формула интегрирования по частям:

∫ ∫

58

Пример 3.7. Найти интеграл при помощи интегрирования по частям.

a. ∫ cos .

Функция является первообразной функции 2 +3; найдём её при помощи зaмены переменной:

II. В интегралах вида ∫ ( ) ln( + ) , ∫ ( ) arcsin( + + ) , ∫ ( ) arccos( + ) , ∫ ( ) arctg( + ) , где

( ) многочлен, = ( ) и = всё остальное.

Задача 3.2. Найти интеграл при помощи интегрирования по частям. (При решении каждого пункта укажите , , и .)

59

Определённый интеграл

Определение определённого интеграла

Пусть функция ( ) определена на отрезке [ ; ]. Разобьём [ ; ] на частей точками

= 0 < 1 < 2 < · · · < −1 < = .

Длину интервала [ −1, ] обозначим . В интервале

[ 0, 1],...,[ −1, ],...,[ −1, ] выберем точку 1, ..., , ..., соответственно.

60